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1. 已知 $ α $ 为锐角，且 $ \sin α = \dfrac{1}{2} $，则 $ α $ 等于(
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $
A
)A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $
答案
1. A
2. 已知 $ α $ 是锐角，且 $ \cos α = \dfrac{1}{3} $，则下列各式中正确的是(
A.$ 60^{\circ} ＜ α ＜ 90^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} ＜ α ＜ 60^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} ＜ α ＜ 45^{\circ} $
D.$ 0^{\circ} ＜ α ＜ 30^{\circ} $
A
)A.$ 60^{\circ} ＜ α ＜ 90^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} ＜ α ＜ 60^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} ＜ α ＜ 45^{\circ} $
D.$ 0^{\circ} ＜ α ＜ 30^{\circ} $
答案
2. A
解析
∵α是锐角，且$\cosα=\dfrac{1}{3}$，$\cos60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$，$\cos90^{\circ}=0$，余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随角度增大而减小，$\dfrac{1}{3}＜\dfrac{1}{2}$，
∴$60^{\circ}＜α＜90^{\circ}$。
A
3. 已知 $ 2 \sin α - \sqrt{2} = 0 $，则锐角 $ α = $
$45^{\circ}$
。答案
3. $45^{\circ}$
解析
解：由$2\sinα - \sqrt{2} = 0$，得$2\sinα = \sqrt{2}$，$\sinα = \frac{\sqrt{2}}{2}$。因为$α$为锐角，所以$α = 45^{\circ}$。
4. 已知在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 1 $，$ AB = 2 $，则 $ ∠ A = $
$60^{\circ}$
。答案
4. $60^{\circ}$
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=1$，$AB=2$。
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，
所以$∠ A=60^{\circ}$。
$60^{\circ}$
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，
所以$∠ A=60^{\circ}$。
$60^{\circ}$
5. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ ∠ B = $
$60^{\circ}$
。答案
5. $60^{\circ}$
解析
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，所以$∠A + ∠B = 90^{\circ}$。
因为$\cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$0^{\circ} ＜ ∠A ＜ 90^{\circ}$，所以$∠A = 30^{\circ}$。
则$∠B = 90^{\circ} - ∠A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
$60^{\circ}$
因为$\cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$0^{\circ} ＜ ∠A ＜ 90^{\circ}$，所以$∠A = 30^{\circ}$。
则$∠B = 90^{\circ} - ∠A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
$60^{\circ}$
6. 已知 $ α $ 为锐角，且 $ 2 \sin α - \sqrt{3} = 0 $，则 $ \tan \dfrac{α}{2} = $
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
6. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
解：由$2\sinα - \sqrt{3} = 0$，得$\sinα = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$α$为锐角，所以$α = 60°$。
则$\frac{α}{2} = 30°$，$\tan\frac{α}{2} = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
因为$α$为锐角，所以$α = 60°$。
则$\frac{α}{2} = 30°$，$\tan\frac{α}{2} = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
7. 锐角 $ A $ 满足 $ \sin (A - 15^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ ∠ A = $
$75^{\circ}$
。答案
7. $75^{\circ}$
解析
因为$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin (A - 15^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以$A - 15^{\circ}=60^{\circ}$，解得$A=75^{\circ}$。
8. 如图，已知点 $ A(0,1) $，$ B(0,-1) $，以点 $ A $ 为圆心，$ AB $ 为半径作圆，交 $ x $ 轴的正半轴于点 $ C $，则 $ ∠ BAC $ 等于
60
$ ^{\circ} $。答案
8. 60
解析
解：
∵点$A(0,1)$，$B(0,-1)$，
∴$AB = |1 - (-1)| = 2$，$OA = 1$。
∵以点$A$为圆心，$AB$为半径作圆，
∴$AC = AB = 2$。
在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ BAC=\frac{OA}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ BAC = 60°$。
$60$
∵点$A(0,1)$，$B(0,-1)$，
∴$AB = |1 - (-1)| = 2$，$OA = 1$。
∵以点$A$为圆心，$AB$为半径作圆，
∴$AC = AB = 2$。
在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ BAC=\frac{OA}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ BAC = 60°$。
$60$
9. 若 $ α $ 为锐角，求适合下列各式的 $ α $ 的大小：
（1）$ 2 \cos α - \sqrt{2} = 0 $；
（2）$ \tan^{2} α - (1 - \sqrt{3}) \tan α - \sqrt{3} = 0 $。
（1）$ 2 \cos α - \sqrt{2} = 0 $；
（2）$ \tan^{2} α - (1 - \sqrt{3}) \tan α - \sqrt{3} = 0 $。
答案
9. (1) $α = 45^{\circ}$ (2) $α = 45^{\circ}$
解析
(1) $2\cosα - \sqrt{2} = 0$
$\cosα = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$α = 45^{\circ}$
(2) $\tan^{2}α - (1 - \sqrt{3})\tanα - \sqrt{3} = 0$
令$t = \tanα$，则$t^{2} - (1 - \sqrt{3})t - \sqrt{3} = 0$
$(t - 1)(t + \sqrt{3}) = 0$
$t = 1$或$t = -\sqrt{3}$
$\because α$为锐角，$\tanα ＞ 0$
$\therefore \tanα = 1$
$α = 45^{\circ}$
$\cosα = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$α = 45^{\circ}$
(2) $\tan^{2}α - (1 - \sqrt{3})\tanα - \sqrt{3} = 0$
令$t = \tanα$，则$t^{2} - (1 - \sqrt{3})t - \sqrt{3} = 0$
$(t - 1)(t + \sqrt{3}) = 0$
$t = 1$或$t = -\sqrt{3}$
$\because α$为锐角，$\tanα ＞ 0$
$\therefore \tanα = 1$
$α = 45^{\circ}$
10. 已知一次函数 $ y = - \dfrac{\sqrt{3}}{3} x + 1 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点分别为 $ A $，$ B $，求 $ ∠ BAO $ 的度数。
答案
10. $30^{\circ}$
解析
解：在一次函数$y = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + 1$中，
令$y = 0$，则$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + 1 = 0$，解得$x = \sqrt{3}$，所以点$A$的坐标为$(\sqrt{3}, 0)$，则$OA=\sqrt{3}$；
令$x = 0$，则$y = 1$，所以点$B$的坐标为$(0, 1)$，则$OB = 1$。
在$Rt△ AOB$中，$\tan∠ BAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$∠ BAO = 30^{\circ}$。
令$y = 0$，则$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + 1 = 0$，解得$x = \sqrt{3}$，所以点$A$的坐标为$(\sqrt{3}, 0)$，则$OA=\sqrt{3}$；
令$x = 0$，则$y = 1$，所以点$B$的坐标为$(0, 1)$，则$OB = 1$。
在$Rt△ AOB$中，$\tan∠ BAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$∠ BAO = 30^{\circ}$。
