1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则()

A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$

1. B

在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠A$，$∠B$，$∠C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$。
根据正弦定义：$\sin B=\frac{b}{c}$，则$b = c\sin B$，选项B正确。
选项A：$c = b\sin B$可化为$c = b·\frac{b}{c}$，即$c^2 = b^2$，不成立。
选项C：$\tan B=\frac{b}{a}$，则$a=\frac{b}{\tan B}$，$a = b\tan B$不成立。
选项D：$b = c\tan B$可化为$b = c·\frac{b}{a}$，即$a = c$，不成立。
B

2. 在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$.若$AC = 100$，$\sin A = \frac{3}{5}$，则$AB$的长是()

A.$\frac{500}{3}$
B.$\frac{503}{5}$
C.$60$
D.$80$

2. D

在$△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ}$，$AC=100$，$\sin A=\frac{3}{5}$。
因为$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，所以$BC=AC×\frac{3}{5}=100×\frac{3}{5}=60$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{100^{2}-60^{2}}=\sqrt{10000 - 3600}=\sqrt{6400}=80$。
D

3. 如图，$AD$是$△ ABC$的高.若$BD = 2CD = 6$，$\tan∠ C = 2$，则边$AB$的长为()

A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{7}$

3. C

解：
∵ $BD = 2CD = 6$，
∴ $CD = 3$，$BC = BD + CD = 6 + 3 = 9$。
∵ $AD$ 是 $△ ABC$ 的高，
∴ $∠ ADC = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$\tan∠ C = \frac{AD}{CD} = 2$，
∴ $AD = 2 × CD = 2 × 3 = 6$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$AB = \sqrt{BD^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
答案：C

4. (2024·临夏州)如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$\sin B = \frac{4}{5}$，则$BC$的长是()

A.$3$
B.$6$
C.$8$
D.$9$

4. B

解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{5}$，$AB = 5$，则$AD = AB · \sin B = 5 × \frac{4}{5} = 4$。
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
因为$AB = AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高，故$BC = 2BD = 2 × 3 = 6$。
答案：B

5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，延长斜边$BC$到点$D$，使$CD = \frac{1}{2}BC$，连接$AD$，若$\tan B = \frac{5}{3}$，则$\tan∠ CAD$的值为()

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{5}$

5. D

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$，设$AC=5k$，$AB=3k$（$k＞0$）。
过点$C$作$CE⊥ AC$交$AD$于点$E$，则$CE// AB$。
$△ DCE∽△ DBA$，$\frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}$。
因为$CD=\frac{1}{2}BC$，设$CD=m$，则$BC=2m$，$BD=BC+CD=3m$，$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$。
所以$CE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×3k=k$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$\tan∠ CAD=\frac{CE}{AC}=\frac{k}{5k}=\frac{1}{5}$。
答案：D

6. 在$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$\sin∠ ABC = 0.8$，则$BC =$.

6. 6

解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
因为$AB = AC = 5$，所以$△ABC$是等腰三角形，$BD = DC$。
在$Rt△ABD$中，$\sin∠ABC = \frac{AD}{AB} = 0.8$，$AB = 5$，
所以$AD = AB × 0.8 = 5 × 0.8 = 4$。
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
所以$BC = 2BD = 2 × 3 = 6$。
6

7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，点$D$为$AB$边的中点，连接$CD$，若$BC = 4$，$CD = 3$，则$\cos∠ DCB$的值为.

7. $\frac{2}{3}$

解：在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，点$D$为$AB$边的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=BD$，
$\because CD=3$，
$\therefore BD=3$，
过点$D$作$DE⊥BC$于点$E$，
$\because BD=CD=3$，
$\therefore E$为$BC$的中点，
$\because BC=4$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=2$，
在$Rt△CDE$中，$\cos∠DCB=\frac{CE}{CD}=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$

8. (2023·牡丹江)如图，将$45^{\circ}$的$∠ AOB$按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点$O$与尺下沿的端点重合，$OA$与尺下沿重合，$OB$与尺上沿的交点$B$在尺上的读数恰为$2\mathrm{cm}$，若按相同的方式将$22.5^{\circ}$的$∠ AOC$放置在该刻度尺上，则$OC$与尺上沿的交点$C$在尺上的读数为$\mathrm{cm}$.

8. $(2\sqrt{2}+2)$

设刻度尺上沿与下沿之间的距离为$h$。
在$∠AOB = 45^{\circ}$中，$OB$与尺上沿交点$B$读数为$2\mathrm{cm}$，即$OB$在$OA$方向投影长度为$2\mathrm{cm}$。因为$\tan45^{\circ}=\frac{h}{2}$，且$\tan45^{\circ}=1$，所以$h = 2\mathrm{cm}$。
对于$∠AOC = 22.5^{\circ}$，设$OC$与尺上沿交点$C$的读数为$x\mathrm{cm}$，则$\tan22.5^{\circ}=\frac{h}{x}=\frac{2}{x}$。
由$\tan45^{\circ}=\frac{2\tan22.5^{\circ}}{1 - \tan^{2}22.5^{\circ}} = 1$，设$t=\tan22.5^{\circ}(t＞0)$，则$\frac{2t}{1 - t^{2}}=1$，即$t^{2}+2t - 1=0$，解得$t=-1+\sqrt{2}$（负根舍去）。
所以$\tan22.5^{\circ}=\sqrt{2}-1=\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{2}-1}=2(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2}+2$。
$2\sqrt{2}+2$

9. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，分别根据下列条件，解此直角三角形.
（1）$∠ A = 30^{\circ}$，$b = 2\sqrt{3}$；（2）$c = 10$，$∠ B = 60^{\circ}$；（3）$a = \sqrt{6}$，$c = 2\sqrt{3}$；（4）$a = 2\sqrt{6}$，$b = 6\sqrt{2}$.

9. (1) $∠ B=60^{\circ},a=2,c=4$ (2) $∠ A=30^{\circ},a=5,b=5\sqrt{3}$ (3) $∠ A=∠ B=45^{\circ},b=\sqrt{6}$ (4) $∠ A=30^{\circ},∠ B=60^{\circ},c=4\sqrt{6}$

(1) $∠ B=90^{\circ}-∠ A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，$\tan A=\frac{a}{b}$，$a=b\tan A=2\sqrt{3}\tan30^{\circ}=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$c=\frac{b}{\cos A}=\frac{2\sqrt{3}}{\cos30^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$
(2) $∠ A=90^{\circ}-∠ B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$\sin A=\frac{a}{c}$，$a=c\sin A=10\sin30^{\circ}=10×\frac{1}{2}=5$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$b=c\cos A=10\cos30^{\circ}=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$
(3) $\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$∠ A=45^{\circ}$，$∠ B=90^{\circ}-∠ A=45^{\circ}$，$b=a=\sqrt{6}$
(4) $\tan A=\frac{a}{b}=\frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$∠ A=30^{\circ}$，$∠ B=90^{\circ}-∠ A=60^{\circ}$，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+(6\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{24+72}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$