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2. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，且$x_1 + x_2 ＞ 0$，$x_1x_2 ＞ 0$，则$m$的取值范围是（
A.$m ≤ \frac{1}{2}$
B.$m ≤ \frac{1}{2}$且$m ≠ 0$
C.$m ＜ 1$
D.$m ＜ 1$且$m ≠ 0$
B
）。A.$m ≤ \frac{1}{2}$
B.$m ≤ \frac{1}{2}$且$m ≠ 0$
C.$m ＜ 1$
D.$m ＜ 1$且$m ≠ 0$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先明确3个核心约束条件：1. 题目说明是一元二次方程且有两个实数根，因此判别式必须大于等于0；2. 已知两根之和大于0，可通过韦达定理（根与系数的关系）列不等式求解；3. 已知两根之积大于0，同样通过韦达定理列不等式，注意该不等式对应的隐含限制。最后将所有条件的解集取交集，即可得到m的取值范围。
【解析】
步骤1：根据方程有两个实数根，计算判别式并列不等式
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，代入本题参数得：
$\Delta=[2(m-1)]^2-4×1× m^2=4(m^2-2m+1)-4m^2=-8m+4$
由$\Delta≥0$得：$-8m+4≥0$，解得$m≤\frac{1}{2}$。
步骤2：根据韦达定理列两根之和的不等式
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2(m-1)$，结合$x_1+x_2＞0$得：
$-2(m-1)＞0$，解得$m＜1$。
步骤3：根据韦达定理列两根之积的不等式
$x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2$，结合$x_1x_2＞0$得：
$m^2＞0$，解得$m≠0$。
步骤4：取三个解集的交集
综合$m≤\frac{1}{2}$、$m＜1$、$m≠0$，最终得$m$的取值范围是$m≤\frac{1}{2}$且$m≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解不等式组
【点评】
本题易遗漏判别式的约束条件，或忽略$m^2＞0$隐含的$m≠0$的限制，求解多个不等式的公共范围时要注意边界值的取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确3个核心约束条件：1. 题目说明是一元二次方程且有两个实数根，因此判别式必须大于等于0；2. 已知两根之和大于0，可通过韦达定理（根与系数的关系）列不等式求解；3. 已知两根之积大于0，同样通过韦达定理列不等式，注意该不等式对应的隐含限制。最后将所有条件的解集取交集，即可得到m的取值范围。
【解析】
步骤1：根据方程有两个实数根，计算判别式并列不等式
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，代入本题参数得：
$\Delta=[2(m-1)]^2-4×1× m^2=4(m^2-2m+1)-4m^2=-8m+4$
由$\Delta≥0$得：$-8m+4≥0$，解得$m≤\frac{1}{2}$。
步骤2：根据韦达定理列两根之和的不等式
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2(m-1)$，结合$x_1+x_2＞0$得：
$-2(m-1)＞0$，解得$m＜1$。
步骤3：根据韦达定理列两根之积的不等式
$x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2$，结合$x_1x_2＞0$得：
$m^2＞0$，解得$m≠0$。
步骤4：取三个解集的交集
综合$m≤\frac{1}{2}$、$m＜1$、$m≠0$，最终得$m$的取值范围是$m≤\frac{1}{2}$且$m≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解不等式组
【点评】
本题易遗漏判别式的约束条件，或忽略$m^2＞0$隐含的$m≠0$的限制，求解多个不等式的公共范围时要注意边界值的取舍。
【难度系数】
0.7
3. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -2x +k +2=0$的两个实数根。
(1) 求$k$的取值范围。
(2) 是否存在实数$k$，使得等式$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = k -2$成立？如果存在，请求出$k$的值；如果不存在，请说明理由。
(1) 求$k$的取值范围。
(2) 是否存在实数$k$，使得等式$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = k -2$成立？如果存在，请求出$k$的值；如果不存在，请说明理由。
答案
(1)
∵一元二次方程 $x^2 -2x +k +2 =0$ 有两个实数根，
∴$\Delta = (-2)^2 -4 × 1 × (k +2) \ge 0$，解得 $k \le -1$
(2) 存在。求解如下：
∵$x_1,x_2$是$x^2 -2x +k +2 =0$的两个实数根，
∴$x_1 +x_2 =2$，$x_1x_2 =k +2$。
∵$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=k-2$，
∴$\frac{x_1 +x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{k+2}=k-2$，
∴$k^2 -6 =0$，解得 $k_1 = -\sqrt{6},k_2 =\sqrt{6}$。由(1)知，$k\le -1$，
∴$k = -\sqrt{6}$。
∴存在 $k = -\sqrt{6}$，使得等式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=k-2$成立
∵一元二次方程 $x^2 -2x +k +2 =0$ 有两个实数根，
