典例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F＝25°，求证BE//DF.

(2)解 ∵DF//BC，∠DFE＝34°，
∴∠B＝∠DFE＝34°，∴∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−36°−34°＝110°.
∵CD平分∠BCA，即∠1＝$\frac{1}{2}$∠ACB＝55°，∴∠2＝180°−∠A−∠1＝180°−36°−55°＝89°.
典例4
(1)解 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠CBD＝130°.
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝65°.
(2)证明 ∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°−65°＝25°.
∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴BE//DF.

典例4
(1)解
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD＝130°.
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝65°.
(2)证明
∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°−65°＝25°.
∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴BE//DF.

【分析】
(1) 求∠CBE的度数时，首先运用三角形外角的性质，算出△ABC的外角∠CBD的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠CBE的度数。
(2) 证明BE//DF时，先利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠CEB的度数，再对比已知∠F的度数，若两角相等，可根据平行线的判定定理证明两直线平行。
【解析】
(1) 解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
根据三角形外角性质可得：∠CBD = ∠A + ∠ACB = 40° + 90° = 130°，
∵BE平分∠CBD，
∴$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(2) 证明：
∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
在Rt△BCE中，∠CEB = 90° - ∠CBE = 90° - 65° = 25°，
又
∵∠F＝25°，
∴∠CEB = ∠F = 25°，
根据内错角相等，两直线平行，可得BE//DF。
【答案】
(1) $\boxed{65°}$
(2) 证明成立，$BE// DF$
【知识点】
三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，考察了三角形相关性质和平行线判定的应用，解题关键是理清角度间的数量关系，熟练运用对应定理即可顺利求解，能够很好地巩固基础几何知识、锻炼简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8