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1. 两个数的积为54，和为15，则这两个数为
6和9
。答案
1. 6和9
解析
【分析】
本题是已知两数和与积求两数的典型基础题，解题思路如下：第一步，设其中一个数为未知数，利用两数之和为15表示出另一个数；第二步，根据两数之积为54的等量关系列出一元二次方程；第三步，求解方程得到两个根，对应就是所求的两个数。
【解析】
解：设其中一个数为$ x $，则另一个数为$ 15-x $。
根据两数积为54的条件可列方程：
$ x(15-x)=54 $
整理为一元二次方程标准形式：
$ x^2-15x+54=0 $
对左侧因式分解得：
$ (x-6)(x-9)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=9 $
当$ x=6 $时，另一个数为$ 15-6=9 $；当$ x=9 $时，另一个数为$ 15-9=6 $。
因此这两个数为6和9。
【答案】
6和9
【知识点】
1.一元二次方程的应用 2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于常规基础题型，核心考查根据等量关系列方程并求解的能力，解题关键是准确用未知数表示出两个数、找准乘积的等量关系，是需要熟练掌握的入门级应用题型。
【难度系数】
0.8
本题是已知两数和与积求两数的典型基础题，解题思路如下：第一步，设其中一个数为未知数，利用两数之和为15表示出另一个数；第二步，根据两数之积为54的等量关系列出一元二次方程；第三步，求解方程得到两个根，对应就是所求的两个数。
【解析】
解：设其中一个数为$ x $，则另一个数为$ 15-x $。
根据两数积为54的条件可列方程：
$ x(15-x)=54 $
整理为一元二次方程标准形式：
$ x^2-15x+54=0 $
对左侧因式分解得：
$ (x-6)(x-9)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=9 $
当$ x=6 $时，另一个数为$ 15-6=9 $；当$ x=9 $时，另一个数为$ 15-9=6 $。
因此这两个数为6和9。
【答案】
6和9
【知识点】
1.一元二次方程的应用 2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于常规基础题型，核心考查根据等量关系列方程并求解的能力，解题关键是准确用未知数表示出两个数、找准乘积的等量关系，是需要熟练掌握的入门级应用题型。
【难度系数】
0.8
2.有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的3倍,已知十位上的数字比个位上的数字小2,求这个两位数。
答案
2. 24
解析
【分析】
解决这类数字类应用题，首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。本题有两个等量关系：①十位上的数字 = 个位上的数字 - 2；②这个两位数 = 3×个位数字×十位数字。我们可以设其中一个数位的数字为未知数，用第一个等量关系表示出另一个数位的数字，再结合第二个等量关系列一元二次方程求解，最后验证解是否符合数字的实际取值要求（数位上的数字为0~9的整数，十位数字不能为0）。
【解析】
设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x-2$，这个两位数可表示为$10(x-2)+x$。
根据题意列方程：
$10(x-2)+x = 3x(x-2)$
整理方程：
左边展开得$10x -20 +x =11x -20$，右边展开得$3x^2 -6x$，移项得：
$3x^2 -17x +20 =0$
因式分解得：
$(3x -5)(x -4)=0$
解得$x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=4$。
因为$x$是数位上的数字，必须为正整数，所以舍去$x_1=\frac{5}{3}$，取$x=4$。
则十位数字为$4-2=2$，这个两位数是$10×2 +4 =24$。
【答案】
24
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用问题，解题的核心是正确掌握两位数的表示方法，结合题目给出的等量关系列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合数位数字的实际取值要求，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解决这类数字类应用题，首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。本题有两个等量关系：①十位上的数字 = 个位上的数字 - 2；②这个两位数 = 3×个位数字×十位数字。我们可以设其中一个数位的数字为未知数，用第一个等量关系表示出另一个数位的数字，再结合第二个等量关系列一元二次方程求解，最后验证解是否符合数字的实际取值要求（数位上的数字为0~9的整数，十位数字不能为0）。
【解析】
设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x-2$，这个两位数可表示为$10(x-2)+x$。
根据题意列方程：
$10(x-2)+x = 3x(x-2)$
整理方程：
左边展开得$10x -20 +x =11x -20$，右边展开得$3x^2 -6x$，移项得：
$3x^2 -17x +20 =0$
因式分解得：
$(3x -5)(x -4)=0$
解得$x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=4$。
因为$x$是数位上的数字，必须为正整数，所以舍去$x_1=\frac{5}{3}$，取$x=4$。
