1. 如图，在下列选项中，是$△ ABC$的外角的是().

A.$∠ 1$
B.$∠ 2$
C.$∠ 3$
D.$∠ 4$

(第1题) (第2题)

1. C

【分析】
要判断哪个角是△ABC的外角，首先需要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，需同时满足三个条件：①顶点为三角形的一个顶点；②其中一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。接下来我们将四个选项的角逐一对照这三个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形外角的定义逐一分析选项：
选项A：∠1的两边均为△ABC两条边的反向延长线，没有边是△ABC的原有边，不符合外角定义，排除；
选项B：∠2的顶点是点C，但它的两条边不满足“一条是△ABC的边、另一条是△ABC边的延长线”的要求，不符合外角定义，排除；
选项C：∠3的顶点是△ABC的顶点B，其中一条边是△ABC的边BC，另一条边是△ABC的边AB的延长线，完全符合三角形外角的定义，符合要求；
选项D：∠4的顶点是点C，但两条边分别是BC的延长线和AC的延长线，没有△ABC的原有边，不符合外角定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是熟练掌握三角形外角的定义，判定时要严格对照三个构成条件，避免混淆对顶角、邻角等其他角的概念。
【难度系数】
0.85

2.如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）。

A.120°
B.90°
C.100°
D.30°

2. C

【分析】
首先观察图形，可知∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此可得关系式∠ACD=∠A+∠B，要求∠A的度数，只需用∠ACD的度数减去∠B的度数即可；也可以先通过邻补角的关系求出∠ACB的度数，再利用三角形内角和定理计算∠A的度数，两种方法都可得到正确结果。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
变形得$∠ A = ∠ ACD - ∠ B$
已知$∠ ACD=120°$，$∠ B=20°$，代入得：
$∠ A = 120° - 20° = 100°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形外角性质的直接应用，只要熟记相关性质就能快速求解，计算时注意角度运算准确即可。
【难度系数】
0.9

3. 如图，小明同学在“三角尺拼角”实验中把一副三角尺按图中的方式放置，则∠1的度数为。

3. 120°

【分析】
拿到这道题我们可以按照以下思路思考：首先回忆一副三角尺的固定内角度数，两种三角尺的内角分别是90°、60°、30°和90°、45°、45°。接下来观察图形找角的关系，有两种常用解法：一是利用三角形外角性质，∠1是三角形的外角，等于和它不相邻的两个内角之和；二是利用平角定义，∠1和左侧三角尺的60°角组成平角，二者和为180°，两种思路都能快速求出∠1的度数。
【解析】
解：已知一副三角尺的内角分别为90°、60°、30°和90°、45°、45°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可知，∠1是三角形的外角，与它不相邻的两个内角分别为90°和30°，因此：
$∠ 1 = 90° + 30° = 120°$
（也可利用平角定义求解：$∠ 1$与左侧三角尺的60°角组成平角，因此$∠ 1=180°-60°=120°$）
【答案】
$120°$
【知识点】
三角尺角度特征；三角形外角性质；平角定义
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题核心是熟记三角尺的固定角度，结合图形理清角之间的数量关系即可，常见错误是记错三角尺的各角度数。
【难度系数】
0.8

4.由图可知，$x=$.

4. 60 解析
∵∠ACD 是△ABC 的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
即$(x+80)°=x°+(x+20)°$，
解得 $x=60.$

【分析】
首先观察图形，可知∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。题中已经用含x的式子表示出了外角∠ACD和两个不相邻的内角∠A、∠B，我们可以根据外角性质列出关于x的一元一次方程，再解方程即可求出x的值。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
将各角度的表达式代入得：
$(x+80)° = x° + (x+20)°$
化简方程：
$x + 80 = 2x + 20$
移项计算得：
$x = 60$
【答案】
60
【知识点】
三角形外角性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，解题核心是正确识别三角形的外角，熟练运用外角性质建立等量关系，再通过解方程求出未知量，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ 1=∠ 2=∠ 3$.
(1)求证$∠ ABC=∠ EDF$.
(2)若$∠ ABC=45°$，$∠ DFE=50°$，求$∠ BAC$的度数.

