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1. 正方形的定义：有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形是正方形.

相等；直角

2. 正方形的性质：
(1) 四条边都 ；
(2) 四个角都是 ；
(3) 对角线相等，并且互相 ，每条对角线 一组对角；
(4) 所以正方形既是 ，又是 ，它具有一般平行四边形的所有性质，也具有菱形、矩形的所有性质；
(5) 正方形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，它有 条对称轴，它们分别是 和 .

(1)相等
(2)直角
(3)垂直平分；平分
(4)矩形；菱形
(5)是；4；两条对角线所在直线；每组对边中点连线所在直线

3. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $M$ 在对角线 $AC$ 上，连接 $BM$ 并延长交 $AD$ 于点 $N$，连接 $DM$，若 $∠ ADM = 28°$，则

$∠ DMN$ 的度数为()

A.$34°$
B.$32°$
C.$30°$
D.$28°$

A

在正方形$ABCD$中，$AD=AB$，$∠ DAB=90°$，对角线$AC$平分$∠ DAB$，则$∠ DAM=∠ BAM=45°$。
在$△ ADM$和$△ ABM$中，$\{\begin{array}{l} AD=AB\\ ∠ DAM=∠ BAM\\ AM=AM\end{array} $，$\therefore △ ADM≌△ ABM(SAS)$，$\therefore ∠ ABM=∠ ADM=28°$。
在$Rt△ ABN$中，$∠ BAN=90°$，$∠ ABN=28°$，$\therefore ∠ ANB=90°-28°=62°$。
$\because ∠ ANB+∠ DNM=180°$（平角定义），$\therefore ∠ DNM=180°-62°=118°$。
在$△ DMN$中，$∠ MDN=∠ ADM=28°$，$∠ DNM=118°$，$\therefore ∠ DMN=180°-28°-118°=34°$。

4. 正方形的边长为 $3cm$，它的周长是 ，面积是 ，对角线的长为 .
5. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$BC$ 的中点，$CE$，$DF$ 交于点 $G$，连接 $AG$，下列结论 ① $CE = DF$，② $CE ⊥ DF$，③ $∠ AGE = ∠ CDF$，④ $∠ EAG = 30°$ 中，正确的有几项()


A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

12cm；9cm²；3√2cm；C

4. 正方形周长=4×边长=4×3=12cm；面积=边长²=3²=9cm²；对角线=边长×√2=3√2cm。
5. 设正方形边长为2，建立坐标系：A(0,2)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,2)，E(0,1)，F(1,0)。
① 证△BCE≌△CDF(SAS)，得CE=DF，正确；
② 由全等得∠BCE=∠CDF，∠CDF+∠CFD=90°，则∠BCE+∠CFD=90°，∠CGF=90°，CE⊥DF，正确；
③ 求CE：y=-1/2x+1，DF：y=2x-2，交点G(6/5,2/5)。向量GA=(-6/5,8/5)，GE=(-6/5,3/5)，tan∠AGE=1/2；∠CDF中tan∠CDF=CF/CD=1/2，故∠AGE=∠CDF，正确；
④ tan∠EAG=3/4≠tan30°，错误。正确结论3项。

6. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是()

A.邻边相等
B.四个角都是直角
C.对角线相等
D.对角线互相平分

D

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，所以它们都一定具有的性质是对角线互相平分。邻边相等是菱形和正方形的性质，矩形不一定具有；四个角都是直角是矩形和正方形的性质，菱形不一定具有；对角线相等是矩形和正方形的性质，菱形不一定具有。

7. 已知正方形 $OABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$，则点 $A$ 的坐标为()


A.$(-2,2)$
B.$(2,-2)$
C.$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$
D.$(2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$

B

∵四边形OABC是正方形，∴OA=AB，∠OAB=90°，OB为对角线。
∵点B坐标为(4,0)，∴OB=4。
设点A坐标为(x,y)，则OA²=x²+y²，AB²=(x-4)²+y²。
∵OA=AB，∴x²+y²=(x-4)²+y²，解得x=2。
又∵正方形对角线OB=4，根据正方形对角线性质，OA=AB=OB/√2=4/√2=2√2（此处超纲，修正为：由勾股定理OA²+AB²=OB²，即2OA²=16，OA²=8，∴x²+y²=8）。
将x=2代入，得4+y²=8，y²=4，y=-2（点A在第四象限下方，y为负）。
∴点A坐标为(2,-2)。

1. 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知：四边形ABCD是正方形，AC、BD是对角线，交于点O。
求证：△AOB、△BOC、△COD、△DOA是四个全等的等腰直角三角形。
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=OB=OD（正方形对角线互相垂直平分且相等）。
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°。
∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是等腰直角三角形。
在△AOB和△BOC中，
OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB≌△BOC（SAS）。
同理可证△BOC≌△COD，△COD≌△DOA，△DOA≌△AOB。
∴正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。