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三、解答题
1. 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x+1)^2 -9=0$；
(2) $x(x+2)-3x=0$；
(3) $x^2 -6x +3=0$；
(4) $2x^2 -3x +1=0$；
(5) $(2x+1)^2=4x+2$；
(6) $(x+1)^2 -4x^2=0$。
1. 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x+1)^2 -9=0$；
(2) $x(x+2)-3x=0$；
(3) $x^2 -6x +3=0$；
(4) $2x^2 -3x +1=0$；
(5) $(2x+1)^2=4x+2$；
(6) $(x+1)^2 -4x^2=0$。
答案
1. (1) $x_1=2,x_2=-4$
(2) $x_1=0,x_2=1$
(3) $x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{1}{2}$
(5) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(6) $x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=1$
(2) $x_1=0,x_2=1$
(3) $x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{1}{2}$
(5) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(6) $x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=1$
解析
【分析】
解一元二次方程时，优先根据方程特征选择简便方法：①形如$(a(x+m))^2=n(n\ge0)$的方程用直接开平方法；②含公因式或可因式分解为两个整式乘积的方程用因式分解法；③无法直接开平方或因式分解的，可选用配方法或公式法。我们逐个分析每个方程的特征，选择对应方法求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$(x+1)^2=9$，
直接开平方得：$x+1=\pm3$，
即$x+1=3$或$x+1=-3$，
解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。
(2) 提取公因式$x$得：$x[(x+2)-3]=0$，
化简得：$x(x-1)=0$，
$\therefore x=0$或$x-1=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=1$。
(3) 用配方法求解：
移项得：$x^2-6x=-3$，
两边加一次项系数一半的平方配方得：$x^2-6x+9=-3+9$，
即$(x-3)^2=6$，
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1=3+\sqrt{6}$，$x_2=3-\sqrt{6}$。
(4) 用十字相乘法因式分解求解：
分解因式得：$(2x-1)(x-1)=0$，
$\therefore 2x-1=0$或$x-1=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=\dfrac{1}{2}$。
(5) 先移项再提取公因式求解：
移项得：$(2x+1)^2-2(2x+1)=0$，
提取公因式$(2x+1)$得：$(2x+1)(2x+1-2)=0$，
化简得：$(2x+1)(2x-1)=0$，
$\therefore 2x+1=0$或$2x-1=0$，
解得：$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$。
(6) 用平方差公式因式分解求解：
原方程变形为：$(x+1)^2-(2x)^2=0$，
分解因式得：$(x+1-2x)(x+1+2x)=0$，
化简得：$(-x+1)(3x+1)=0$，
$\therefore -x+1=0$或$3x+1=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
1. (1) $x_1=2,x_2=-4$
(2) $x_1=0,x_2=1$
(3) $x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{1}{2}$
(5) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(6) $x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，配方法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时要先观察方程结构，灵活选择最优解法，既能提升解题速度，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.85
解一元二次方程时，优先根据方程特征选择简便方法：①形如$(a(x+m))^2=n(n\ge0)$的方程用直接开平方法；②含公因式或可因式分解为两个整式乘积的方程用因式分解法；③无法直接开平方或因式分解的，可选用配方法或公式法。我们逐个分析每个方程的特征，选择对应方法求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$(x+1)^2=9$，
直接开平方得：$x+1=\pm3$，
即$x+1=3$或$x+1=-3$，
解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。
(2) 提取公因式$x$得：$x[(x+2)-3]=0$，
化简得：$x(x-1)=0$，
$\therefore x=0$或$x-1=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=1$。
(3) 用配方法求解：
移项得：$x^2-6x=-3$，
两边加一次项系数一半的平方配方得：$x^2-6x+9=-3+9$，
即$(x-3)^2=6$，
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{6}$，
解得：$x_1=3+\sqrt{6}$，$x_2=3-\sqrt{6}$。
(4) 用十字相乘法因式分解求解：
分解因式得：$(2x-1)(x-1)=0$，
$\therefore 2x-1=0$或$x-1=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=\dfrac{1}{2}$。
(5) 先移项再提取公因式求解：
移项得：$(2x+1)^2-2(2x+1)=0$，
提取公因式$(2x+1)$得：$(2x+1)(2x+1-2)=0$，
化简得：$(2x+1)(2x-1)=0$，
$\therefore 2x+1=0$或$2x-1=0$，
解得：$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$。
(6) 用平方差公式因式分解求解：
原方程变形为：$(x+1)^2-(2x)^2=0$，
分解因式得：$(x+1-2x)(x+1+2x)=0$，
化简得：$(-x+1)(3x+1)=0$，
$\therefore -x+1=0$或$3x+1=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
1. (1) $x_1=2,x_2=-4$
(2) $x_1=0,x_2=1$
(3) $x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{1}{2}$
(5) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(6) $x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，配方法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时要先观察方程结构，灵活选择最优解法，既能提升解题速度，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.85
【拓展思考】
请阅读下面解方程$(x^2 - 3)^2 -5(x^2 - 3)+4=0$的过程.
