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14. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为 $ 1 : 2 $，则这个等腰三角形的顶角为(
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 150^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $ 或 $ 150^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $ 或 $ 120^{\circ} $
C
)A.$ 30^{\circ} $
B.$ 150^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $ 或 $ 150^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $ 或 $ 120^{\circ} $
答案
14. C
解析
当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部。设顶角为$α$，腰长为$2a$，则高为$a$。在直角三角形中，$\sinα=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$α=30^{\circ}$。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。设顶角的补角为$β$，腰长为$2a$，则高为$a$。在直角三角形中，$\sinβ=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$β=30^{\circ}$，顶角$α=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$。
综上，顶角为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。
C
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。设顶角的补角为$β$，腰长为$2a$，则高为$a$。在直角三角形中，$\sinβ=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$β=30^{\circ}$，顶角$α=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$。
综上，顶角为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。
C
15. 定义：在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 30^{\circ} $，我们把 $ ∠ A $ 的对边与 $ ∠ C $ 的对边的比叫作 $ ∠ A $ 的邻弦，记作 $ \mathrm{thi} A $，即 $ \mathrm{thi} A = \dfrac{∠ A \mathrm{ 的对边}}{∠ C \mathrm{ 的对边}} = \dfrac{BC}{AB} $。请解答下列问题：
已知：在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 30^{\circ} $。
(1)若 $ ∠ A = 45^{\circ} $，求 $ \mathrm{thi} A $ 的值；
(2)若 $ \mathrm{thi} A = \sqrt{3} $，则 $ ∠ A = $
(3)若 $ ∠ A $ 是锐角，探究 $ \mathrm{thi} A $ 与 $ \sin A $ 的数量关系。
已知：在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 30^{\circ} $。
(1)若 $ ∠ A = 45^{\circ} $，求 $ \mathrm{thi} A $ 的值；
(2)若 $ \mathrm{thi} A = \sqrt{3} $，则 $ ∠ A = $
$60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$
；(3)若 $ ∠ A $ 是锐角，探究 $ \mathrm{thi} A $ 与 $ \sin A $ 的数量关系。
答案
15. 如图，过点$B$作$BH ⊥ AC$，垂足为点$H$。(1) 在$\mathrm{Rt} △ BHC$中，$\sin C = \frac{BH}{BC} = \frac{1}{2}$，即$BC = 2BH$。在$\mathrm{Rt} △ BHA$中，$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，即$AB = \sqrt{2}BH$，
∴ $\mathrm{thi} A = \frac{BC}{AB} = \sqrt{2}$；(2) $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ (3) 在$△ ABC$中，$\mathrm{thi} A = \frac{BC}{AB}$。在$\mathrm{Rt} △ BHA$中，$\sin A = \frac{BH}{AB}$。在$\mathrm{Rt} △ BHC$中，$\sin C = \frac{BH}{BC} = \frac{1}{2}$，即$BC = 2BH$。
∴ $\mathrm{thi} A = 2 \sin A$。
16. 【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知 $ α $ 为锐角，且 $ \tan α = \dfrac{1}{3} $，求 $ \sin 2 α $ 的值。
小娟是这样解决的：
如图 1，在 $ \odot O $ 中，$ AB $ 是直径，点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上，$ ∠ BAC = α $，所以 $ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ \tan α = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{3} $。
易得 $ ∠ BOC = 2 α $。设 $ BC = x $，则 $ AC = 3x $，则 $ AB = \sqrt{10} x $。作 $ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，求出 $ CD = $
【问题解决】
已知，如图 2，点 $ M $，$ N $，$ P $ 为 $ \odot O $ 上的三点，且 $ ∠ P = β $，$ \tan β = \dfrac{1}{2} $，求 $ \sin 2 β $ 的值。
刘老师提出这样一个问题：已知 $ α $ 为锐角，且 $ \tan α = \dfrac{1}{3} $，求 $ \sin 2 α $ 的值。
小娟是这样解决的：
如图 1，在 $ \odot O $ 中，$ AB $ 是直径，点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上，$ ∠ BAC = α $，所以 $ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ \tan α = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{3} $。
易得 $ ∠ BOC = 2 α $。设 $ BC = x $，则 $ AC = 3x $，则 $ AB = \sqrt{10} x $。作 $ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，求出 $ CD = $
$\frac{3\sqrt{10}}{10}x$
(用含 $ x $ 的式子表示)，可求得 $ \sin 2 α = \dfrac{CD}{OC} = $$\frac{3}{5}$
。【问题解决】
已知，如图 2，点 $ M $，$ N $，$ P $ 为 $ \odot O $ 上的三点，且 $ ∠ P = β $，$ \tan β = \dfrac{1}{2} $，求 $ \sin 2 β $ 的值。
答案
16. 【阅读学习】$\frac{3\sqrt{10}}{10}x$ $\frac{3}{5}$ 【问题解决】如图，连接$NO$，并延长交$\odot O$于点$Q$，连接$MQ$，$MO$，$MN$，作$MH ⊥ NO$于点$H$。在$\odot O$中，$∠ NMQ = 90^{\circ}$，
∵ $ ∠ Q = ∠ P = β$，$ OM = ON$，
∴ $ ∠ MON = 2 ∠ Q = 2β$。
∵ $ \tan β = \frac{1}{2}$，
∴ 设$MN = k$，则$MQ = 2k$，
∴ $NQ = \sqrt{MN^{2} + MQ^{2}} = \sqrt{5}k$，
∴ $OM = \frac{1}{2}NQ = \frac{\sqrt{5}}{2}k$。
∵ $S_{△ NMQ} = \frac{1}{2} MN · MQ = \frac{1}{2} NQ · MH$，
∴ $k · 2k = \sqrt{5}k · MH$，
∴ $MH = \frac{2\sqrt{5}}{5}k$。在$\mathrm{Rt} △ MHO$中，$\sin 2β = \sin ∠ MON = \frac{MH}{OM} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}k}{\frac{\sqrt{5}}{2}k} = \frac{4}{5}$。
