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6. 如图,某海关缉私船在C处发现在它的正北方向30 n mile的A处有一艘可疑船只,可疑船只正以60 n mile/h的速度向正东方向航行,缉私船随即调整方向,从C处以75 n mile/h的速度准备在B处迎头拦截,求经过多长时间缉私船能赶上可疑船只。
答案
设经过x h 缉私船能赶上可疑船只,根据题意,得
30² + (60x)² = (75x)²,解得x₁ = 2/3,x₂ = - 2/3(舍
去)。因此,经过2/3 h 缉私船能赶上可疑船只
30² + (60x)² = (75x)²,解得x₁ = 2/3,x₂ = - 2/3(舍
去)。因此,经过2/3 h 缉私船能赶上可疑船只
解析
【分析】
首先根据方位信息可知，AC为南北方向，AB为东西方向，因此△ABC是直角三角形且∠A=90°，AC长度已知为30 n mile。设缉私船赶上可疑船只的时间为x h，根据“路程=速度×时间”，可分别表示出可疑船只行驶的路程AB=60x n mile，缉私船行驶的路程BC=75x n mile。再利用直角三角形勾股定理列方程，求解后结合时间为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设经过$x\ \mathrm{h}$缉私船能赶上可疑船只。
由题意得$△ ABC$为直角三角形，$∠ A=90°$，$AC=30\ \mathrm{n mile}$，$AB=60x\ \mathrm{n mile}$，$BC=75x\ \mathrm{n mile}$。
根据勾股定理$AC^2+AB^2=BC^2$，代入得：
$30^2+(60x)^2=(75x)^2$
展开计算得：
$900+3600x^2=5625x^2$
移项合并同类项得：
$2025x^2=900$
$x^2=\frac{4}{9}$
解得$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$，由于时间不能为负，舍去$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
经过$\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$缉私船能赶上可疑船只
【知识点】
勾股定理的应用，一元二次方程求解，行程问题公式
【点评】
本题是结合实际场景的代数几何综合基础题，解题关键是通过方位判断直角三角形，结合行程公式用未知数表示各边长度，再利用勾股定理建立方程求解，注意实际问题的解需要符合现实意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
首先根据方位信息可知，AC为南北方向，AB为东西方向，因此△ABC是直角三角形且∠A=90°，AC长度已知为30 n mile。设缉私船赶上可疑船只的时间为x h，根据“路程=速度×时间”，可分别表示出可疑船只行驶的路程AB=60x n mile，缉私船行驶的路程BC=75x n mile。再利用直角三角形勾股定理列方程，求解后结合时间为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设经过$x\ \mathrm{h}$缉私船能赶上可疑船只。
由题意得$△ ABC$为直角三角形，$∠ A=90°$，$AC=30\ \mathrm{n mile}$，$AB=60x\ \mathrm{n mile}$，$BC=75x\ \mathrm{n mile}$。
根据勾股定理$AC^2+AB^2=BC^2$，代入得：
$30^2+(60x)^2=(75x)^2$
展开计算得：
$900+3600x^2=5625x^2$
移项合并同类项得：
$2025x^2=900$
$x^2=\frac{4}{9}$
解得$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$，由于时间不能为负，舍去$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
经过$\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$缉私船能赶上可疑船只
【知识点】
勾股定理的应用，一元二次方程求解，行程问题公式
【点评】
本题是结合实际场景的代数几何综合基础题，解题关键是通过方位判断直角三角形，结合行程公式用未知数表示各边长度，再利用勾股定理建立方程求解，注意实际问题的解需要符合现实意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
1.《九章算术》勾股章有一问题:今有立木,系索其末,委地三尺。引索却行,去本八尺而索尽。问:索长几何?其大意是,现有一根竖立着的木柱,在木柱上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺(1尺≈0.33 m)。牵着绳索退行,在离木柱根部8尺处时绳索用尽。请问绳索有多长。若设绳索长度为x尺,根据题意,可列方程为(
A.$8^2 + x^2 = (x - 3)^2$
B.$8^2 + (x + 3)^2 = x^2$
C.$8^2 + (x - 3)^2 = x^2$
D.$x^2 + (x - 3)^2 = 8^2$
C
)。A.$8^2 + x^2 = (x - 3)^2$
B.$8^2 + (x + 3)^2 = x^2$
C.$8^2 + (x - 3)^2 = x^2$
D.$x^2 + (x - 3)^2 = 8^2$
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道将古代实际问题转化为直角三角形几何模型的题目，解题思路如下：第一步先明确已知量和未知量，题目已设绳索长度为x尺，首先推导木柱的高度：绳索顺木柱下垂后余3尺，说明木柱高度比绳索长度短3尺，即可表示为(x-3)尺；第二步识别直角三角形：当绳索用尽时，垂直的木柱、水平的地面距离、伸直的绳索恰好构成直角三角形，其中绳索是斜边，木柱高度和离木柱根部的8尺是两条直角边；第三步根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”代入各边长，即可列出对应的方程，匹配选项即可。
【解析】
解：设绳索长度为x尺，则木柱的高度为$(x - 3)$尺。
由题意可知，木柱与地面垂直，因此木柱、离木柱根部8尺的水平线段、伸直的绳索构成直角三角形，其中绳索为斜边。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$8^2 + (x - 3)^2 = x^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，实际问题列方程
【点评】
本题以《九章算术》的经典问题为背景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的核心是准确梳理各数量之间的关系，正确构建直角三角形模型，再代入勾股定理列式即可。
【难度系数】
0.8
