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1. 如图,D 是$△ ABC$中AC边上一点,E是BD上一点,则对$∠ 1,∠ 2,∠ ABD$之间的关系描述正确的是。
A. $∠ ABD＜∠ 1＜∠ 2$
B. $∠ 2＜∠ 1＜∠ ABD$
C. $∠ 1＞∠ 2＞∠ ABD$
D. 无法确定
A. $∠ ABD＜∠ 1＜∠ 2$
B. $∠ 2＜∠ 1＜∠ ABD$
C. $∠ 1＞∠ 2＞∠ ABD$
D. 无法确定
答案
1.A
解析
【分析】
要判断∠1,∠2,∠ABD的大小关系，需利用三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。首先观察∠1和∠ABD，∠1是△ABD的外角，因此∠1大于∠ABD；再看∠2和∠1，∠2是△CDE的外角，因此∠2大于∠1。通过这两次推导，就能得出三个角的大小顺序。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. 在$△ ABD$中，$∠ 1$是$△ ABD$的外角，$∠ 1 = ∠ ABD + ∠ BAD$，因此$∠ 1 ＞ ∠ ABD$；
2. 在$△ CDE$中，$∠ 2$是$△ CDE$的外角，$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ DCE$，因此$∠ 2 ＞ ∠ 1$；
综上可得：$∠ ABD ＜ ∠ 1 ＜ ∠ 2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的基础应用，解题的核心是准确识别每个角所在的三角形，利用外角与内角的大小关系逐步推导，难度不大，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要判断∠1,∠2,∠ABD的大小关系，需利用三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。首先观察∠1和∠ABD，∠1是△ABD的外角，因此∠1大于∠ABD；再看∠2和∠1，∠2是△CDE的外角，因此∠2大于∠1。通过这两次推导，就能得出三个角的大小顺序。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. 在$△ ABD$中，$∠ 1$是$△ ABD$的外角，$∠ 1 = ∠ ABD + ∠ BAD$，因此$∠ 1 ＞ ∠ ABD$；
2. 在$△ CDE$中，$∠ 2$是$△ CDE$的外角，$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ DCE$，因此$∠ 2 ＞ ∠ 1$；
综上可得：$∠ ABD ＜ ∠ 1 ＜ ∠ 2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的基础应用，解题的核心是准确识别每个角所在的三角形，利用外角与内角的大小关系逐步推导，难度不大，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$△ ABC$中,已知$AD⊥ BC,GC⊥$$BC,CF⊥ AB$,D,C,F是垂足,下列说法错误的是。
A. $△ ABC$中,CF是AB边上的高
B. $△ BFC$中,CG是BF边上的高
C. $△ GBC$中,GC是BC边上的高
D. $△ AGC$中,CF是AG边上的高
A. $△ ABC$中,CF是AB边上的高
B. $△ BFC$中,CG是BF边上的高
C. $△ GBC$中,GC是BC边上的高
D. $△ AGC$中,CF是AG边上的高
答案
2.B
解析
【分析】
要判断每个选项是否正确，需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该三角形对应边上的高。我们逐一分析每个选项：
1. 对于选项A：在$△ ABC$中，$CF⊥ AB$，$F$为垂足，符合高的定义，所以$CF$是$AB$边上的高，该说法正确。
2. 对于选项B：在$△ BFC$中，$CG⊥ BC$，而$BF$是$△ BFC$的边，$CG$与$BF$不垂直，不符合高的定义，所以$CG$不是$BF$边上的高，该说法错误。
3. 对于选项C：在$△ GBC$中，$GC⊥ BC$，$C$为垂足，符合高的定义，所以$GC$是$BC$边上的高，该说法正确。
4. 对于选项D：在$△ AGC$中，$CF⊥ AB$，$AG$是$AB$的一部分，因此$CF⊥ AG$，$F$为垂足，符合高的定义，所以$CF$是$AG$边上的高，该说法正确。
综上，错误的说法是选项B。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一判断：