∴$\Delta = (-2)^2 -4 × 1 × (k +2) \ge 0$，解得 $k \le -1$
(2) 存在。求解如下：
∵$x_1,x_2$是$x^2 -2x +k +2 =0$的两个实数根，
∴$x_1 +x_2 =2$，$x_1x_2 =k +2$。
∵$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=k-2$，
∴$\frac{x_1 +x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{k+2}=k-2$，
∴$k^2 -6 =0$，解得 $k_1 = -\sqrt{6},k_2 =\sqrt{6}$。由(1)知，$k\le -1$，
∴$k = -\sqrt{6}$。
∴存在 $k = -\sqrt{6}$，使得等式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=k-2$成立
解析
【分析】
(1) 一元二次方程有两个实数根时，根的判别式$\Delta\ge0$，且本题二次项系数为1无需额外排除，据此列不等式即可求出$k$的取值范围。
(2) 涉及两根的代数式求值问题，优先考虑根与系数的关系（韦达定理）：先将等式左边的倒数和通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入韦达定理的结论得到关于$k$的方程，求解后结合第一问的$k$的取值范围筛选符合条件的解，即可判断是否存在对应的$k$。
【解析】
(1)
∵一元二次方程 $x^2 -2x +k +2 =0$ 有两个实数根，
∴$\Delta = (-2)^2 -4 × 1 × (k +2) \ge 0$，
化简得$4-4k-8\ge0$，解得 $k \le -1$。
(2) 存在，求解如下：
∵$x_1,x_2$是$x^2 -2x +k +2 =0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得$x_1 +x_2 =2$，$x_1x_2 =k +2$（$k\ne-2$，保证分母不为0）。
∵$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=k-2$，
∴通分可得$\frac{x_1 +x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{k+2}=k-2$，
去分母整理得$k^2 -6 =0$，解得 $k_1 = -\sqrt{6},k_2 =\sqrt{6}$。
由(1)知$k\le -1$，$k=\sqrt{6}$不符合取值范围舍去，$k=-\sqrt{6}$符合要求，
∴$k = -\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $k\le -1$
(2) 存在，$k=-\sqrt{6}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，分式方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，易错点是求解出$k$的候选值后，容易忽略第一问的参数取值范围直接保留两个解，解题时要注意对参数结果的合理性检验。
【难度系数】
0.6
(1) 一元二次方程有两个实数根时，根的判别式$\Delta\ge0$，且本题二次项系数为1无需额外排除，据此列不等式即可求出$k$的取值范围。
(2) 涉及两根的代数式求值问题，优先考虑根与系数的关系（韦达定理）：先将等式左边的倒数和通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入韦达定理的结论得到关于$k$的方程，求解后结合第一问的$k$的取值范围筛选符合条件的解，即可判断是否存在对应的$k$。
【解析】
(1)
∵一元二次方程 $x^2 -2x +k +2 =0$ 有两个实数根，
∴$\Delta = (-2)^2 -4 × 1 × (k +2) \ge 0$，
化简得$4-4k-8\ge0$，解得 $k \le -1$。
(2) 存在，求解如下：
∵$x_1,x_2$是$x^2 -2x +k +2 =0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得$x_1 +x_2 =2$，$x_1x_2 =k +2$（$k\ne-2$，保证分母不为0）。
∵$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=k-2$，
∴通分可得$\frac{x_1 +x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{k+2}=k-2$，
去分母整理得$k^2 -6 =0$，解得 $k_1 = -\sqrt{6},k_2 =\sqrt{6}$。
由(1)知$k\le -1$，$k=\sqrt{6}$不符合取值范围舍去，$k=-\sqrt{6}$符合要求，
∴$k = -\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $k\le -1$
(2) 存在，$k=-\sqrt{6}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，分式方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，易错点是求解出$k$的候选值后，容易忽略第一问的参数取值范围直接保留两个解，解题时要注意对参数结果的合理性检验。
【难度系数】
0.6
4. 规定:如果实数$a,b,c$满足$a - b = b - c$,那么称一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$为“等差”二次方程。
(1)下列方程是“等差”二次方程的有________(填序号)。
①$3x^2 + 4x + 5 = 0$;②$x^2 + 2x - 3 = 0$;③$x^2 - 1 = 0$;④$\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5} = 0$。
