11. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ A = 45^{\circ} $，$ BD $ 为 $ AC $ 边上的中线，求 $ \sin ∠ ABD $ 和 $ \tan ∠ ABD $ 的值。

11. $\sin ∠ ABD = \frac{\sqrt{10}}{10}$，$\tan ∠ ABD = \frac{1}{3}$

设 $ AC = BC = 2a $，则 $ CD = AD = a $。
在 $ △ BCD $ 中，$ CD = a $，$ BC = 2a $，$ ∠ C = 90° $，
$ BD = \sqrt{CD^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a $。
过 $ D $ 作 $ DE ⊥ AB $ 于 $ E $，
$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = 2\sqrt{2}a $，
$ ∠ A = 45° $，$ AD = a $，
$ DE = AD · \sin 45° = a · \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}a $。
在 $ △ BDE $ 中，$ \sin ∠ ABD = \frac{DE}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{10}}{10} $，
$ BE = AB - AE = 2\sqrt{2}a - \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{3\sqrt{2}}{2}a $，
$ \tan ∠ ABD = \frac{DE}{BE} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a} = \frac{1}{3} $。
$\sin ∠ ABD = \frac{\sqrt{10}}{10}$，$\tan ∠ ABD = \frac{1}{3}$

12. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，$ AD = 9 $，$ BD = 3 $，求 $ ∠ B $ 的度数。

12. $60^{\circ}$

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，
由射影定理得$CD^{2}=AD· BD=9×3=27$，则$CD=3\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$\tan B=\frac{CD}{BD}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
所以$∠ B=60^{\circ}$。

13. 小明同学在学习“锐角三角函数”的过程中，对互为倍数的两个锐角的正切产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究。
(1)初步尝试：我们知道：$ \tan 60^{\circ} = $，$ \tan 30^{\circ} = $，发现结论：$ \tan 2A $(填“$ = $”或“$ ≠ $”)$ 2 \tan A $
(2)实践探究：如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 2 $，$ BC = 1 $，求 $ \tan \dfrac{1}{2} A $ 的值；
小明想构造包含 $ \dfrac{1}{2} ∠ A $ 的直角三角形：延长 $ CA $ 至点 $ D $，使得 $ DA = AB $，连接 $ BD $，所以 $ ∠ D = \dfrac{1}{2} ∠ A $，即转化为求 $ ∠ D $ 的正切值。请按小明的思路求解 $ \tan \dfrac{1}{2} A $。

13. (1) $\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，≠ (2) 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$AB = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$，
∵ $DA = AB$，
∴ $DA = \sqrt{5}$，$∠ D = ∠ ABD$，
∴ $CD = \sqrt{5} + 2$。又
∵ $ ∠ BAC = ∠ D + ∠ ABD$，
∴ $ ∠ D = \frac{1}{2} ∠ BAC$。在$\mathrm{Rt} △ BCD$中，$\tan D = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \sqrt{5} - 2$，即$\tan \frac{1}{2} ∠ BAC = \sqrt{5} - 2$。