选项A：在$△ ABC$中，$CF⊥ AB$，垂足为$F$，则$CF$是$AB$边上的高，说法正确。
选项B：在$△ BFC$中，$CG⊥ BC$，但$CG$与$BF$不垂直，不满足高的定义，因此$CG$不是$BF$边上的高，说法错误。
选项C：在$△ GBC$中，$GC⊥ BC$，垂足为$C$，则$GC$是$BC$边上的高，说法正确。
选项D：在$△ AGC$中，$CF⊥ AB$，$AG$在$AB$上，故$CF⊥ AG$，垂足为$F$，则$CF$是$AG$边上的高，说法正确。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题主要考查三角形高的定义，解题关键是准确理解“从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段为该边的高”，需注意区分不同三角形的对应边和对应的高，避免混淆。
【难度系数】
0.6
要判断每个选项是否正确，需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该三角形对应边上的高。我们逐一分析每个选项：
1. 对于选项A：在$△ ABC$中，$CF⊥ AB$，$F$为垂足，符合高的定义，所以$CF$是$AB$边上的高，该说法正确。
2. 对于选项B：在$△ BFC$中，$CG⊥ BC$，而$BF$是$△ BFC$的边，$CG$与$BF$不垂直，不符合高的定义，所以$CG$不是$BF$边上的高，该说法错误。
3. 对于选项C：在$△ GBC$中，$GC⊥ BC$，$C$为垂足，符合高的定义，所以$GC$是$BC$边上的高，该说法正确。
4. 对于选项D：在$△ AGC$中，$CF⊥ AB$，$AG$是$AB$的一部分，因此$CF⊥ AG$，$F$为垂足，符合高的定义，所以$CF$是$AG$边上的高，该说法正确。
综上，错误的说法是选项B。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一判断：
选项A：在$△ ABC$中，$CF⊥ AB$，垂足为$F$，则$CF$是$AB$边上的高，说法正确。
选项B：在$△ BFC$中，$CG⊥ BC$，但$CG$与$BF$不垂直，不满足高的定义，因此$CG$不是$BF$边上的高，说法错误。
选项C：在$△ GBC$中，$GC⊥ BC$，垂足为$C$，则$GC$是$BC$边上的高，说法正确。
选项D：在$△ AGC$中，$CF⊥ AB$，$AG$在$AB$上，故$CF⊥ AG$，垂足为$F$，则$CF$是$AG$边上的高，说法正确。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题主要考查三角形高的定义，解题关键是准确理解“从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段为该边的高”，需注意区分不同三角形的对应边和对应的高，避免混淆。
【难度系数】
0.6
3. 适合条件$∠ A=∠ B=α,∠ C=2α$的三角形是。
A. 锐角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形
A. 锐角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形
答案
3.D
解析
【分析】
要判断这个三角形的类型，首先应利用三角形内角和定理求出各角的度数。已知三个角的关系为∠A=∠B=α，∠C=2α，我们可以将这三个角代入三角形内角和为180°的公式中，建立关于α的方程，解出α后就能得到∠C的度数，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
因为$∠ A = ∠ B = α$，$∠ C = 2α$，代入上式得：
$α + α + 2α = 180°$
合并同类项：$4α = 180°$
解得：$α = 45°$
则$∠ C = 2α = 2×45° = 90°$
因此，该三角形有一个内角为90°，是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形判定
【点评】
本题通过三角形内角和定理建立方程求解角的度数，是基础的几何计算题型，重点考查对三角形内角和定理的掌握与应用，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要判断这个三角形的类型，首先应利用三角形内角和定理求出各角的度数。已知三个角的关系为∠A=∠B=α，∠C=2α，我们可以将这三个角代入三角形内角和为180°的公式中，建立关于α的方程，解出α后就能得到∠C的度数，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
因为$∠ A = ∠ B = α$，$∠ C = 2α$，代入上式得：
$α + α + 2α = 180°$
