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3. 如图1,在$□ ABCD$中,$AE⊥ BC$于点$E$,$AE=EB=EC=a$,且$a$是一元二次方程$x^2+2x-3=0$的根,求$□ ABCD$的周长.
答案
$4+2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，结合a是边长为正数的实际意义，舍去负根得到a的取值；第二步计算平行四边形相邻两边的长度：BC的长度为EB+EC=2a，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出斜边AB的长度；第三步根据平行四边形周长等于相邻两边和的2倍，代入数值计算即可得到周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2+2x-3=0$：
根据一元二次方程求根公式，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2-4ac=2^2 - 4×1×(-3)=16$，
则$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{-2\pm4}{2}$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
因为a是线段长度，为正数，所以$a=1$。
2. 计算平行四边形相邻边长：
已知$AE⊥ BC$，$△ ABE$为直角三角形，$AE=EB=a=1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
又$BC=EB+EC=a+a=2a=2×1=2$。
3. 计算平行四边形周长：
平行四边形周长$C=2(AB+BC)=2×(\sqrt{2}+2)=4+2\sqrt{2}$。
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程求解，勾股定理，平行四边形周长计算
【点评】
本题是基础综合题，结合了代数方程求解和几何图形性质计算，解题时要注意结合实际意义舍去方程的负根，考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，结合a是边长为正数的实际意义，舍去负根得到a的取值；第二步计算平行四边形相邻两边的长度：BC的长度为EB+EC=2a，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出斜边AB的长度；第三步根据平行四边形周长等于相邻两边和的2倍，代入数值计算即可得到周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2+2x-3=0$：
根据一元二次方程求根公式，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2-4ac=2^2 - 4×1×(-3)=16$，
则$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{-2\pm4}{2}$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
因为a是线段长度，为正数，所以$a=1$。
2. 计算平行四边形相邻边长：
已知$AE⊥ BC$，$△ ABE$为直角三角形，$AE=EB=a=1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
又$BC=EB+EC=a+a=2a=2×1=2$。
3. 计算平行四边形周长：
平行四边形周长$C=2(AB+BC)=2×(\sqrt{2}+2)=4+2\sqrt{2}$。
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程求解，勾股定理，平行四边形周长计算
【点评】
本题是基础综合题，结合了代数方程求解和几何图形性质计算，解题时要注意结合实际意义舍去方程的负根，考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 解方程$(x-3)^2=5$时，比较简便的方法是(
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
1. 解方程$(x-3)^2=5$时，比较简便的方法是(
A
)A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程四类常见解法的适用范围：1.直接开平方法适用于左边是完全平方式、右边是非负常数的方程；2.因式分解法适用于一边为0、另一边易分解为两个一次因式乘积的方程；3.配方法通常用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，计算步骤多于直接开平方法；4.公式法适用于所有一元二次方程，但计算量最大。再观察题干方程$(x-3)^2=5$，左边已经是完全平方式，右边是正数5，完全符合直接开平方法的适用条件，无需额外变形，因此直接开平方法最简便。
【解析】
直接开平方法的适用形式为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），题干给出的方程$(x-3)^2=5$完全符合该形式，可直接两边开平方得到$x-3=\pm\sqrt{5}$，进而快速求出解，无需进行移项、配方、代入公式等额外操作，是最简便的解法。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程解法选择；直接开平方法
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，核心是熟悉各类解法的适用特征，根据方程的结构特点选择最简便的解法，可有效降低计算量、提升解题正确率。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程四类常见解法的适用范围：1.直接开平方法适用于左边是完全平方式、右边是非负常数的方程；2.因式分解法适用于一边为0、另一边易分解为两个一次因式乘积的方程；3.配方法通常用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程，计算步骤多于直接开平方法；4.公式法适用于所有一元二次方程，但计算量最大。再观察题干方程$(x-3)^2=5$，左边已经是完全平方式，右边是正数5，完全符合直接开平方法的适用条件，无需额外变形，因此直接开平方法最简便。
【解析】
直接开平方法的适用形式为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），题干给出的方程$(x-3)^2=5$完全符合该形式，可直接两边开平方得到$x-3=\pm\sqrt{5}$，进而快速求出解，无需进行移项、配方、代入公式等额外操作，是最简便的解法。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程解法选择；直接开平方法
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，核心是熟悉各类解法的适用特征，根据方程的结构特点选择最简便的解法，可有效降低计算量、提升解题正确率。
【难度系数】
0.9
2. 已知$x^2 - 2x - 3$的值与$x+7$的值相等，则$x$的值等于(
A.5或2
B.-2或5
C.0或-1
D.0或1
B
)A.5或2
B.-2或5
C.0或-1
D.0或1
答案
2. B
解析
【分析】
