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典例1 在下列选项中,三角形的三边长(单位:厘米)可以是(
A.2,11,13
B.8,12,4
C.5,5,11
D.12,12,12
D
).A.2,11,13
B.8,12,4
C.5,5,11
D.12,12,12
答案
典例1 D
解析 A.在2,11,13中，$2+11=13$，不符合题意；B.在8,12,4中，$8+4=12$，不符合题意；C.在5,5,11中，$5+5＜11$，不符合题意；D.在12,12,12中，$12+12＞12$，能组成三角形.故选D.
解析 A.在2,11,13中，$2+11=13$，不符合题意；B.在8,12,4中，$8+4=12$，不符合题意；C.在5,5,11中，$5+5＜11$，不符合题意；D.在12,12,12中，$12+12＞12$，能组成三角形.故选D.
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出每组数据中最长的边，验证另外两条较短边的和是否大于最长边即可，因为最长边加任意一条短边一定大于另一条短边，无需额外验证，接下来对四个选项逐一验证即可选出正确答案。
【解析】
我们按照“两短边之和大于最长边”的规则逐一判断：
A. 三边长为2,11,13，最长边是13，两短边和为$2+11=13$，两边之和等于第三边，不能构成三角形，不符合题意；
B. 三边长为8,12,4，最长边是12，两短边和为$8+4=12$，两边之和等于第三边，不能构成三角形，不符合题意；
C. 三边长为5,5,11，最长边是11，两短边和为$5+5=10＜11$，两边之和小于第三边，不能构成三角形，不符合题意；
D. 三边长为12,12,12，最长边是12，两短边和为$12+12=24＞12$，满足三边关系，可以构成三角形，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，是对三角形三边关系的直接考察，掌握“只需验证两短边之和大于最长边即可判断能否构成三角形”的技巧，可快速得出答案，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出每组数据中最长的边，验证另外两条较短边的和是否大于最长边即可，因为最长边加任意一条短边一定大于另一条短边，无需额外验证，接下来对四个选项逐一验证即可选出正确答案。
【解析】
我们按照“两短边之和大于最长边”的规则逐一判断：
A. 三边长为2,11,13，最长边是13，两短边和为$2+11=13$，两边之和等于第三边，不能构成三角形，不符合题意；
B. 三边长为8,12,4，最长边是12，两短边和为$8+4=12$，两边之和等于第三边，不能构成三角形，不符合题意；
C. 三边长为5,5,11，最长边是11，两短边和为$5+5=10＜11$，两边之和小于第三边，不能构成三角形，不符合题意；
D. 三边长为12,12,12，最长边是12，两短边和为$12+12=24＞12$，满足三边关系，可以构成三角形，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，是对三角形三边关系的直接考察，掌握“只需验证两短边之和大于最长边即可判断能否构成三角形”的技巧，可快速得出答案，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
典例2 如图,在$△ ABC$中,CD,CE,CF分别是AB上的高、角平分线和中线,则
下列选项中,不成立的是(
A.$BA=2BF$
B.$∠ ACE=\dfrac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ AB$
下列选项中,不成立的是(
C
).A.$BA=2BF$
B.$∠ ACE=\dfrac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ AB$
答案
典例2 C
解析 由题意知，$CD ⊥ AB$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$AB=2BF$，$AE＜BE$.故选C.
解析 由题意知，$CD ⊥ AB$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB$，$AB=2BF$，$AE＜BE$.故选C.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形的高、角平分线、中线的定义，逐一对应各选项判断是否符合对应线段的性质：首先CD是高，可判断D选项；CE是角平分线，可判断B选项；CF是中线，可判断A选项；最后判断C选项，CE仅为角平分线，不是中线，一般情况下E不是AB中点，故AE=BE不成立。
【解析】
我们根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一分析选项：
1. 因为CD是AB边上的高，根据三角形高的定义，可得$CD⊥AB$，故D选项成立，不符合题意；
2. 因为CE是$∠ACB$的角平分线，根据角平分线的定义，可得$∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB$，故B选项成立，不符合题意；
3. 因为CF是AB边上的中线，根据三角形中线的定义，F是AB的中点，因此$BA=2BF=2AF$，故A选项成立，不符合题意；
4. CE只是$△ ABC$的角平分线，不是中线，题目未说明$△ ABC$是等腰三角形，因此E不是AB的中点，$AE≠BE$，故C选项不成立，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题考查三角形三类特殊线段的基本性质，解题的关键是准确区分高、角平分线、中线的定义，注意仅等腰三角形有“三线合一”的特性，普通三角形中这三类线段不会重合。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形的高、角平分线、中线的定义，逐一对应各选项判断是否符合对应线段的性质：首先CD是高，可判断D选项；CE是角平分线，可判断B选项；CF是中线，可判断A选项；最后判断C选项，CE仅为角平分线，不是中线，一般情况下E不是AB中点，故AE=BE不成立。
【解析】
我们根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一分析选项：
1. 因为CD是AB边上的高，根据三角形高的定义，可得$CD⊥AB$，故D选项成立，不符合题意；
2. 因为CE是$∠ACB$的角平分线，根据角平分线的定义，可得$∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB$，故B选项成立，不符合题意；
3. 因为CF是AB边上的中线，根据三角形中线的定义，F是AB的中点，因此$BA=2BF=2AF$，故A选项成立，不符合题意；
4. CE只是$△ ABC$的角平分线，不是中线，题目未说明$△ ABC$是等腰三角形，因此E不是AB的中点，$AE≠BE$，故C选项不成立，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题考查三角形三类特殊线段的基本性质，解题的关键是准确区分高、角平分线、中线的定义，注意仅等腰三角形有“三线合一”的特性，普通三角形中这三类线段不会重合。
【难度系数】
0.8
典例3 如图，在$△ ABC$中，CD平分$∠ BCA$，CD交AB于点E，在AE上取一点F，连接DF，使$∠ 1=∠ D$。
(1)求证$DF// BC$；
(2)当$∠ A=36°$，$∠ DFE=34°$时，求$∠ 2$的度数。
(1)求证$DF// BC$；
(2)当$∠ A=36°$，$∠ DFE=34°$时，求$∠ 2$的度数。
答案
典例3
(1)证明
∵CD平分$∠ BCA$，
∴$∠ DCB = ∠ 1$.