5. (1)证明
∵∠EDF 是△ABD 的一个外角，
∴∠EDF=∠1+∠ABD.
∵∠1=∠2，
∴∠EDF=∠2+∠ABD=∠ABC，
即∠ABC=∠EDF.
(2)解
∵∠DEF 是△ACE 的一个外角，
∴∠DEF=∠3+∠CAE.
∵∠1=∠3，
∴∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC.
由(1)得∠EDF=∠ABC=45°，
∵∠DFE=50°，
∴∠DEF = 180° − ∠EDF − ∠DFE=85°,即∠BAC=85°.

【分析】
(1)要证明∠ABC=∠EDF，首先观察∠EDF的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠EDF=∠1+∠ABD；结合已知∠1=∠2进行等量代换，可得∠EDF=∠2+∠ABD，而∠2+∠ABD就是∠ABC，即可完成证明。
(2)要求∠BAC的度数，先观察∠DEF的位置，它是△ACE的外角，同理根据外角性质可得∠DEF=∠3+∠CAE，结合∠1=∠3等量代换可得∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC；再利用(1)的结论得到∠EDF的度数，最后根据三角形内角和为180°，在△DEF中算出∠DEF的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵∠EDF是△ABD的一个外角，
∴∠EDF=∠1+∠ABD，
又
∵∠1=∠2，
∴∠EDF=∠2+∠ABD=∠ABC，
即∠ABC=∠EDF。
(2)解：
∵∠DEF是△ACE的一个外角，
∴∠DEF=∠3+∠CAE，
又
∵∠1=∠3，
∴∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC，
由(1)可知∠EDF=∠ABC=45°，
在△DEF中，根据三角形内角和为180°，
∴∠DEF = 180° − ∠EDF − ∠DFE = 180°−45°−50°=85°，
即∠BAC=85°。
【答案】
(1)∠ABC=∠EDF得证；
(2)∠BAC=85°
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础题型，核心考查三角形外角性质和内角和定理的应用，解题关键是找准外角对应的不相邻内角，结合已知角相等的条件完成等量代换，推导逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

6.如图，AC，BD相交于点O，BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD，∠A＝50°，∠D＝44°，求∠E的度数.

6. 解
∵∠BNC=∠D+∠DCN，∠BNC=∠E+∠EBN，
∴∠D+∠DCN=∠E+∠EBN.
同理,∠A+∠ABE=∠E+∠ACE，
∴∠D+∠DCN+∠A+∠ABE=2∠E+∠EBN+∠ACE.
∵BE,CE分别平分∠ABD,∠ACD，
∴∠DCN=∠ACE,∠ABE=∠EBN，
∴∠D+∠A=2∠E.
∵∠A=50°,∠D=44°，
∴∠E=47°.

【分析】
要求∠E的度数，可利用三角形外角的性质，找到两组共用同一个外角的三角形，分别列出角度相等的关系式，再结合角平分线的定义，消去相等的未知角，推导出∠E与已知∠A、∠D的数量关系，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵∠BNC是△DCN的外角，也是△EBN的外角
∴∠BNC=∠D+∠DCN，∠BNC=∠E+∠EBN
∴∠D+∠DCN=∠E+∠EBN ①
同理，∠BMC是△ABM的外角，也是△ECM的外角
∴∠A+∠ABE=∠E+∠ACE ②
将①+②，得：
$∠ D+∠ DCN+∠ A+∠ ABE=2∠ E+∠ EBN+∠ ACE$
∵BE、CE分别平分∠ABD、∠ACD
∴$∠ ABE=∠ EBN$，$∠ DCN=∠ ACE$
将上述等角代入上式，相等的角可相互抵消，可得：
$∠ A+∠ D=2∠ E$
把$∠ A=50°$，$∠ D=44°$代入得：
$50°+44°=2∠ E$
解得$∠ E=47°$
【答案】
$47°$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的典型题型，解题核心是通过观察图形找到公共外角，建立不同三角形内角间的关系，结合角平分线的性质消元求解，熟练掌握三角形外角性质能大幅简化这类题的计算过程。
【难度系数】
0.6