这是一道将古代实际问题转化为直角三角形几何模型的题目，解题思路如下：第一步先明确已知量和未知量，题目已设绳索长度为x尺，首先推导木柱的高度：绳索顺木柱下垂后余3尺，说明木柱高度比绳索长度短3尺，即可表示为(x-3)尺；第二步识别直角三角形：当绳索用尽时，垂直的木柱、水平的地面距离、伸直的绳索恰好构成直角三角形，其中绳索是斜边，木柱高度和离木柱根部的8尺是两条直角边；第三步根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”代入各边长，即可列出对应的方程，匹配选项即可。
【解析】
解：设绳索长度为x尺，则木柱的高度为$(x - 3)$尺。
由题意可知，木柱与地面垂直，因此木柱、离木柱根部8尺的水平线段、伸直的绳索构成直角三角形，其中绳索为斜边。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$8^2 + (x - 3)^2 = x^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，实际问题列方程
【点评】
本题以《九章算术》的经典问题为背景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的核心是准确梳理各数量之间的关系，正确构建直角三角形模型，再代入勾股定理列式即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图，李师傅想用长为70 m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）。
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
答案
(1) 设矩形ABCD的边AB = x m,则边BC = 70 - 2x + 2 = (72 - 2x) m。根据题意,得x(72 - 2x) = 640。化简,得$x^2 - 36x + 320 = 0$。解得$x_1 = 16,x_2 = 20$。当x = 16 时,72 - 2x = 72 - 32 = 40(m);当x = 20 时,72 - 2x = 72 - 40 = 32(m)。因此,当羊圈的长为40 m,宽为16 m或羊圈的长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为$640\ \mathrm{m^2}$的羊圈
(2) 不能。理由如下:由题意,得x(72 - 2x) = 650。化简,得$x^2 - 36x + 325 = 0$。$\because \Delta = (-36)^2 - 4 × 325 = -4 ＜ 0$。$\therefore$ 一元二次方程没有实数根。$\therefore$ 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m^2}$
(2) 不能。理由如下:由题意,得x(72 - 2x) = 650。化简,得$x^2 - 36x + 325 = 0$。$\because \Delta = (-36)^2 - 4 × 325 = -4 ＜ 0$。$\therefore$ 一元二次方程没有实数根。$\therefore$ 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
这是一元二次方程在实际面积问题中的应用，解题思路如下：1. 先明确矩形各边与栅栏的关系：垂直于房屋外墙的边有2条（AB、CD），平行于外墙的边BC上有2米宽的门不需要栅栏，因此总栅栏长度=2条垂直边的长度 +（BC长度 - 门的宽度）。2. 设垂直于墙的边长AB为x m，即可用含x的式子表示出BC的长度。3. 第一问根据矩形面积=长×宽=640列方程，求解后分别计算对应边长即可。4. 第二问同样按面积列方程，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断面积能否达到650 m²。
【解析】
（1）设矩形ABCD的边AB = x m，则边BC的长度为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72 - 2x) = 640$
化简得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$
当$x = 16$时，$BC = 72 - 2×16 = 40\ \mathrm{m}$；
当$x = 20$时，$BC = 72 - 2×20 = 32\ \mathrm{m}$。
（2）不能，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m^2}$，列方程得：
$x(72 - 2x) = 650$
化简得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
（1）当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m^2}$的羊圈；
（2）不能。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的相关应用，解题的易错点是忽略门的宽度导致表示平行于墙的边长时出错，要掌握通过判别式判断方程解的存在性的方法，能够灵活运用方程解决实际规划问题。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程在实际面积问题中的应用，解题思路如下：1. 先明确矩形各边与栅栏的关系：垂直于房屋外墙的边有2条（AB、CD），平行于外墙的边BC上有2米宽的门不需要栅栏，因此总栅栏长度=2条垂直边的长度 +（BC长度 - 门的宽度）。2. 设垂直于墙的边长AB为x m，即可用含x的式子表示出BC的长度。3. 第一问根据矩形面积=长×宽=640列方程，求解后分别计算对应边长即可。4. 第二问同样按面积列方程，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断面积能否达到650 m²。
【解析】
（1）设矩形ABCD的边AB = x m，则边BC的长度为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72 - 2x) = 640$
化简得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$
当$x = 16$时，$BC = 72 - 2×16 = 40\ \mathrm{m}$；
当$x = 20$时，$BC = 72 - 2×20 = 32\ \mathrm{m}$。
（2）不能，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m^2}$，列方程得：
$x(72 - 2x) = 650$
化简得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
（1）当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m^2}$的羊圈；