合并同类项：$4α = 180°$
解得：$α = 45°$
则$∠ C = 2α = 2×45° = 90°$
因此，该三角形有一个内角为90°，是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形判定
【点评】
本题通过三角形内角和定理建立方程求解角的度数，是基础的几何计算题型，重点考查对三角形内角和定理的掌握与应用，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
4. 画圆时圆规两脚间叉开的距离是圆的。
A. 直径
B. 半径
C. 周长
D. 面积
A. 直径
B. 半径
C. 周长
D. 面积
答案
4.B
解析
【分析】
首先回忆圆规画圆的操作过程：圆规的一只脚固定在纸上作为圆心，另一只脚绕着固定点旋转一周画出圆。接着回忆圆的各部分定义：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，周长是圆一周的长度，面积是圆所占平面的大小。对比可知，圆规两脚间叉开的距离正好是从圆心到圆上的距离，也就是圆的半径，由此可确定答案。
【解析】
用圆规画圆时，固定的一脚所在位置是圆心，两脚间的距离是圆心到圆上任意一点的距离，根据圆的半径定义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，所以圆规两脚间叉开的距离是圆的半径。因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的半径定义；圆规画圆原理
【点评】
本题考查圆的基础概念，重点在于理解圆规画圆的操作原理以及圆的半径的定义，需要准确区分圆的半径、直径、周长、面积的概念，属于基础识记类题目。
【难度系数】
0.9
首先回忆圆规画圆的操作过程：圆规的一只脚固定在纸上作为圆心，另一只脚绕着固定点旋转一周画出圆。接着回忆圆的各部分定义：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，周长是圆一周的长度，面积是圆所占平面的大小。对比可知，圆规两脚间叉开的距离正好是从圆心到圆上的距离，也就是圆的半径，由此可确定答案。
【解析】
用圆规画圆时，固定的一脚所在位置是圆心，两脚间的距离是圆心到圆上任意一点的距离，根据圆的半径定义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，所以圆规两脚间叉开的距离是圆的半径。因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的半径定义；圆规画圆原理
【点评】
本题考查圆的基础概念，重点在于理解圆规画圆的操作原理以及圆的半径的定义，需要准确区分圆的半径、直径、周长、面积的概念，属于基础识记类题目。
【难度系数】
0.9
5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$,则该等腰三角形的底角的度数为。
A. $50°$
B. $27°$
C. $64°$或$27°$
D. $63°$或$27°$
A. $50°$
B. $27°$
C. $64°$或$27°$
D. $63°$或$27°$
答案
5.D
解析
【分析】
这道题需要分两种情况讨论，因为等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形，腰上的高的位置不同，对应的夹角关系也不同：
1. 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，此时高与另一腰的夹角和顶角互余，先求出顶角，再利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理计算底角；
2. 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，此时高与另一腰的夹角和顶角的外角互余，先求出顶角的外角，进而得到顶角，再计算底角。
【解析】
分两种情况求解：
情况一：等腰三角形为锐角三角形
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD⊥ AC$于点$D$，已知$∠ ABD=36°$。
因为$BD⊥ AC$，所以$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中：
$∠ A=90° - ∠ ABD=90° - 36°=54°$
根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，底角为：
$\frac{180° - ∠ A}{2}=\frac{180° - 54°}{2}=63°$
情况二：等腰三角形为钝角三角形
