典例1 如图，有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在将硬纸板水平放置，并在其上选一点，钻一个小孔，通过小孔系一条线，沿竖直方向将三角形硬纸板吊起，使其保持水平状态，若此时三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是().

A.点N
B.点M
C.点P
D.点Q

1. 答案A
解析 通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这个点为三角形的重心，由题图可知点N为三角形的重心。故选A。

【分析】
要解决这道题，首先需要明确均匀三角形薄板保持水平悬挂平衡的条件：钻孔的点必须是三角形的重心。重心是物体重力的等效作用点，对于厚薄均匀的三角形，它的重心是三条中线的交点，位置在三角形内部的中心区域。接下来只需观察四个选项中点的位置，判断哪个点符合三角形重心的位置特征即可。
【解析】
厚薄均匀的三角形硬纸板的重心为其三条中线的交点，当悬挂点为重心时，硬纸板被吊起后可保持水平平衡。观察图中各点：点P靠近三角形顶部顶点，点M靠近三角形底边，点Q在三角形的左侧边上，仅有点N位于三角形内部的中心位置，是三角形的重心，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
三角形的重心；重心的性质
【点评】
本题结合生活中的悬挂场景考查三角形重心的相关知识，属于基础应用题，只要掌握均匀三角形重心的位置特点，结合图形就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

举一反三 画出正方形ABCD的重心.

2. 确定平面组合图形的重心位置

1. 解 如图，点O就是所求作的点。

【分析】
要确定正方形的重心，首先需明确：质地均匀、外形规则的平面图形的重心与它的几何中心（即对称中心）重合。正方形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点，因此只需作出正方形两条对角线，交点即为所求重心。
【解析】
步骤1：用直尺连接正方形的对角线AC；
步骤2：用直尺连接正方形的对角线BD，AC与BD相交于点O；
根据规则平面图形的重心性质，正方形的重心与它的对称中心重合，因此交点O就是正方形ABCD的重心。
【答案】
1. 解 如图，点O就是所求作的点。
【知识点】
正方形的性质；重心的确定；中心对称图形性质
【点评】
本题考查规则平面图形的重心确定方法，解题关键是牢记均匀规则图形的重心为其几何中心，结合图形的对称性即可快速求解，属于基础类作图题。
【难度系数】
0.9

典例解析
典例1
答案A
解析 通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这个点为三角形的重心，由题图可知点N为三角形的重心。故选A。
轴、$y$轴重合；另一个是半径为1的圆形薄板，圆心坐标为$O_2(3,2)$。求该平面组合体的重心坐标。

解 设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π,$
则$x=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3=\frac{4+3π}{4+π},y=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2=\frac{4}{4+π} × 1 + \frac{π}{4+π} × 2 = \frac{4+2π}{4+π}$，故该平面组合体的重心坐标为$G( \frac{4+3π}{4+π}, \frac{4+2π}{4+π} )$

【分析】
要计算均匀平面组合体的重心坐标，首先明确均匀规则几何图形的重心是它的几何中心，组合体的重心可通过各部分重心的加权平均计算，权重和各部分的面积成正比（均匀薄板质量和面积成正比）。解题步骤如下：第一步先确定两个简单图形（正方形和圆形）各自的重心坐标和面积；第二步分别对x坐标、y坐标按面积占比加权求和，即可得到组合体的重心坐标。
【解析】
解：设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板、圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1)$、$G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1$、$S_2$。
由题意可知：正方形边长为2，两边分别与x轴、y轴重合，其重心为几何中心，因此$x_1=1$，$y_1=1$，面积$S_1=2×2=4$；
圆形的重心为圆心，因此$x_2=3$，$y_2=2$，面积$S_2=π×1^2=π$。
组合体重心坐标为各部分重心按面积占比的加权平均，因此：
$x=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3=\frac{4+3π}{4+π}$
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×2=\frac{4+2π}{4+π}$
【答案】
$( \frac{4+3π}{4+π}, \frac{4+2π}{4+π} )$
【知识点】
规则图形重心、组合体重心计算、坐标应用
【点评】
本题考查组合图形重心的计算，解题核心是掌握均匀规则图形的重心为其几何中心，组合体重心可通过各部分重心按面积加权平均求解，计算时需准确代入各部分的重心坐标和面积数值。
【难度系数】
0.6

举一反三 已知在平面直角坐标系上，有一个由直角三角形和长方形组成的组合体，直角三角形的直角边长均为4，重心坐标为$(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$，长方形的长为6，宽为3，重心坐标为$(5,\frac{7}{2})$，求这个平面组合体的重心坐标.
典例2
解 设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，由题意，得$x_1=1,y_1=1,x_2=3,y_2=2,S_1=2×2=4,S_2=π×1^2=π,$
则$x=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3=\frac{4+3π}{4+π},y=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2=$

1. 解 设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，直角三角形和长方形的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$，面积分别为$S_1,S_2$，
由题意，得 $x_1=\frac{4}{3},y_1=\frac{4}{3},x_2=5$，
$y_2=\frac{7}{2},S_1=\frac{1}{2}×4×4=8,S_2=6×3=18$，
则 $x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 =\frac{8}{8+18}×\frac{4}{3}+\frac{18}{8+18}×5=\frac{151}{39}$，
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2=\frac{8}{8+18}×\frac{4}{3}+\frac{18}{8+18}×\frac{7}{2}=\frac{17}{6}$，
故该平面组合体的重心坐标为$G(\frac{151}{39},\frac{17}{6})$。

【分析】
要计算平面组合体的重心坐标，需采用面积加权平均的方法：组合体的横、纵坐标分别等于各组成部分的面积乘以对应部分重心的横、纵坐标，求和后再除以组合体的总面积。解题时第一步先分别计算直角三角形和长方形的面积，第二步分别对x坐标、y坐标按照加权平均公式代入计算即可。
【解析】
设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$，直角三角形的重心坐标为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形的重心坐标为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
由题意得：$x_1=\frac{4}{3},y_1=\frac{4}{3},x_2=5,y_2=\frac{7}{2}$
先计算两部分的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×4×4=8$，$S_2=6×3=18$
组合体总⾯积为$S_1+S_2=8+18=26$
根据加权平均公式计算重心坐标：
$x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 =\frac{8}{26}×\frac{4}{3}+\frac{18}{26}×5=\frac{151}{39}$
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2=\frac{8}{26}×\frac{4}{3}+\frac{18}{26}×\frac{7}{2}=\frac{17}{6}$
【答案】
$(\frac{151}{39},\frac{17}{6})$
【知识点】
组合体重心计算，加权平均数，图形面积计算
【点评】
本题核心是掌握组合平面图形的重心计算规则，需明确以各组成部分的面积为权重对重心坐标做加权平均，解题过程中要注意准确计算各图形面积，细心完成分数运算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7