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22. （2024·宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成。某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
已知测角仪的高度为$1.2$米，点$C$，$E$，$A$在同一水平直线上。根据以上信息，求塔$AB$的高度。（参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$）
已知测角仪的高度为$1.2$米，点$C$，$E$，$A$在同一水平直线上。根据以上信息，求塔$AB$的高度。（参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$）
答案
22. 由题意得, $DF = CE = 24$ 米, $AG = EF = CD = 1.2$ 米, $∠ BDG = 37^{\circ}$, $∠ BFG = 45^{\circ}$, 在 $Rt△ BDG$ 中, $\tan ∠ BDG = \tan 37^{\circ} = \frac{BG}{DG} \approx 0.75$, $\therefore GD = \frac{BG}{0.75}$, 在 $Rt△ BFG$ 中, $\because ∠ BFG = 45^{\circ}$, $\therefore FG = BG$. $\because DF = 24$ 米, $\therefore DG - FG = \frac{BG}{0.75} - BG = 24$, 解得 $BG = 72$, $\therefore AB = 72 + 1.2 = 73.2$(米). 答: 塔 $AB$ 的高度为 $73.2$ 米.
解析
解：由题意得，测角仪高度为$1.2$米，故$AG = CD = EF = 1.2$米，$DF = CE = 24$米，$∠ BDG = 37°$，$∠ BFG = 45°$。
设$BG = x$米。
在$Rt△ BFG$中，$∠ BFG = 45°$，则$FG = BG = x$米。
在$Rt△ BDG$中，$\tan∠ BDG = \frac{BG}{DG}$，即$\tan 37° = \frac{x}{DG}$，$DG = \frac{x}{\tan 37°} \approx \frac{x}{0.75}$。
因为$DG - FG = DF$，所以$\frac{x}{0.75} - x = 24$，解得$x = 72$。
则$AB = BG + AG = 72 + 1.2 = 73.2$米。
答：塔$AB$的高度为$73.2$米。
设$BG = x$米。
在$Rt△ BFG$中，$∠ BFG = 45°$，则$FG = BG = x$米。
在$Rt△ BDG$中，$\tan∠ BDG = \frac{BG}{DG}$，即$\tan 37° = \frac{x}{DG}$，$DG = \frac{x}{\tan 37°} \approx \frac{x}{0.75}$。
因为$DG - FG = DF$，所以$\frac{x}{0.75} - x = 24$，解得$x = 72$。
则$AB = BG + AG = 72 + 1.2 = 73.2$米。
答：塔$AB$的高度为$73.2$米。
23. （2023·宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射。如图，飞船在离地球大约$330\,\mathrm{km}$的圆形轨道上，当运行到地球表面$P$点的正上方$F$点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点$Q$。在$\mathrm{Rt}△ OQF$中，$OP = OQ \approx 6400\,\mathrm{km}$。
（参考数据：$\cos 16^{\circ} \approx 0.96$，$\cos 18^{\circ} \approx 0.95$，$\cos 20^{\circ} \approx 0.94$，$\cos 22^{\circ} \approx 0.93$，$π \approx 3.14$）
（1）求$\cos α$的值（精确到$0.01$）；
（2）在$\odot O$中，求$\overset{\frown}{PQ}$的长（结果取整数）。
（参考数据：$\cos 16^{\circ} \approx 0.96$，$\cos 18^{\circ} \approx 0.95$，$\cos 20^{\circ} \approx 0.94$，$\cos 22^{\circ} \approx 0.93$，$π \approx 3.14$）
（1）求$\cos α$的值（精确到$0.01$）；
（2）在$\odot O$中，求$\overset{\frown}{PQ}$的长（结果取整数）。
答案
23. (1) 由题意知 $FQ$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore ∠ OQF = 90^{\circ}$. $\because OP = OQ = 6400km$, $FP = 330km$, $\therefore OF = OP + FP = 6730km$, $\therefore \cos α = \frac{OQ}{OF} = \frac{6400}{6730} \approx 0.95$; (2) $\because \cos α \approx 0.95$, $\therefore α = 18^{\circ}$, $\therefore \overgroup{PQ}$ 的长为 $\frac{18π · 6400}{180} \approx 2010km$.
解析
(1) 由题意知 $FQ$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore ∠ OQF = 90°$。
$\because OP = OQ = 6400\,\mathrm{km}$，$FP = 330\,\mathrm{km}$，
$\therefore OF = OP + FP = 6400 + 330 = 6730\,\mathrm{km}$，
$\therefore \cosα = \frac{OQ}{OF} = \frac{6400}{6730} \approx 0.95$；
(2) $\because \cosα \approx 0.95$，$\therefore α = 18°$，
$\therefore \overset{\frown}{PQ}$ 的长为 $\frac{18 × π × 6400}{180} \approx \frac{18 × 3.14 × 6400}{180} = 2009.6 \approx 2010\,\mathrm{km}$。
$\because OP = OQ = 6400\,\mathrm{km}$，$FP = 330\,\mathrm{km}$，
$\therefore OF = OP + FP = 6400 + 330 = 6730\,\mathrm{km}$，
$\therefore \cosα = \frac{OQ}{OF} = \frac{6400}{6730} \approx 0.95$；
(2) $\because \cosα \approx 0.95$，$\therefore α = 18°$，
$\therefore \overset{\frown}{PQ}$ 的长为 $\frac{18 × π × 6400}{180} \approx \frac{18 × 3.14 × 6400}{180} = 2009.6 \approx 2010\,\mathrm{km}$。