遇到两个代数式值相等的问题，首先根据题目给出的等量关系列出方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，结合所学的因式分解法求解方程的根，最后对应选项选出答案即可，解题时要注意移项时符号变化，避免计算错误。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$x^2 - 2x - 3 = x + 7$
将等号右侧的项移到左侧，得：
$x^2 - 2x - 3 - x - 7 = 0$
合并同类项，得到一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 3x - 10 = 0$
用十字相乘法对左侧多项式因式分解：
$(x - 5)(x + 2) = 0$
因此$x - 5 = 0$或$x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -2$
即x的值为-2或5。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据等量关系建立方程的能力，以及一元二次方程的求解能力，解题难度低，只要熟练掌握十字相乘法因式分解、注意移项的符号变化，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
遇到两个代数式值相等的问题，首先根据题目给出的等量关系列出方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，结合所学的因式分解法求解方程的根，最后对应选项选出答案即可，解题时要注意移项时符号变化，避免计算错误。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$x^2 - 2x - 3 = x + 7$
将等号右侧的项移到左侧，得：
$x^2 - 2x - 3 - x - 7 = 0$
合并同类项，得到一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 3x - 10 = 0$
用十字相乘法对左侧多项式因式分解：
$(x - 5)(x + 2) = 0$
因此$x - 5 = 0$或$x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -2$
即x的值为-2或5。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据等量关系建立方程的能力，以及一元二次方程的求解能力，解题难度低，只要熟练掌握十字相乘法因式分解、注意移项的符号变化，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 等腰$△ ABC$两边的长分别是一元二次方程$x^2 -5x +6=0$的两个解，这个等腰三角形的周长是(
A.7
B.8
C.10
D.7或8
D
)A.7
B.8
C.10
D.7或8
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先求解一元二次方程得到两个根，即等腰三角形的两条边长；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；最后依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，进而计算符合条件的三角形周长。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -5x +6=0$
对左边因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即等腰三角形的两边长为2和3。
第二步：分情况讨论等腰三角形的边长
① 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3
验证三边关系：$2+2＞3$，满足三角形构成条件，此时周长为$2+2+3=7$；
② 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2
验证三边关系：$2+3＞3$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+2=8$。
综上，这个等腰三角形的周长是7或8。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题关键是要对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，同时不要忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先求解一元二次方程得到两个根，即等腰三角形的两条边长；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；最后依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，进而计算符合条件的三角形周长。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -5x +6=0$
对左边因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即等腰三角形的两边长为2和3。
第二步：分情况讨论等腰三角形的边长
① 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3
验证三边关系：$2+2＞3$，满足三角形构成条件，此时周长为$2+2+3=7$；
② 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2
验证三边关系：$2+3＞3$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+2=8$。
综上，这个等腰三角形的周长是7或8。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题关键是要对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，同时不要忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
4. 方程$x(x+3)=x$的解是(
A.$x=-2$
B.$x=0$
C.$x_1=0, x_2=-2$
D.$x_1=0, x_2=2$
C
)A.$x=-2$
B.$x=0$
C.$x_1=0, x_2=-2$
D.$x_1=0, x_2=2$
答案
4. C
解析
【分析】
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先将方程右边的x移到左边，使方程右边为0，再对左边的式子提取公因式进行因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，得：
$x(x+3) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x+3)-1] = 0$
整理括号内的式子，得：
$x(x+2) = 0$
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得：
$x=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-2$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题的关键是避免直接两边除以未知数导致漏根的错误，熟练掌握因式分解法可以快速得到方程的解。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先将方程右边的x移到左边，使方程右边为0，再对左边的式子提取公因式进行因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，得：