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD⊥ AC$的延长线于点$D$，已知$∠ ABD=36°$。
因为$BD⊥ AD$，所以$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中：
$∠ BAD=90° - ∠ ABD=90° - 36°=54°$
则顶角$∠ BAC=180° - ∠ BAD=180° - 54°=126°$
根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，底角为：
$\frac{180° - ∠ BAC}{2}=\frac{180° - 126°}{2}=27°$
综上，该等腰三角形的底角为$63°$或$27°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的易错题，容易忽略钝角三角形的情况，解题的关键是根据高的位置进行分类讨论，明确不同情况下顶角与已知夹角的关系，避免漏解。
【难度系数】
0.4
这道题需要分两种情况讨论，因为等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形，腰上的高的位置不同，对应的夹角关系也不同：
1. 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，此时高与另一腰的夹角和顶角互余，先求出顶角，再利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理计算底角；
2. 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，此时高与另一腰的夹角和顶角的外角互余，先求出顶角的外角，进而得到顶角，再计算底角。
【解析】
分两种情况求解：
情况一：等腰三角形为锐角三角形
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD⊥ AC$于点$D$，已知$∠ ABD=36°$。
因为$BD⊥ AC$，所以$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中：
$∠ A=90° - ∠ ABD=90° - 36°=54°$
根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，底角为：
$\frac{180° - ∠ A}{2}=\frac{180° - 54°}{2}=63°$
情况二：等腰三角形为钝角三角形
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD⊥ AC$的延长线于点$D$，已知$∠ ABD=36°$。
因为$BD⊥ AD$，所以$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中：
$∠ BAD=90° - ∠ ABD=90° - 36°=54°$
则顶角$∠ BAC=180° - ∠ BAD=180° - 54°=126°$
根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，底角为：
$\frac{180° - ∠ BAC}{2}=\frac{180° - 126°}{2}=27°$
综上，该等腰三角形的底角为$63°$或$27°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的易错题，容易忽略钝角三角形的情况，解题的关键是根据高的位置进行分类讨论，明确不同情况下顶角与已知夹角的关系，避免漏解。
【难度系数】
0.4
6. 若一个多边形截去一个角后,变成十六边形,那么原来的多边形的边数为。
A. 15或16或17
B. 16或17
C. 15或17
D. 16或17或18
A. 15或16或17
B. 16或17
C. 15或17
D. 16或17或18
答案
6.A
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是理解多边形截去一个角时的三种不同情况，这三种情况会导致边数的变化不同：
1. 当截线不经过多边形的任何顶点时，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形多1；
2. 当截线经过多边形的一个顶点时，截去一个角后，新多边形的边数和原多边形相同；
3. 当截线经过多边形的两个顶点时，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形少1。
已知截去一个角后变成十六边形，我们可以根据这三种情况反向推导原多边形的边数：
若属于第一种情况，原边数 = 16 - 1 = 15；