则十位数字为$4-2=2$，这个两位数是$10×2 +4 =24$。
【答案】
24
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用问题，解题的核心是正确掌握两位数的表示方法，结合题目给出的等量关系列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合数位数字的实际取值要求，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
3. 某市计划扩大城区绿地面积,现有一块矩形绿地,它的短边长为60 m,若将短边增大到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1 600 m²。设扩大后的正方形绿地边长为x m,下面所列方程正确的是(
A.$x(x - 60) = 1\ 600$
B.$x(x + 60) = 1\ 600$
C.$60(x + 60) = 1\ 600$
D.$60(x - 60) = 1\ 600$
A
)。A.$x(x - 60) = 1\ 600$
B.$x(x + 60) = 1\ 600$
C.$60(x + 60) = 1\ 600$
D.$60(x - 60) = 1\ 600$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：已知设扩大后的正方形绿地边长为x m，由于是将原矩形短边增大到与长边相等得到正方形，因此原矩形的长边长度等于x，短边为60 m。增加的面积等于扩大后正方形的面积减去原矩形的面积，也可以看作是长为x、宽为(x-60)的新增矩形的面积，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：已知扩大后的正方形绿地边长为x m，可得：
1. 原矩形绿地的长为x m，宽为60 m，原矩形面积为$60x \ \mathrm{m}^2$；
2. 扩大后正方形的面积为$x^2 \ \mathrm{m}^2$；
3. 根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600 $\mathrm{m}^2$”，可列等式：
$x^2 - 60x = 1600$
整理因式得：$x(x - 60) = 1600$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 列方程解应用题
2. 矩形与正方形面积计算
【点评】
本题是基础的面积变化类应用题，解题核心是明确图形变化前后各边长的对应关系，既可以通过总面积差列方程，也可以直接分析新增部分的图形边长列方程，侧重考察方程建模能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题目中的数量关系：已知设扩大后的正方形绿地边长为x m，由于是将原矩形短边增大到与长边相等得到正方形，因此原矩形的长边长度等于x，短边为60 m。增加的面积等于扩大后正方形的面积减去原矩形的面积，也可以看作是长为x、宽为(x-60)的新增矩形的面积，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：已知扩大后的正方形绿地边长为x m，可得：
1. 原矩形绿地的长为x m，宽为60 m，原矩形面积为$60x \ \mathrm{m}^2$；
2. 扩大后正方形的面积为$x^2 \ \mathrm{m}^2$；
3. 根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600 $\mathrm{m}^2$”，可列等式：
$x^2 - 60x = 1600$
整理因式得：$x(x - 60) = 1600$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 列方程解应用题
2. 矩形与正方形面积计算
【点评】
本题是基础的面积变化类应用题，解题核心是明确图形变化前后各边长的对应关系，既可以通过总面积差列方程，也可以直接分析新增部分的图形边长列方程，侧重考察方程建模能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图,把一块长为40 cm、宽为30 cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600 cm²。设剪去的小正方形的边长为x cm,则可列方程为(
A.$(30 - 2x)(40 - x) = 600$
B.$(30 - x)(40 - x) = 600$
C.$(30 - x)(40 - 2x) = 600$
D.$(30 - 2x)(40 - 2x) = 600$
D
)。A.$(30 - 2x)(40 - x) = 600$
B.$(30 - x)(40 - x) = 600$
C.$(30 - x)(40 - 2x) = 600$
D.$(30 - 2x)(40 - 2x) = 600$
答案
4. D
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需确定无盖纸盒底面的长和宽：原矩形硬纸板长40cm、宽30cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，折起的纸盒底面的长需要在原长的基础上减去左右两个小正方形的边长，即(40-2x)cm；底面的宽需要在原宽的基础上减去上下两个小正方形的边长，即(30-2x)cm。再结合长方形面积=长×宽，已知底面积为600cm²，代入即可列出方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm，
则折成的无盖纸盒的底面长为$(40 - 2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(30 - 2x)\ \mathrm{cm}$，