（2）不能。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的相关应用，解题的易错点是忽略门的宽度导致表示平行于墙的边长时出错，要掌握通过判别式判断方程解的存在性的方法，能够灵活运用方程解决实际规划问题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=8\ \mathrm{cm},AB=10\ \mathrm{cm}$,点$P,Q$同时由$A,C$两点出发,分别沿$AC,CB$方向移动,它们的速度都是$1\ \mathrm{cm/s}$(当点$Q$移动到点$B$处停止,点$P$也随之停止)。经过几秒,$P,Q$两点相距$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$? 并求此时$△ PCQ$的面积。
答案
设经过x s,易知0 ＜ x ≤ 6, P, Q 两点相距$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。由题意,得$(8 - x)^2 + x^2 = (2\sqrt{10})^2$,解得$x_1 = 2,x_2 = 6$。当x = 2 时,$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × (8 - 2) × 2 = 6(\mathrm{cm^2})$;当x = 6 时,$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × (8 - 6) × 6 = 6(\mathrm{cm^2})$。因此,经过2 s 或6 s, P, Q 两点相距$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$,此时$△ PCQ$的面积是$6\ \mathrm{cm^2}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中的动点问题，解题首先利用勾股定理求出BC的长度，确定运动时间的取值范围；接着设运动时间为x s，根据点P、Q的运动速度，用含x的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边PC和CQ的长度；最后结合PQ的已知长度，利用勾股定理列出一元二次方程，求解后验证解是否符合时间范围，再代入三角形面积公式计算△PCQ的面积即可。
【解析】
1. 求BC的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$，因此点Q最多运动6s，即运动时间x的取值范围为$0＜x≤6$。
2. 列方程求解运动时间：
设经过x s时，P、Q两点相距$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
由题意得$AP=CQ=x\ \mathrm{cm}$，因此$PC=AC-AP=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△PCQ中，根据勾股定理$PC^2+CQ^2=PQ^2$，代入数据列方程：
$(8-x)^2+x^2=(2\sqrt{10})^2$
整理得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，两个解均符合$0＜x≤6$的取值范围。
3. 计算△PCQ的面积：
当$x=2$时，$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}×(8-2)×2=6\ \mathrm{cm^2}$；
当$x=6$时，$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}×(8-6)×6=6\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
经过2 s或6 s，P、Q两点相距$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，此时$△PCQ$的面积是$6\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；直角三角形面积计算
【点评】
本题是动点与几何计算结合的基础题型，解题核心是将动态问题转化为静态的代数关系，用未知数表示出相关线段长度后结合几何定理列方程求解，需注意检验解是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中的动点问题，解题首先利用勾股定理求出BC的长度，确定运动时间的取值范围；接着设运动时间为x s，根据点P、Q的运动速度，用含x的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边PC和CQ的长度；最后结合PQ的已知长度，利用勾股定理列出一元二次方程，求解后验证解是否符合时间范围，再代入三角形面积公式计算△PCQ的面积即可。
【解析】
1. 求BC的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$，因此点Q最多运动6s，即运动时间x的取值范围为$0＜x≤6$。
2. 列方程求解运动时间：
设经过x s时，P、Q两点相距$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
由题意得$AP=CQ=x\ \mathrm{cm}$，因此$PC=AC-AP=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△PCQ中，根据勾股定理$PC^2+CQ^2=PQ^2$，代入数据列方程：
$(8-x)^2+x^2=(2\sqrt{10})^2$
整理得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，两个解均符合$0＜x≤6$的取值范围。
3. 计算△PCQ的面积：
当$x=2$时，$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}×(8-2)×2=6\ \mathrm{cm^2}$；
当$x=6$时，$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}×(8-6)×6=6\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
经过2 s或6 s，P、Q两点相距$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，此时$△PCQ$的面积是$6\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；直角三角形面积计算
【点评】
本题是动点与几何计算结合的基础题型，解题核心是将动态问题转化为静态的代数关系，用未知数表示出相关线段长度后结合几何定理列方程求解，需注意检验解是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