若属于第二种情况，原边数 = 16；
若属于第三种情况，原边数 = 16 + 1 = 17。
所以原来的多边形边数可能是15、16或17。
【解析】
多边形截去一个角有三种情况：
① 截线不经过任何顶点：此时新多边形边数 = 原多边形边数 + 1，已知新多边形是16边形，则原多边形边数 = 16 - 1 = 15；
② 截线经过一个顶点：此时新多边形边数 = 原多边形边数，所以原多边形边数 = 16；
③ 截线经过两个顶点：此时新多边形边数 = 原多边形边数 - 1，则原多边形边数 = 16 + 1 = 17。
综上，原来的多边形的边数为15或16或17。
【答案】
A
【知识点】
多边形截角的边数变化
【点评】
本题容易忽略多边形截角的多种情况，仅考虑其中一两种导致错解。解题时需全面分析截线经过顶点的不同情况，明确每种情况下边数的变化规律，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，关键是理解多边形截去一个角时的三种不同情况，这三种情况会导致边数的变化不同：
1. 当截线不经过多边形的任何顶点时，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形多1；
2. 当截线经过多边形的一个顶点时，截去一个角后，新多边形的边数和原多边形相同；
3. 当截线经过多边形的两个顶点时，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形少1。
已知截去一个角后变成十六边形，我们可以根据这三种情况反向推导原多边形的边数：
若属于第一种情况，原边数 = 16 - 1 = 15；
若属于第二种情况，原边数 = 16；
若属于第三种情况，原边数 = 16 + 1 = 17。
所以原来的多边形边数可能是15、16或17。
【解析】
多边形截去一个角有三种情况：
① 截线不经过任何顶点：此时新多边形边数 = 原多边形边数 + 1，已知新多边形是16边形，则原多边形边数 = 16 - 1 = 15；
② 截线经过一个顶点：此时新多边形边数 = 原多边形边数，所以原多边形边数 = 16；
③ 截线经过两个顶点：此时新多边形边数 = 原多边形边数 - 1，则原多边形边数 = 16 + 1 = 17。
综上，原来的多边形的边数为15或16或17。
【答案】
A
【知识点】
多边形截角的边数变化
【点评】
本题容易忽略多边形截角的多种情况，仅考虑其中一两种导致错解。解题时需全面分析截线经过顶点的不同情况，明确每种情况下边数的变化规律，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 在$△ ABC$中,a,b,c分别是$∠ A,∠ B,$$∠ C$的对边,且$a=3,b=4$,若三边长为连续整数,则$c=$
2或5
。答案
7.2或5
解析
【分析】
首先，题目给出△ABC中a=3，b=4，且三边长为连续整数，我们需要先确定c的可能取值，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证这些取值是否合理。
第一步，根据连续整数的特点，c的可能值有两种情况：一种是比a小的连续整数，即2；另一种是比b大的连续整数，即5。
第二步，分别验证这两种情况是否满足三角形三边关系：当c=2时，2+3＞4，3+4＞2，2+4＞3，满足三边关系；当c=5时，3+4＞5，4+5＞3，3+5＞4，也满足三边关系。因此这两个值都符合要求。
【解析】
已知在△ABC中，a=3，b=4，且三边长为连续整数，分两种情况讨论：
1. 当c为最小边时，$c = 3 - 1 = 2$，此时三边为2、3、4。
验证三边关系：
$2 + 3 ＞ 4$（5＞4，成立），$3 + 4 ＞ 2$（7＞2，成立），$2 + 4 ＞ 3$（6＞3，成立），满足三角形三边关系。
2. 当c为最大边时，$c = 4 + 1 = 5$，此时三边为3、4、5。
验证三边关系：
$3 + 4 ＞ 5$（7＞5，成立），$4 + 5 ＞ 3$（9＞3，成立），$3 + 5 ＞ 4$（8＞4，成立），满足三角形三边关系。
综上，c的值为2或5。
【答案】
2或5
【知识点】
三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查三角形三边关系的应用，解题的关键是通过分类讨论确定c的所有可能取值，再逐一验证是否符合三角形三边关系，需注意考虑全面，避免遗漏合理的取值。
【难度系数】
0.8
首先，题目给出△ABC中a=3，b=4，且三边长为连续整数，我们需要先确定c的可能取值，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证这些取值是否合理。
第一步，根据连续整数的特点，c的可能值有两种情况：一种是比a小的连续整数，即2；另一种是比b大的连续整数，即5。