根据矩形面积公式，底面积=长×宽，可得方程：
$(30 - 2x)(40 - 2x) = 600$，
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何折叠类的方程应用基础题，解题的核心是准确梳理折叠前后图形边长的变化关系，结合面积公式建立等量关系即可求解，这类题型是方程实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先需确定无盖纸盒底面的长和宽：原矩形硬纸板长40cm、宽30cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，折起的纸盒底面的长需要在原长的基础上减去左右两个小正方形的边长，即(40-2x)cm；底面的宽需要在原宽的基础上减去上下两个小正方形的边长，即(30-2x)cm。再结合长方形面积=长×宽，已知底面积为600cm²，代入即可列出方程。
【解析】
设剪去的小正方形的边长为x cm，
则折成的无盖纸盒的底面长为$(40 - 2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(30 - 2x)\ \mathrm{cm}$，
根据矩形面积公式，底面积=长×宽，可得方程：
$(30 - 2x)(40 - 2x) = 600$，
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何折叠类的方程应用基础题，解题的核心是准确梳理折叠前后图形边长的变化关系，结合面积公式建立等量关系即可求解，这类题型是方程实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
5. 如图,邻边长度不相等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长是6 m。若矩形的面积为4 m²,则AB的长是
1 m
。(可利用的围墙长超过6 m)答案
5. 1 m
解析
【分析】
本题是一元二次方程解决实际围栏问题的典型题型，解题思路如下：1. 先明确AB是垂直于围墙的边，设AB长为x m，根据三边栅栏总长6m，可推出平行于围墙的BC边长为(6-2x)m；2. 利用矩形面积=长×宽的等量关系列出方程；3. 求解方程后，结合题目“邻边长度不相等”的条件对根进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
设AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则BC的长度为$ (6-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 4 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ x(6-2x)=4 $
整理为标准一元二次方程：
$ x^2 - 3x + 2 = 0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-2)=0 $
解得：$ x_1=1 $，$ x_2=2 $。
检验根的合理性：
当$ x=1 $时，$ BC=6-2×1=4 \, \mathrm{m} $，AB与BC长度不相等，符合题意；
当$ x=2 $时，$ BC=6-2×2=2 \, \mathrm{m} $，此时AB=BC，不符合“邻边长度不相等”的条件，故舍去。
因此AB的长为1 m。
【答案】
1 m
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；方程根的检验
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是根据栅栏总长正确表示矩形的边长，结合面积公式列方程，同时要注意结合题目的限定条件对解出的根进行检验，避免出现多余解。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程解决实际围栏问题的典型题型，解题思路如下：1. 先明确AB是垂直于围墙的边，设AB长为x m，根据三边栅栏总长6m，可推出平行于围墙的BC边长为(6-2x)m；2. 利用矩形面积=长×宽的等量关系列出方程；3. 求解方程后，结合题目“邻边长度不相等”的条件对根进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
设AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则BC的长度为$ (6-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 4 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ x(6-2x)=4 $
整理为标准一元二次方程：
$ x^2 - 3x + 2 = 0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-2)=0 $
解得：$ x_1=1 $，$ x_2=2 $。
检验根的合理性：
当$ x=1 $时，$ BC=6-2×1=4 \, \mathrm{m} $，AB与BC长度不相等，符合题意；
当$ x=2 $时，$ BC=6-2×2=2 \, \mathrm{m} $，此时AB=BC，不符合“邻边长度不相等”的条件，故舍去。
因此AB的长为1 m。
【答案】
1 m
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；方程根的检验
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是根据栅栏总长正确表示矩形的边长，结合面积公式列方程，同时要注意结合题目的限定条件对解出的根进行检验，避免出现多余解。
【难度系数】
0.7