$x(x+3) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x+3)-1] = 0$
整理括号内的式子，得：
$x(x+2) = 0$
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得：
$x=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-2$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题的关键是避免直接两边除以未知数导致漏根的错误，熟练掌握因式分解法可以快速得到方程的解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 方程$3x^2 - x(x -5)=0$的解是________。
1. 方程$3x^2 - x(x -5)=0$的解是________。
答案
1. $x_1=0,x_2=-2.5$
解析
【分析】
求解该方程首先需先化简等号左侧的整式，先按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项将方程整理为最简形式，观察整理后的方程可提取公因式，利用因式分解法求解，依据是两式乘积为0时至少其中一个式子值为0，分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程先化简：
去括号，得：$3x^2 - x^2 + 5x = 0$
合并同类项，得：$2x^2 + 5x = 0$
提取公因式$x$，得：$x(2x + 5) = 0$
根据因式分解法解方程的规则，可得：
$x = 0$ 或 $2x + 5 = 0$
解$2x + 5 = 0$，得$x = -\frac{5}{2} = -2.5$
因此原方程的解为$x_1=0, x_2=-2.5$
【答案】
$x_1=0,x_2=-2.5$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解、整式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意去括号的符号规则，避免因计算失误丢分，熟练掌握整式化简和因式分解的技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.85
求解该方程首先需先化简等号左侧的整式，先按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项将方程整理为最简形式，观察整理后的方程可提取公因式，利用因式分解法求解，依据是两式乘积为0时至少其中一个式子值为0，分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程先化简：
去括号，得：$3x^2 - x^2 + 5x = 0$
合并同类项，得：$2x^2 + 5x = 0$
提取公因式$x$，得：$x(2x + 5) = 0$
根据因式分解法解方程的规则，可得：
$x = 0$ 或 $2x + 5 = 0$
解$2x + 5 = 0$，得$x = -\frac{5}{2} = -2.5$
因此原方程的解为$x_1=0, x_2=-2.5$
【答案】
$x_1=0,x_2=-2.5$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解、整式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意去括号的符号规则，避免因计算失误丢分，熟练掌握整式化简和因式分解的技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 已知方程$x^2 -6x + q=0$可以配方成$(x-3)^2=7$的形式，那么关于x的方程$x^2 -6x + q=2$的解是
$x_1=0$
$x_2=6$
.答案
2. $x_1=0,x_2=6$
解析
【分析】
解题时可以先利用已知的配方结论，有两种清晰思路：①先将$(x-3)^2=7$展开还原，求出参数$q$的值，再代入第二个方程求解；②直接将$x^2-6x+q$整体替换为$(x-3)^2-7$，代入第二个方程后用直接开平方法求解，两种方法都能快速得到结果，避免重复配方浪费时间。
【解析】
方法一：
∵ 方程$x^2 -6x + q=0$可配方成$(x-3)^2=7$
将$(x-3)^2=7$展开得：$x^2 -6x +9=7$，移项得$x^2 -6x +2=0$
对比原式可得$q=2$
将$q=2$代入方程$x^2 -6x + q=2$得：
$x^2 -6x +2=2$
移项化简得：$x^2 -6x=0$
因式分解得：$x(x-6)=0$
∴ $x=0$或$x-6=0$
解得$x_1=0$，$x_2=6$
方法二：
由$x^2 -6x + q=0$配方得$(x-3)^2=7$，可得$x^2 -6x + q=(x-3)^2 -7$
代入方程$x^2 -6x + q=2$得：
$(x-3)^2 -7=2$
整理得：$(x-3)^2=9$
开平方得：$x-3=\pm3$
当$x-3=3$时，$x=6$；当$x-3=-3$时，$x=0$
∴ 方程的解为$x_1=0$，$x_2=6$
【答案】
$x_1=0,x_2=6$
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程配方法的灵活运用，不需要重复配方即可快速求解，解题时可选择自己熟悉的方法计算，注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时可以先利用已知的配方结论，有两种清晰思路：①先将$(x-3)^2=7$展开还原，求出参数$q$的值，再代入第二个方程求解；②直接将$x^2-6x+q$整体替换为$(x-3)^2-7$，代入第二个方程后用直接开平方法求解，两种方法都能快速得到结果，避免重复配方浪费时间。
【解析】
方法一：
∵ 方程$x^2 -6x + q=0$可配方成$(x-3)^2=7$
将$(x-3)^2=7$展开得：$x^2 -6x +9=7$，移项得$x^2 -6x +2=0$
对比原式可得$q=2$
将$q=2$代入方程$x^2 -6x + q=2$得：
$x^2 -6x +2=2$
移项化简得：$x^2 -6x=0$
因式分解得：$x(x-6)=0$
∴ $x=0$或$x-6=0$
解得$x_1=0$，$x_2=6$
方法二：
由$x^2 -6x + q=0$配方得$(x-3)^2=7$，可得$x^2 -6x + q=(x-3)^2 -7$
代入方程$x^2 -6x + q=2$得：
$(x-3)^2 -7=2$
整理得：$(x-3)^2=9$
开平方得：$x-3=\pm3$
当$x-3=3$时，$x=6$；当$x-3=-3$时，$x=0$
∴ 方程的解为$x_1=0$，$x_2=6$
【答案】
$x_1=0,x_2=6$
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程配方法的灵活运用，不需要重复配方即可快速求解，解题时可选择自己熟悉的方法计算，注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 关于$x$的一元二次方程$x^2 -5x + p^2 -2p +5=0$的一个根为1，则实数$p$的值是
1
.答案
3. 1