第二步，分别验证这两种情况是否满足三角形三边关系：当c=2时，2+3＞4，3+4＞2，2+4＞3，满足三边关系；当c=5时，3+4＞5，4+5＞3，3+5＞4，也满足三边关系。因此这两个值都符合要求。
【解析】
已知在△ABC中，a=3，b=4，且三边长为连续整数，分两种情况讨论：
1. 当c为最小边时，$c = 3 - 1 = 2$，此时三边为2、3、4。
验证三边关系：
$2 + 3 ＞ 4$（5＞4，成立），$3 + 4 ＞ 2$（7＞2，成立），$2 + 4 ＞ 3$（6＞3，成立），满足三角形三边关系。
2. 当c为最大边时，$c = 4 + 1 = 5$，此时三边为3、4、5。
验证三边关系：
$3 + 4 ＞ 5$（7＞5，成立），$4 + 5 ＞ 3$（9＞3，成立），$3 + 5 ＞ 4$（8＞4，成立），满足三角形三边关系。
综上，c的值为2或5。
【答案】
2或5
【知识点】
三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查三角形三边关系的应用，解题的关键是通过分类讨论确定c的所有可能取值，再逐一验证是否符合三角形三边关系，需注意考虑全面，避免遗漏合理的取值。
【难度系数】
0.8
8. 如图是可调躺椅示意图数据如图,AE与BD的交点为C,且$∠ A,∠ B,∠ E$保持不变。为了舒适,需调整$∠ D$的大小,使$∠ EFD=110°$,则图中$∠ D$应
减少
填“增加”或“减少”$10°$
。答案
8.减少 $10°$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先建立∠EFD与∠D、已知角之间的关系：
1. 首先利用△ABC的内角和求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等得到∠DCE的度数；
2. 然后通过三角形外角的性质，将∠EFD转化为∠D、∠E与∠DCE的和，从而建立等式求出当∠EFD=110°时∠D的度数；
3. 最后将计算出的∠D与原来的∠D（20°）对比，确定调整方向和度数。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 60° = 70°$；
2. 因为$∠ DCE$与$∠ ACB$是对顶角，根据对顶角相等，可得：
$∠ DCE = ∠ ACB = 70°$；
3. 根据三角形外角的性质，将$∠ EFD$拆分为两个三角形的外角和，可知：
$∠ EFD = ∠ D + ∠ E + ∠ DCE$；
4. 将$∠ EFD=110°$，$∠ E=30°$，$∠ DCE=70°$代入上式：
$110° = ∠ D + 30° + 70°$，解得$∠ D = 10°$；
5. 已知原来的$∠ D$为$20°$，$20° - 10° = 10°$，因此$∠ D$应减少$10°$。
【答案】
减少 $10°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查三角形内角和、对顶角及外角性质的应用，解题关键是通过外角性质建立$∠ EFD$与$∠ D$的数量关系，需要学生具备一定的几何模型识别与运用能力。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们需要先建立∠EFD与∠D、已知角之间的关系：
1. 首先利用△ABC的内角和求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等得到∠DCE的度数；
2. 然后通过三角形外角的性质，将∠EFD转化为∠D、∠E与∠DCE的和，从而建立等式求出当∠EFD=110°时∠D的度数；
3. 最后将计算出的∠D与原来的∠D（20°）对比，确定调整方向和度数。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 60° = 70°$；
2. 因为$∠ DCE$与$∠ ACB$是对顶角，根据对顶角相等，可得：
$∠ DCE = ∠ ACB = 70°$；
3. 根据三角形外角的性质，将$∠ EFD$拆分为两个三角形的外角和，可知：
$∠ EFD = ∠ D + ∠ E + ∠ DCE$；
4. 将$∠ EFD=110°$，$∠ E=30°$，$∠ DCE=70°$代入上式：
$110° = ∠ D + 30° + 70°$，解得$∠ D = 10°$；
5. 已知原来的$∠ D$为$20°$，$20° - 10° = 10°$，因此$∠ D$应减少$10°$。
【答案】
减少 $10°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查三角形内角和、对顶角及外角性质的应用，解题关键是通过外角性质建立$∠ EFD$与$∠ D$的数量关系，需要学生具备一定的几何模型识别与运用能力。
【难度系数】