∵$∠ 1 = ∠ D$，
∴$∠ DCB = ∠ D$，
∴$DF // BC$.
(2)解
∵DF//BC，∠DFE＝34°，
∴∠B＝∠DFE＝34°，
∴∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−36°−34°＝110°.
∵CD平分∠BCA，即∠1＝$\frac{1}{2}$∠ACB＝55°，
∴∠2＝180°−∠A−∠1＝180°−36°−55°＝89°.
(1)证明
∵CD平分$∠ BCA$，
∴$∠ DCB = ∠ 1$.
∵$∠ 1 = ∠ D$，
∴$∠ DCB = ∠ D$，
∴$DF // BC$.
(2)解
∵DF//BC，∠DFE＝34°，
∴∠B＝∠DFE＝34°，
∴∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−36°−34°＝110°.
∵CD平分∠BCA，即∠1＝$\frac{1}{2}$∠ACB＝55°，
∴∠2＝180°−∠A−∠1＝180°−36°−55°＝89°.
解析
【分析】
(1)要证明$DF// BC$，可通过证明内错角相等推导：首先根据角平分线的定义可得$∠ DCB=∠1$，结合已知$∠1=∠ D$，等量代换得到$∠ DCB=∠ D$，这两个角是$DF$和$BC$被$CD$所截形成的内错角，根据平行线判定定理即可证得结论。
(2)求$∠2$的度数：首先利用(1)的平行结论，由平行线的同位角相等性质得到$∠ B=∠ DFE$，求出$∠ B$的度数；再在$△ ABC$中用三角形内角和定理算出$∠ ACB$的度数，结合角平分线定义得到$∠1$的度数；最后在$△ AEC$中用三角形内角和定理即可求出$∠2$的度数。
【解析】
(1)证明：
∵$CD$平分$∠ BCA$，
∴$∠ DCB = ∠1$（角平分线的定义）。
∵$∠ 1 = ∠ D$（已知），
∴$∠ DCB = ∠ D$（等量代换），
∴$DF // BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
∵$DF// BC$，$∠ DFE=34°$，
∴$∠ B=∠ DFE=34°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-34°=110°$。
∵$CD$平分$∠ BCA$，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在$△ AEC$中，$∠2=180°-∠ A-∠1=180°-36°-55°=89°$。
【答案】
(1) 已证$DF// BC$；
(2) $∠2$的度数为$89°$。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是准确梳理角之间的等量关系，熟练运用平行线、角平分线、三角形内角和的相关性质定理即可完成解答，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
(1)要证明$DF// BC$，可通过证明内错角相等推导：首先根据角平分线的定义可得$∠ DCB=∠1$，结合已知$∠1=∠ D$，等量代换得到$∠ DCB=∠ D$，这两个角是$DF$和$BC$被$CD$所截形成的内错角，根据平行线判定定理即可证得结论。
(2)求$∠2$的度数：首先利用(1)的平行结论，由平行线的同位角相等性质得到$∠ B=∠ DFE$，求出$∠ B$的度数；再在$△ ABC$中用三角形内角和定理算出$∠ ACB$的度数，结合角平分线定义得到$∠1$的度数；最后在$△ AEC$中用三角形内角和定理即可求出$∠2$的度数。
【解析】
(1)证明：
∵$CD$平分$∠ BCA$，
∴$∠ DCB = ∠1$（角平分线的定义）。
∵$∠ 1 = ∠ D$（已知），
∴$∠ DCB = ∠ D$（等量代换），
∴$DF // BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
∵$DF// BC$，$∠ DFE=34°$，
∴$∠ B=∠ DFE=34°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-34°=110°$。
∵$CD$平分$∠ BCA$，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在$△ AEC$中，$∠2=180°-∠ A-∠1=180°-36°-55°=89°$。
【答案】
(1) 已证$DF// BC$；
(2) $∠2$的度数为$89°$。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是准确梳理角之间的等量关系，熟练运用平行线、角平分线、三角形内角和的相关性质定理即可完成解答，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
