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10. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$\sin A = \frac{2}{5}$，求$BC$的长和$\tan B$的值.
答案
10. $\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5},AB=10,\therefore BC=4$,又$\because AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=2\sqrt{21},\therefore \tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{2}$.
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，
$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}$，$AB=10$，
$\therefore BC=AB· \sin A=10×\frac{2}{5}=4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=\sqrt{100 - 16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$，
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{21}}{4}=\frac{\sqrt{21}}{2}$。
答：$BC$的长为$4$，$\tan B$的值为$\frac{\sqrt{21}}{2}$。
$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}$，$AB=10$，
$\therefore BC=AB· \sin A=10×\frac{2}{5}=4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=\sqrt{100 - 16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$，
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{21}}{4}=\frac{\sqrt{21}}{2}$。
答：$BC$的长为$4$，$\tan B$的值为$\frac{\sqrt{21}}{2}$。
11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ B = 30^{\circ}$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，与$BC$相交于点$D$，且$AB = 4\sqrt{3}$，求$AD$的长.
答案
11. 4
解析
解：在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠B=30^{\circ}$，$AB=4\sqrt{3}$，
$\therefore ∠BAC=60^{\circ}$，$AC=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
$∵AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=30^{\circ}$。
在$Rt△ACD$中，$\cos∠CAD=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore AD=\frac{AC}{\cos30^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
$\therefore ∠BAC=60^{\circ}$，$AC=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
$∵AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=30^{\circ}$。
在$Rt△ACD$中，$\cos∠CAD=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore AD=\frac{AC}{\cos30^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
12. 如图，在$△ ABC$中，$BC = 12$，$\tan A = \frac{3}{4}$，$∠ B = 30^{\circ}$，求$AC$和$AB$的长.
答案
12. 如图,过点 C 作$CH⊥ AB$于点 H. 在$Rt△ BCH$中,$\because BC=12,∠ B=30^{\circ},\therefore CH=\frac{1}{2}BC=6,BH=\sqrt{BC^{2}-CH^{2}}=6\sqrt{3}$,在$Rt△ ACH$中,$\tan A=\frac{3}{4}=\frac{CH}{AH},\therefore AH=8,\therefore AC=\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=10,\therefore AB=AH+BH=8+6\sqrt{3}$.
13. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 4$，$BC = 6$.
（1）求$\sin B$的值；
（2）延长$BC$至点$D$，使得$∠ ADB = 30^{\circ}$，求$CD$的长.
（1）求$\sin B$的值；
（2）延长$BC$至点$D$，使得$∠ ADB = 30^{\circ}$，求$CD$的长.
答案
13. (1) 过点 A 作 BC 的垂线,垂足为点 M,$\because AB=AC=4,BC=6,\therefore BM=CM=3$. 在$Rt△ ABM$中,$AM=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7},\sin B=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. (2) 在$Rt△ ADM$中,$\tan D=\frac{AM}{DM}$,即$\frac{\sqrt{7}}{DM}=\frac{\sqrt{3}}{3},\therefore DM=\sqrt{21},\therefore CD=DM-CM=\sqrt{21}-3$.
