2. 如图，已知点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 边 $AB$ 上的任意一点，过点 $D$ 作 $DF ⊥ DE$，交 $BC$ 的延长线于点 $F$.
求证：$DE = DF$.

注意：正方形的四条边都相等，四个角均为直角，对角线相等且互相垂直平分等性质，为我们证明两个三角形全等提供了充分的条件.

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AD = CD$，$∠ A = ∠ DCB = 90°$，
∴ $∠ DCF = 180° - ∠ DCB = 90° = ∠ A$。
∵ $DF ⊥ DE$，
∴ $∠ EDF = 90°$，
∴ $∠ ADE + ∠ EDC = 90°$。
又∵ $∠ CDF + ∠ EDC = 90°$，
∴ $∠ ADE = ∠ CDF$。
在 $△ ADE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ DCF, \\AD = CD, \\∠ ADE = ∠ CDF,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDF$（ASA），
∴ $DE = DF$。

变式：如图，$ABCD$ 是正方形，点 $G$ 是 $BC$ 上任意一点，$DE ⊥ AG$ 于点 $E$，$BF ⊥ AG$ 于点 $F$.
求证：$AF = BF + EF$.

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°。 ∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠BFA=90°。 ∵∠DAE+∠BAF=90°，∠ABF+∠BAF=90°，∴∠DAE=∠ABF。 在△ADE和△BAF中， $\{\begin{array}{l} ∠AED=∠BFA,\\ ∠DAE=∠ABF,\\ AD=BA,\end{array} $ ∴△ADE≌△BAF（AAS）。 ∴AE=BF。 ∵AF=AE+EF， ∴AF=BF+EF。

1. 如图，正方形 $ABCD$ 是校园的一块空地，为了给学生提供实践活动的场地，学校准备将空地中的四边形 $DEBF$ ($E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $BC$ 上，点 $E$，$F$ 不与端点重合)区域作为实践活动区，在点 $D$，$E$，$F$ 处设置出入口，要求 $∠ EDF = 45°$，再沿 $EF$ 铺设一条小路将实践活动区(即四边形 $DEBF$)划分为 $△ DEF$ 和 $△ BEF$ 两种不同的活动场地，王老师说小路 $EF$ 的长等于 $AE$ 与 $CF$ 的长度之和(即 $EF = AE + CF$)，请你判断他的说法是否正确，并说明理由.

王老师的说法正确，理由如下：
在正方形$ABCD$中，$AD = CD$，$∠ A=∠ BCD = 90°$。延长$FC$至点$G$，使$CG = AE$，连接$DG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中，$\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠ A=∠ DCG=90°\\AE=CG\end{array} $，$\therefore△ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$，$\therefore DE = DG$，$∠ ADE=∠ CDG$。
$\because∠ EDF = 45°$，$∠ ADC=90°$，$\therefore∠ ADE+∠ FDC=90°-45°=45°$，$\therefore∠ CDG+∠ FDC=∠ FDG = 45°=∠ EDF$。
在$△ EDF$和$△ GDF$中，$\{\begin{array}{l}DE=DG\\∠ EDF=∠ GDF\\DF=DF\end{array} $，$\therefore△ EDF≌△ GDF(\mathrm{SAS})$，$\therefore EF=GF$。
$\because GF=GC + CF$，且$GC = AE$，$\therefore EF=AE + CF$。
综上，王老师的说法正确。

2. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$ 上的点，且 $AE = BF$，连接 $DE$，$AF$ 交于点 $O$.
(1) 猜想 $DE$，$AF$ 的关系并证明；
(2) 若正方形边长为 $2$，点 $E$ 是 $AB$ 的中点，求 $OF$ 的长.

2.  (1) $DE=AF$且$DE⊥ AF，$证明如下：

学习盘点
如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AB$ 上一点，$F$ 是 $AD$ 延长线上一点，且 $DF = BE$. 若点 $G$ 在 $AD$ 上，且 $∠ GCE = 45°$，则 $GE = BE + GD$ 成立吗？为什么？