26. （2023·自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡$AB$，$BC$，$CD$，山的高度即为三段坡面的铅直高度$BH$，$CQ$，$DR$之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小。
如图2，同学们将两根直杆$MN$，$MP$的一端放在坡面起始端$A$处，直杆$MP$沿坡面$AB$方向放置，在直杆$MN$另一端$N$用细线系小重物$G$，当直杆$MN$与铅垂线$NG$重合时，测得两杆夹角$α$的度数，由此可得山坡$AB$坡角$β$的度数。请直接写出$α$，$β$之间的数量关系。
（2）测量山高
同学们测得山坡$AB$，$BC$，$CD$的坡长依次为$40$米，$50$米，$40$米，坡角依次为$24^{\circ}$，$30^{\circ}$，$45^{\circ}$；为求$BH$，小熠同学在作业本上画了一个含$24^{\circ}$角的$\mathrm{Rt}△ TKS$（如图3），量得$KT \approx 5\,\mathrm{cm}$，$TS \approx 2\,\mathrm{cm}$。求山高$DF$。（$\sqrt{2} \approx 1.41$，结果精确到$1$米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法。

如图4，5，在学校操场上，将直杆$NP$置于$MN$的顶端，当$MN$与铅垂线$NG$重合时，转动直杆$NP$，使点$N$，$P$，$D$共线，测得$∠ MNP$的度数，从而得到山顶仰角$β_1$，向后山方向前进$40$米，采用相同方式，测得山顶仰角$β_2$；画一个含$β_1$的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为$a_1$厘米，$b_1$厘米，再画一个含$β_2$的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为$a_2$厘米，$b_2$厘米。已知杆高$MN$为$1.6$米，求山高$DF$。（结果用不含$β_1$，$β_2$的字母表示）

26. (1) $\because$ 铅直线与水平线垂直, $\therefore α + β = 90^{\circ}$. 故 $α$, $β$ 之间的数量关系为: $α + β = 90^{\circ}$; (2) 在 $Rt△ ABH$ 中, $\because AB = 40$ 米, $∠ BAH = 24^{\circ}$, $\sin ∠ BAH = \frac{BH}{AB}$, $\therefore \sin 24^{\circ} = \frac{BH}{40}$. 在 $Rt△ TKS$ 中, $\because KT \approx 5cm$, $TS \approx 2cm$, $∠ TKS = 24^{\circ}$, $\sin ∠ TKS = \frac{TS}{KT}$, $\therefore \sin 24^{\circ} = \frac{2}{5}$, $\therefore \frac{BH}{40} = \frac{2}{5}$, 解得 $BH = 16$ 米. 在 $Rt△ CBQ$ 中, $\because BC = 50$ 米, $∠ CBQ = 30^{\circ}$, $\therefore CQ = \frac{1}{2}CB = 25$ 米. 在 $Rt△ DCR$ 中, $\because CD = 40$ 米, $∠ DCR = 45^{\circ}$, $\sin ∠ DCR = \frac{DR}{CD}$, $\therefore DR = CD · \sin ∠ DCR = 40 · \sin 45^{\circ} = 20\sqrt{2}$(米). $\therefore DF = BH + CQ + DR = 16 + 25 + 20\sqrt{2} \approx 69$(米). 答: 山高 $DF$ 约为 $69$ 米; (3) 由题意, 得 $\tan β_{1} = \frac{a_{1}}{b_{1}}$, $\tan β_{2} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$, 在 $Rt△ DNL$ 中, $\because \tan β_{1} = \frac{DL}{NL} = \frac{a_{1}}{b_{1}}$, $\therefore NL = \frac{b_{1}}{a_{1}}DL$. 在 $Rt△ DN'R$ 中, $\because \tan β_{2} = \frac{DL}{N'L} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$, $\therefore N'L = \frac{b_{2}}{a_{2}}DL$. $\because NL - N'L = NN' = 40$(米), $\therefore \frac{b_{1}}{a_{1}}DL - \frac{b_{2}}{a_{2}}DL = 40$. 解得 $DL = \frac{40a_{1}a_{2}}{b_{1}a_{2} - b_{2}a_{1}}$, $\therefore$ 山高 $DF = DL + LF = \frac{40a_{1}a_{2}}{b_{1}a_{2} - b_{2}a_{1}} + 1.6$(米). 答: 山高 $DF$ 为 $(\frac{40a_{1}a_{2}}{b_{1}a_{2} - b_{2}a_{1}} + 1.6)$ 米.

（1）$α + β = 90°$
（2）在$Rt△ ABH$中，$AB = 40$米，$∠ BAH = 24°$，$\sin 24° = \frac{BH}{AB}$。在$Rt△ TKS$中，$KT \approx 5\,\mathrm{cm}$，$TS \approx 2\,\mathrm{cm}$，$\sin 24° = \frac{TS}{KT} = \frac{2}{5}$，则$\frac{BH}{40} = \frac{2}{5}$，解得$BH = 16$米。在$Rt△ CBQ$中，$BC = 50$米，$∠ CBQ = 30°$，$CQ = \frac{1}{2}CB = 25$米。在$Rt△ DCR$中，$CD = 40$米，$∠ DCR = 45°$，$DR = CD · \sin 45° = 40 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$米。$DF = BH + CQ + DR = 16 + 25 + 20\sqrt{2} \approx 16 + 25 + 20 × 1.41 = 69.2 \approx 69$米。
（3）由题意得$\tan β_1 = \frac{a_1}{b_1}$，$\tan β_2 = \frac{a_2}{b_2}$。设$DL = h$，在$Rt△ DNL$中，$NL = \frac{h}{\tan β_1} = \frac{b_1 h}{a_1}$；在$Rt△ DN'R$中，$N'L = \frac{h}{\tan β_2} = \frac{b_2 h}{a_2}$。因为$NL - N'L = 40$米，所以$\frac{b_1 h}{a_1} - \frac{b_2 h}{a_2} = 40$，解得$h = \frac{40 a_1 a_2}{b_1 a_2 - b_2 a_1}$。山高$DF = h + 1.6 = \frac{40 a_1 a_2}{b_1 a_2 - b_2 a_1} + 1.6$米。