解析
（1）过点$A$作$BC$的垂线，垂足为点$M$。
$\because AB = AC = 4$，$BC = 6$，$\therefore BM = CM = 3$。
在$Rt△ ABM$中，$AM = \sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，
$\sin B=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。
（2）在$Rt△ ADM$中，$\tan D=\frac{AM}{DM}$，$∠ ADB = 30^{\circ}$，
$\therefore \tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{7}}{DM}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{7}}{DM}$，解得$DM = \sqrt{21}$。
$\therefore CD = DM - CM=\sqrt{21}-3$。
$\because AB = AC = 4$，$BC = 6$，$\therefore BM = CM = 3$。
在$Rt△ ABM$中，$AM = \sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，
$\sin B=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。
（2）在$Rt△ ADM$中，$\tan D=\frac{AM}{DM}$，$∠ ADB = 30^{\circ}$，
$\therefore \tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{7}}{DM}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{7}}{DM}$，解得$DM = \sqrt{21}$。
$\therefore CD = DM - CM=\sqrt{21}-3$。
14. 如图，在顶角为$30^{\circ}$的等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，若过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，则$∠ BCD = 15^{\circ}$.根据图形计算$\tan 15^{\circ} =$
$2 - \sqrt{3}$
.答案
14. $2 - \sqrt{3}$
解析
解：设 $ AB = AC = 2a $。
在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ ∠ A = 30° $，则 $ ∠ B = ∠ ACB = \frac{180° - 30°}{2} = 75° $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，$ ∠ A = 30° $，$ AC = 2a $，所以 $ CD = AC · \sin 30° = 2a · \frac{1}{2} = a $，$ AD = AC · \cos 30° = 2a · \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}a $。
因为 $ AB = 2a $，所以 $ DB = AB - AD = 2a - \sqrt{3}a = (2 - \sqrt{3})a $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ \tan ∠ BCD = \frac{DB}{CD} = \frac{(2 - \sqrt{3})a}{a} = 2 - \sqrt{3} $，又因为 $ ∠ BCD = 15° $，所以 $ \tan 15° = 2 - \sqrt{3} $。
$ 2 - \sqrt{3} $
在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ ∠ A = 30° $，则 $ ∠ B = ∠ ACB = \frac{180° - 30°}{2} = 75° $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，$ ∠ A = 30° $，$ AC = 2a $，所以 $ CD = AC · \sin 30° = 2a · \frac{1}{2} = a $，$ AD = AC · \cos 30° = 2a · \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}a $。
因为 $ AB = 2a $，所以 $ DB = AB - AD = 2a - \sqrt{3}a = (2 - \sqrt{3})a $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ \tan ∠ BCD = \frac{DB}{CD} = \frac{(2 - \sqrt{3})a}{a} = 2 - \sqrt{3} $，又因为 $ ∠ BCD = 15° $，所以 $ \tan 15° = 2 - \sqrt{3} $。
$ 2 - \sqrt{3} $
15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 12$，$AB$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$D$，连接$BD$，若$\cos∠ BDC = \frac{5}{7}$，则$BC$的长是(
A.$10$
B.$8$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
D
)A.$10$
B.$8$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
15. D
解析
解：设 $ CD = 5x $，$ BD = 7x $。
在 $ △ BCD $ 中，$ ∠ C = 90° $，由勾股定理得：
$ BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{(7x)^2 - (5x)^2} = \sqrt{24x^2} = 2\sqrt{6}x $。
因为 $ EF $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，所以 $ AD = BD = 7x $。
又 $ AC = AD + CD = 7x + 5x = 12x = 12 $，解得 $ x = 1 $。
因此 $ BC = 2\sqrt{6}x = 2\sqrt{6} $。
答案：D
在 $ △ BCD $ 中，$ ∠ C = 90° $，由勾股定理得：
$ BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{(7x)^2 - (5x)^2} = \sqrt{24x^2} = 2\sqrt{6}x $。
因为 $ EF $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，所以 $ AD = BD = 7x $。
又 $ AC = AD + CD = 7x + 5x = 12x = 12 $，解得 $ x = 1 $。
因此 $ BC = 2\sqrt{6}x = 2\sqrt{6} $。
答案：D
16. 在$△ ABC$中，$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$∠ B = 45^{\circ}$，求$BC$的长.
答案
16. ①当$△ ABC$为锐角三角形时,过点 A 作$AD⊥ BC$于点 D,如图 1,$\because AB=3\sqrt{6},∠ B=45^{\circ},\therefore AD=BD=AB· \sin 45^{\circ}=3\sqrt{3},\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=3,\therefore BC=BD+CD=3\sqrt{3}+3$;②当$△ ABC$为钝角三角形时,过点 A 作$AD⊥ BC$交 BC 延长线于点 D,如图 2,$\because AB=3\sqrt{6},∠ B=45^{\circ},\therefore AD=BD=AB· \sin 45^{\circ}=3\sqrt{3},\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=3,\therefore BC=BD - CD=3\sqrt{3}-3$;综上,BC 的长为$3\sqrt{3}+3$或$3\sqrt{3}-3$.
