24. （2024·苏州）图1是某种可调节支撑架，$BC$为水平固定杆，竖直固定杆$AB ⊥ BC$，活动杆$AD$可绕点$A$旋转，$CD$为液压可伸缩支撑杆，已知$AB = 10\,\mathrm{cm}$，$BC = 20\,\mathrm{cm}$，$AD = 50\,\mathrm{cm}$。
（1）如图2，当活动杆$AD$处于水平状态时，求可伸缩支撑杆$CD$的长度（结果保留根号）；
（2）如图3，当活动杆$AD$绕点$A$由水平状态按逆时针方向旋转角度$α$，且$\tan α = \frac{3}{4}$（$α$为锐角），求此时可伸缩支撑杆$CD$的长度（结果保留根号）。

24. (1) 过点 $C$ 作 $CE ⊥ AD$, 垂足为点 $E$, 由题意得: $AB = CE = 10cm$, $BC = AE = 20cm$. $\because AD = 50cm$, $\therefore ED = AD - AE = 50 - 20 = 30(cm)$, 在 $Rt△ CED$ 中, $CD = \sqrt{CE^{2} + DE^{2}} = \sqrt{10^{2} + 30^{2}} = 10\sqrt{10}(cm)$, $\therefore$ 可伸缩支撑杆 $CD$ 的长度为 $10\sqrt{10}cm$; (2) 过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$, 交 $BC$ 的延长线于点 $F$, 交 $AD'$ 于点 $G$, 由题意得 $AB = FG = 10cm$, $AG = BF$, $∠ AGD = 90^{\circ}$, 在 $Rt△ ADG$ 中, $\tan α = \frac{DG}{AG} = \frac{3}{4}$, $\therefore$ 设 $DG = 3xcm$, 则 $AG = 4xcm$, $\therefore AD = \sqrt{AG^{2} + DG^{2}} = \sqrt{(4x)^{2} + (3x)^{2}} = 5x(cm)$. $\because AD = 50cm$, $\therefore 5x = 50$, 解得 $x = 10$, $\therefore AG = 40cm$, $DG = 30cm$, $\therefore DF = DG + FG = 30 + 10 = 40(cm)$, $\therefore BF = AG = 40cm$. $\because BC = 20cm$, $\therefore CF = BF - BC = 40 - 20 = 20(cm)$, 在 $Rt△ CFD$ 中, $CD = \sqrt{CF^{2} + DF^{2}} = \sqrt{20^{2} + 40^{2}} = 20\sqrt{5}(cm)$, $\therefore$ 此时可伸缩支撑杆 $CD$ 的长度为 $20\sqrt{5}cm$.

25. （2024·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔$AB$的高度（如图1）。某学习小组设计了一个方案：如图2，点$C$，$D$，$E$依次在同一条水平直线上，$DE = 36\,\mathrm{m}$，$EC ⊥ AB$，垂足为点$C$。在$D$处测得桥塔顶部$B$的仰角（$∠ CDB$）为$45^{\circ}$，测得桥塔底部$A$的俯角（$∠ CDA$）为$6^{\circ}$，又在$E$处测得桥塔顶部$B$的仰角（$∠ CEB$）为$31^{\circ}$。
（1）求线段$CD$的长（结果取整数）；
（2）求桥塔$AB$的高度（结果取整数）。参考数据：$\tan 31^{\circ} \approx 0.6$，$\tan 6^{\circ} \approx 0.1$。

25. (1) 设 $CD = x$, $\because DE = 36m$, $\therefore CE = CD + DE = (x + 36)m$. $\because EC ⊥ AB$, $\therefore ∠ BCE = ∠ ACD = 90^{\circ}$. $\because \tan ∠ CDB = \frac{BC}{CD}$, $∠ CDB = 45^{\circ}$, $\therefore BC = CD · \tan ∠ CDB = x · \tan 45^{\circ} = xm$. $\because \tan ∠ CEB = \frac{BC}{CE}$, $∠ CEB = 31^{\circ}$, $\therefore BC = CE · \tan ∠ CEB = (x + 36) · \tan 31^{\circ}$, $\therefore x = (x + 36) · \tan 31^{\circ}$, 解得 $x = \frac{36 × \tan 31^{\circ}}{1 - \tan 31^{\circ}} \approx \frac{36 × 0.6}{1 - 0.6} = 54$. 答: 线段 $CD$ 的长约为 $54m$; (2) $\because \tan ∠ CDA = \frac{AC}{CD}$, $∠ CDA = 6^{\circ}$, $\therefore AC = CD · \tan ∠ CDA \approx 54 × \tan 6^{\circ} \approx 54 × 0.1 = 5.4(m)$, $\therefore AB = AC + BC \approx 5.4 + 54 \approx 59(m)$. 答: 桥塔 $AB$ 的高度约为 $59m$.

（1）设$CD = x$，
$\because DE = 36\,\mathrm{m}$，
$\therefore CE = CD + DE = (x + 36)\,\mathrm{m}$。
$\because EC ⊥ AB$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\tan ∠ CDB = \frac{BC}{CD}$，$∠ CDB = 45°$，
$\therefore BC = CD · \tan 45° = x · 1 = x\,\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\tan ∠ CEB = \frac{BC}{CE}$，$∠ CEB = 31°$，
$\therefore BC = CE · \tan 31° = (x + 36) · \tan 31°$。
$\therefore x = (x + 36) · \tan 31°$，
解得$x = \frac{36 · \tan 31°}{1 - \tan 31°} \approx \frac{36 × 0.6}{1 - 0.6} = 54$。
答：线段$CD$的长约为$54\,\mathrm{m}$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan ∠ CDA = \frac{AC}{CD}$，$∠ CDA = 6°$，
$\therefore AC = CD · \tan 6° \approx 54 × 0.1 = 5.4\,\mathrm{m}$。
$\because AB = AC + BC$，$BC = 54\,\mathrm{m}$，
$\therefore AB \approx 5.4 + 54 = 59\,\mathrm{m}$。
答：桥塔$AB$的高度约为$59\,\mathrm{m}$。