解:设$x^2 - 3=y$,则原方程可变形为$y^2 -5y +4=0$.
解得$y_1=4,y_2=1$.
当$y=4$时,$x^2 -3=4,x=\pm\sqrt{7}$.
当$y=1$时,$x^2 -3=1,x=\pm2$.
$\therefore$原方程的根为$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7},x_3=2,x_4=-2$.
我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
请用上述方法解下列方程:
(1)$(2x+5)^2 -4(2x+5)+3=0$;
(2)$x^4 -8x^2 +7=0$.
请阅读下面解方程$(x^2 - 3)^2 -5(x^2 - 3)+4=0$的过程.
解:设$x^2 - 3=y$,则原方程可变形为$y^2 -5y +4=0$.
解得$y_1=4,y_2=1$.
当$y=4$时,$x^2 -3=4,x=\pm\sqrt{7}$.
当$y=1$时,$x^2 -3=1,x=\pm2$.
$\therefore$原方程的根为$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7},x_3=2,x_4=-2$.
我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
请用上述方法解下列方程:
(1)$(2x+5)^2 -4(2x+5)+3=0$;
(2)$x^4 -8x^2 +7=0$.
答案
1. $x_1=-2,x_2=-1$
2. $x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt{7},x_4=-\sqrt{7}$
2. $x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt{7},x_4=-\sqrt{7}$
解析
【分析】
这两道题均为可通过换元法降次求解的高次方程，解题思路如下：①观察方程中重复出现的整体：第(1)题重复出现的整体是$(2x+5)$，第(2)题重复出现的整体是$x^2$；②将重复的整体设为新未知数$y$，把原高次方程转化为熟悉的一元二次方程；③先求解关于$y$的一元二次方程，得到$y$的所有取值；④将$y$的取值代回换元的式子，求解原未知数$x$的解，遇偶次幂时注意判断解是否有意义，避免漏解。
【解析】
(1) 设$2x+5=y$，则原方程可变形为：
$y^2 -4y +3=0$
因式分解得$(y-1)(y-3)=0$，解得$y_1=1$，$y_2=3$。
当$y=1$时，$2x+5=1$，解得$x=-2$；
当$y=3$时，$2x+5=3$，解得$x=-1$。
(2) 设$x^2=y$（$y≥0$），则原方程可变形为：
$y^2 -8y +7=0$
因式分解得$(y-1)(y-7)=0$，解得$y_1=1$，$y_2=7$。
当$y=1$时，$x^2=1$，解得$x=\pm1$；
当$y=7$时，$x^2=7$，解得$x=\pm\sqrt{7}$。
【答案】
1. $x_1=-2,x_2=-1$
2. $x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt{7},x_4=-\sqrt{7}$
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程的解法；转化思想
【点评】
本题核心考查换元法在解方程中的应用，通过换元将高次方程转化为已学的一元二次方程，实现降次简化计算的目的，解题时要注意代回求原未知数时不要漏解，遇偶次幂时要判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
这两道题均为可通过换元法降次求解的高次方程，解题思路如下：①观察方程中重复出现的整体：第(1)题重复出现的整体是$(2x+5)$，第(2)题重复出现的整体是$x^2$；②将重复的整体设为新未知数$y$，把原高次方程转化为熟悉的一元二次方程；③先求解关于$y$的一元二次方程，得到$y$的所有取值；④将$y$的取值代回换元的式子，求解原未知数$x$的解，遇偶次幂时注意判断解是否有意义，避免漏解。
【解析】
(1) 设$2x+5=y$，则原方程可变形为：
$y^2 -4y +3=0$
因式分解得$(y-1)(y-3)=0$，解得$y_1=1$，$y_2=3$。
当$y=1$时，$2x+5=1$，解得$x=-2$；
当$y=3$时，$2x+5=3$，解得$x=-1$。
(2) 设$x^2=y$（$y≥0$），则原方程可变形为：
$y^2 -8y +7=0$
因式分解得$(y-1)(y-7)=0$，解得$y_1=1$，$y_2=7$。
当$y=1$时，$x^2=1$，解得$x=\pm1$；
当$y=7$时，$x^2=7$，解得$x=\pm\sqrt{7}$。
【答案】
1. $x_1=-2,x_2=-1$
2. $x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt{7},x_4=-\sqrt{7}$
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程的解法；转化思想
【点评】
本题核心考查换元法在解方程中的应用，通过换元将高次方程转化为已学的一元二次方程，实现降次简化计算的目的，解题时要注意代回求原未知数时不要漏解，遇偶次幂时要判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