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根为1，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此我们可以把x=1代入原方程，得到只含有未知数p的方程，再解这个方程即可求出p的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 -5x + p^2 -2p +5=0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}1^2 - 5×1 + p^2 -2p +5 &= 0 \\1 -5 +5 + p^2 -2p &=0 \\p^2 -2p +1 &=0 \\(p-1)^2&=0\end{aligned}$
解得：$p=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义、完全平方公式、一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用方程根的定义，将已知根代入原方程，把问题转化为求参数的一元二次方程，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根为1，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此我们可以把x=1代入原方程，得到只含有未知数p的方程，再解这个方程即可求出p的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 -5x + p^2 -2p +5=0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}1^2 - 5×1 + p^2 -2p +5 &= 0 \\1 -5 +5 + p^2 -2p &=0 \\p^2 -2p +1 &=0 \\(p-1)^2&=0\end{aligned}$
解得：$p=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义、完全平方公式、一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用方程根的定义，将已知根代入原方程，把问题转化为求参数的一元二次方程，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
4. 若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$的常数项为0，则$m$的值等于
2
.答案
4. 2
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程的定义和常数项为0两个条件求解m的值。首先明确一元二次方程的核心要求：二次项系数不为0；其次常数项为0即不含未知数的项的数值为0，据此列出对应的关系式，联立求解即可得到m的取值，注意要排除不符合二次项系数要求的解。
【解析】
∵ 方程$(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $m^2-3m+2=0$
对上述方程因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$
解得$m=1$或$m=2$
结合$m≠1$的限制条件，可得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 因式分解法解方程
3. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的判定条件，解题时容易忽略二次项系数不能为0的要求，直接取常数项方程的所有解导致出错，做题时需注意结合多个限制条件综合判断结果。
【难度系数】
0.7
本题需结合一元二次方程的定义和常数项为0两个条件求解m的值。首先明确一元二次方程的核心要求：二次项系数不为0；其次常数项为0即不含未知数的项的数值为0，据此列出对应的关系式，联立求解即可得到m的取值，注意要排除不符合二次项系数要求的解。
【解析】
∵ 方程$(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $m^2-3m+2=0$
对上述方程因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$
解得$m=1$或$m=2$
结合$m≠1$的限制条件，可得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 因式分解法解方程
3. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的判定条件，解题时容易忽略二次项系数不能为0的要求，直接取常数项方程的所有解导致出错，做题时需注意结合多个限制条件综合判断结果。
【难度系数】
0.7
5. 直角三角形两条直角边长分别为$x+1$，$x+3$，斜边长为$2x$，那么$x=$
5
.答案
5. 5
解析
【分析】
本题是直角三角形性质与一元二次方程结合的题型，解题思路如下：首先根据直角三角形的勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，将题目给出的三条边长代入公式，即可得到关于x的一元二次方程；接下来求解该一元二次方程，最后结合三角形边长一定为正数的实际意义，舍去不符合要求的根，就能得到正确的x值。
【解析】
根据直角三角形勾股定理列方程：
$(x+1)^2 + (x+3)^2 = (2x)^2$
展开整理方程：
左边展开得：$x^2+2x+1 + x^2+6x+9 = 2x^2+8x+10$
右边展开得：$4x^2$
移项合并同类项：$4x^2 - 2x^2 -8x -10=0$，化简得$x^2-4x-5=0$
因式分解求解：$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$
由于三角形边长为正数，当$x=-1$时，边长$x+1=0$不符合实际，故舍去$x=-1$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；边长非负性
【点评】
本题属于基础综合题，结合了几何性质和代数计算，解题时要注意结合实际意义筛选方程的根，避免因忽略隐含条件出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形性质与一元二次方程结合的题型，解题思路如下：首先根据直角三角形的勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，将题目给出的三条边长代入公式，即可得到关于x的一元二次方程；接下来求解该一元二次方程，最后结合三角形边长一定为正数的实际意义，舍去不符合要求的根，就能得到正确的x值。
【解析】
根据直角三角形勾股定理列方程：
$(x+1)^2 + (x+3)^2 = (2x)^2$
展开整理方程：
左边展开得：$x^2+2x+1 + x^2+6x+9 = 2x^2+8x+10$
右边展开得：$4x^2$
移项合并同类项：$4x^2 - 2x^2 -8x -10=0$，化简得$x^2-4x-5=0$
因式分解求解：$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$
由于三角形边长为正数，当$x=-1$时，边长$x+1=0$不符合实际，故舍去$x=-1$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；边长非负性
【点评】
本题属于基础综合题，结合了几何性质和代数计算，解题时要注意结合实际意义筛选方程的根，避免因忽略隐含条件出现多解错误。
【难度系数】
0.7
