18. 如图，$∠ AOB$的边$OB$与$x$轴正半轴重合，点$P$是$OA$上的一动点，点$N(3,0)$是$OB$上的一定点，点$M$是$ON$的中点，$∠ AOB = 30^{\circ}$，要使$PM + PN$最小，则点$P$的坐标为。

18. $(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

解：作点N关于OA的对称点N'，连接N'M交OA于点P，此时PM+PN最小。
∵∠AOB=30°，点N(3,0)，
∴点N'的坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$。
∵点M是ON的中点，N(3,0)，
∴M$(\frac{3}{2}, 0)$。
设直线N'M的解析式为$y=kx+b$，
将N'$(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$，M$(\frac{3}{2}, 0)$代入，得直线N'M为$x=\frac{3}{2}$。
∵OA的解析式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
联立$\begin{cases}x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$。
∴点P的坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$。

三、解答题
19. 计算：$\sin 60^{\circ} · \tan 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ}$。

19. 2

解：$\sin 60^{\circ} · \tan 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{3} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
$=\frac{3}{2} + \frac{2}{4}$
$=\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$
$=2$

20. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB = 90^{\circ}$，$\cos C = \frac{4}{5}$，$AC = 12$，$BD$平分$∠ CBA$交$AC$边于点$D$。求：
（1）线段$AB$的长；
（2）$\tan ∠ DBA$的值。

20. (1) $\because$ 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ CAB = 90^{\circ}$, $\therefore \cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$. $\because AC = 12$, $\therefore BC = 15$, $\therefore AB = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9$; (2) 如图, 过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ 于点 $E$, 设 $AD = x$, 则 $CD = 12 - x$. $\because BD$ 平分 $∠ CBA$ 交 $AC$ 边于点 $D$, $∠ CAB = 90^{\circ}$, $\therefore DE = AD = x$. 在 $Rt△ BDE$ 与 $Rt△ BDA$ 中, $\{\begin{array}{l} BD = BD, \\ DE = DA, \end{array} $ $\therefore Rt△ BDE ≌ Rt△ BDA (HL)$, $\therefore BE = BA = 9$, $\therefore CE = BC - BE = 15 - 9 = 6$. 在 $Rt△ CDE$ 中, $\because ∠ CED = 90^{\circ}$, $\therefore DE^{2} + CE^{2} = CD^{2}$, $\therefore x^{2} + 6^{2} = (12 - x)^{2}$, 解得 $x = \frac{9}{2}$, $\therefore AD = \frac{9}{2}$, $\therefore \tan ∠ DBA = \frac{AD}{AB} = \frac{\frac{9}{2}}{9} = \frac{1}{2}$.

21. （2023·丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道$A - D - C$，已知$DC ⊥ BC$，$AB ⊥ BC$，$∠ A = 60^{\circ}$，$AB = 11\,\mathrm{m}$，$CD = 4\,\mathrm{m}$，求管道$A - D - C$的总长。

21. 如图, 过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$, 则 $∠ AED = 90^{\circ}$, 四边形 $BCDE$ 是矩形, $\therefore BE = CD = 4m$, $\therefore AE = AB - BE = 11 - 4 = 7(m)$. $\because ∠ A = 60^{\circ}$, $\therefore \cos A = \frac{AE}{AD} = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, $\therefore AD = 2AE = 2 × 7 = 14(m)$. $\therefore AD + CD = 14 + 4 = 18(m)$. 即管道 $A - D - C$ 的总长为 $18m$.

解：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，则$∠ AED = 90^{\circ}$。
因为$DC ⊥ BC$，$AB ⊥ BC$，所以四边形$BCDE$是矩形，
因此$BE = CD = 4\,\mathrm{m}$，
所以$AE = AB - BE = 11 - 4 = 7\,\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ A = 60^{\circ}$，
$\cos A = \frac{AE}{AD}$，即$\cos 60^{\circ} = \frac{7}{AD}$，
因为$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2} = \frac{7}{AD}$，解得$AD = 14\,\mathrm{m}$。
因此管道$A - D - C$的总长为$AD + CD = 14 + 4 = 18\,\mathrm{m}$。
答：管道$A - D - C$的总长为$18\,\mathrm{m}$。