(2)若“等差”二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根为2,求这个方程的另一个根。
(3)若$m,n$是“等差”二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根,请写出$m,n$之间的数量关系,并说明理由。
(1)下列方程是“等差”二次方程的有________(填序号)。
①$3x^2 + 4x + 5 = 0$;②$x^2 + 2x - 3 = 0$;③$x^2 - 1 = 0$;④$\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5} = 0$。
(2)若“等差”二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根为2,求这个方程的另一个根。
(3)若$m,n$是“等差”二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根,请写出$m,n$之间的数量关系,并说明理由。
答案
(1) ①③
(2) 把 $x_1 =2$ 代入原方程，得 $4a +2b +c=0$。由 $a -b =b -c$，得$a +c =2b$。代入 $4a +2b +c =0$，得 $5a +2c =0$，
∴ $\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$。
∵ $x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴ $2x_2 = -\frac{5}{2}$，
∴ $x_2 = -\frac{5}{4}$
(3) $(m + 2)(n + 2) = 3$。理由如下：
∵ $m,n$ 是“等差”二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根，
∴ $m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$，
∴ $2m + 2n = -\frac{2b}{a} = -\frac{a + c}{a}$。
∴ $2m + 2n = -1 -\frac{c}{a}$，
∴ $2m + 2n = -1 - mn$，即 $2m + 2n + mn +1 =0$，
∴ $(m + 2)(n + 2) = 3$
(2) 把 $x_1 =2$ 代入原方程，得 $4a +2b +c=0$。由 $a -b =b -c$，得$a +c =2b$。代入 $4a +2b +c =0$，得 $5a +2c =0$，
∴ $\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$。
∵ $x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴ $2x_2 = -\frac{5}{2}$，
∴ $x_2 = -\frac{5}{4}$
(3) $(m + 2)(n + 2) = 3$。理由如下：
∵ $m,n$ 是“等差”二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根，
∴ $m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$，
∴ $2m + 2n = -\frac{2b}{a} = -\frac{a + c}{a}$。
∴ $2m + 2n = -1 -\frac{c}{a}$，
∴ $2m + 2n = -1 - mn$，即 $2m + 2n + mn +1 =0$，
∴ $(m + 2)(n + 2) = 3$
解析
【分析】
本题围绕“等差”二次方程的新定义展开考查一元二次方程相关知识，解题思路如下：
(1) 先根据新定义将$a-b=b-c$转化为$a+c=2b$的等量关系，再分别找出4个方程对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，逐一验证是否满足$a+c=2b$即可判断；
(2) 先将已知根$x=2$代入方程得到关于$a,b,c$的等式，再结合“等差”二次方程$a+c=2b$的关系，消去$b$得到$a$和$c$的比值，最后利用一元二次方程根与系数的关系（两根之积等于$\frac{c}{a}$）即可求出另一个根；
(3) 先根据根与系数的关系写出两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$、两根之积$mn=\frac{c}{a}$，再结合$a+c=2b$的关系，消去$a,b,c$，整理后即可得到$m,n$的数量关系。
【解析】
(1) 根据“等差”二次方程的定义，可知满足$a-b=b-c$即$a+c=2b$的方程为“等差”二次方程：
①方程$3x^2 +4x +5=0$中，$a=3,b=4,c=5$，$a+c=3+5=8=2×4=2b$，满足条件，是“等差”二次方程；
②方程$x^2 +2x -3=0$中，$a=1,b=2,c=-3$，$a+c=1-3=-2≠ 2×2=4$，不满足条件，不是；
③方程$x^2 -1=0$中，$a=1,b=0,c=-1$，$a+c=1+(-1)=0=2×0=2b$，满足条件，是“等差”二次方程；
④方程$\frac{1}{3}x^2 +\frac{1}{4}x +\frac{1}{5}=0$中，$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{4},c=\frac{1}{5}$，$a+c=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}≠ 2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，不满足条件，不是。
故填①③。
(2) 把$x_1=2$代入原方程$ax^2 +bx +c=0$，得$4a +2b +c=0$。
由“等差”二次方程定义得$a-b=b-c$，即$a +c =2b$。
将$2b=a+c$代入$4a +2b +c =0$，得$4a +a +c +c =0$，即$5a +2c =0$，
∴ $\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴ $2x_2 = -\frac{5}{2}$，
解得$x_2 = -\frac{5}{4}$。
(3) $m,n$的数量关系为$(m + 2)(n + 2) = 3$，理由如下：
∵ $m,n$是“等差”二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根，
∴ 根据根与系数的关系得$m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$，
由$a + c = 2b$可得$b=\frac{a+c}{2}$，代入两根之和的式子得：
$m + n = -\frac{\frac{a+c}{2}}{a}=-\frac{a+c}{2a}$，
两边同乘2得$2m + 2n = -\frac{a + c}{a}=-1-\frac{c}{a}$，
将$\frac{c}{a}=mn$代入上式得$2m + 2n = -1 - mn$，
移项整理得$mn +2m +2n +1 =0$，
两边同时加3得$mn +2m +2n +4 =3$，
即$(m + 2)(n + 2) = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) 另一个根为$\boldsymbol{-\dfrac{5}{4}}$
(3) $\boldsymbol{(m + 2)(n + 2) = 3}$，理由见解析
【知识点】
新定义问题，根与系数关系，方程根的定义
【点评】
本题将新定义和一元二次方程的知识结合考查，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将其转化为熟悉的等量关系，再结合一元二次方程根的性质、根与系数的关系求解，能有效考查学生的知识迁移能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕“等差”二次方程的新定义展开考查一元二次方程相关知识，解题思路如下：
(1) 先根据新定义将$a-b=b-c$转化为$a+c=2b$的等量关系，再分别找出4个方程对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，逐一验证是否满足$a+c=2b$即可判断；
(2) 先将已知根$x=2$代入方程得到关于$a,b,c$的等式，再结合“等差”二次方程$a+c=2b$的关系，消去$b$得到$a$和$c$的比值，最后利用一元二次方程根与系数的关系（两根之积等于$\frac{c}{a}$）即可求出另一个根；
(3) 先根据根与系数的关系写出两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$、两根之积$mn=\frac{c}{a}$，再结合$a+c=2b$的关系，消去$a,b,c$，整理后即可得到$m,n$的数量关系。
【解析】
(1) 根据“等差”二次方程的定义，可知满足$a-b=b-c$即$a+c=2b$的方程为“等差”二次方程：
①方程$3x^2 +4x +5=0$中，$a=3,b=4,c=5$，$a+c=3+5=8=2×4=2b$，满足条件，是“等差”二次方程；
②方程$x^2 +2x -3=0$中，$a=1,b=2,c=-3$，$a+c=1-3=-2≠ 2×2=4$，不满足条件，不是；
③方程$x^2 -1=0$中，$a=1,b=0,c=-1$，$a+c=1+(-1)=0=2×0=2b$，满足条件，是“等差”二次方程；
④方程$\frac{1}{3}x^2 +\frac{1}{4}x +\frac{1}{5}=0$中，$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{4},c=\frac{1}{5}$，$a+c=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}≠ 2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，不满足条件，不是。
故填①③。
(2) 把$x_1=2$代入原方程$ax^2 +bx +c=0$，得$4a +2b +c=0$。
由“等差”二次方程定义得$a-b=b-c$，即$a +c =2b$。
将$2b=a+c$代入$4a +2b +c =0$，得$4a +a +c +c =0$，即$5a +2c =0$，
∴ $\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴ $2x_2 = -\frac{5}{2}$，
解得$x_2 = -\frac{5}{4}$。
(3) $m,n$的数量关系为$(m + 2)(n + 2) = 3$，理由如下：
∵ $m,n$是“等差”二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根，
∴ 根据根与系数的关系得$m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$，
由$a + c = 2b$可得$b=\frac{a+c}{2}$，代入两根之和的式子得：
$m + n = -\frac{\frac{a+c}{2}}{a}=-\frac{a+c}{2a}$，
两边同乘2得$2m + 2n = -\frac{a + c}{a}=-1-\frac{c}{a}$，
将$\frac{c}{a}=mn$代入上式得$2m + 2n = -1 - mn$，
移项整理得$mn +2m +2n +1 =0$，
两边同时加3得$mn +2m +2n +4 =3$，
即$(m + 2)(n + 2) = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) 另一个根为$\boldsymbol{-\dfrac{5}{4}}$
(3) $\boldsymbol{(m + 2)(n + 2) = 3}$，理由见解析
【知识点】
新定义问题，根与系数关系，方程根的定义
【点评】
本题将新定义和一元二次方程的知识结合考查，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将其转化为熟悉的等量关系，再结合一元二次方程根的性质、根与系数的关系求解，能有效考查学生的知识迁移能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