0.4
9. 有下列说法:①半径是弦;②半圆是弧,但弧不一定是半圆;③面积相等的两个圆是等圆。其中正确的是
②③
填序号。答案
9.②③
解析
【分析】
要判断这三个说法的正误，需结合圆的相关定义逐一分析：
1. 对于说法①，先回忆弦的定义：弦是连接圆上任意两点的线段。而半径是连接圆心与圆上一点的线段，圆心不在圆上，不符合弦的定义，因此①错误；
2. 对于说法②，半圆是圆的直径所对的弧，属于弧的一种；弧分为优弧、劣弧和半圆，所以弧不一定是半圆，因此②正确；
3. 对于说法③，根据圆的面积公式$S = π r^2$，若两个圆面积相等，则它们的半径$r$相等，半径相等的圆是等圆，因此③正确。
综上，正确的是②③。
【解析】
①根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。半径的一个端点是圆心（非圆上的点），不符合弦的定义，故①错误；
②半圆是圆的直径所对的弧，属于弧的一种；弧包括优弧、劣弧和半圆，所以弧不一定是半圆，故②正确；
③由圆的面积公式$S = π r^2$可知，若两个圆面积相等，则它们的半径相等，半径相等的圆是等圆，故③正确。
因此正确的说法是②③。
【答案】
②③
【知识点】
弦的定义、弧的分类、等圆的判定
【点评】
本题主要考查圆的基本概念的辨析，解题关键是准确理解弦、弧、等圆的定义，避免混淆概念，属于基础题型，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
要判断这三个说法的正误，需结合圆的相关定义逐一分析：
1. 对于说法①，先回忆弦的定义：弦是连接圆上任意两点的线段。而半径是连接圆心与圆上一点的线段，圆心不在圆上，不符合弦的定义，因此①错误；
2. 对于说法②，半圆是圆的直径所对的弧，属于弧的一种；弧分为优弧、劣弧和半圆，所以弧不一定是半圆，因此②正确；
3. 对于说法③，根据圆的面积公式$S = π r^2$，若两个圆面积相等，则它们的半径$r$相等，半径相等的圆是等圆，因此③正确。
综上，正确的是②③。
【解析】
①根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。半径的一个端点是圆心（非圆上的点），不符合弦的定义，故①错误；
②半圆是圆的直径所对的弧，属于弧的一种；弧包括优弧、劣弧和半圆，所以弧不一定是半圆，故②正确；
③由圆的面积公式$S = π r^2$可知，若两个圆面积相等，则它们的半径相等，半径相等的圆是等圆，故③正确。
因此正确的说法是②③。
【答案】
②③
【知识点】
弦的定义、弧的分类、等圆的判定
【点评】
本题主要考查圆的基本概念的辨析，解题关键是准确理解弦、弧、等圆的定义，避免混淆概念，属于基础题型，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在五角星中,AD分别与BE,CE交于点G,H,求$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D$$+∠ E=$
$180°$
。答案
10.$180°$
解析
【分析】
要计算五角星中五个角的和，关键是利用三角形外角的性质，将分散的角集中到同一个三角形中。首先回忆：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。我们可以把∠B和∠D转化为一个外角，∠C和∠E转化为另一个外角，这样五个角的和就转化为一个三角形的内角和，而三角形内角和为180°，即可求解。
【解析】
设BE与CD交于点F，AD与BE交于点G，AD与CE交于点H。
1. 根据三角形外角性质，在△BFD中，∠AGB是△BFD的外角，因此：
$∠ AGB = ∠ B + ∠ D$；
2. 同理，在△CHE中，∠AHG是△CHE的外角，因此：
$∠ AHG = ∠ C + ∠ E$；
3. 在△AGH中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ AGB + ∠ AHG = 180°$；
4. 将$∠ AGB = ∠ B + ∠ D$，$∠ AHG = ∠ C + ∠ E$代入上式，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角性质与内角和定理的综合应用，核心思路是通过外角性质将分散的角进行转化，集中到一个三角形中，体现了转化思想在几何角度计算中的应用，需要熟练掌握三角形的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
要计算五角星中五个角的和，关键是利用三角形外角的性质，将分散的角集中到同一个三角形中。首先回忆：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。我们可以把∠B和∠D转化为一个外角，∠C和∠E转化为另一个外角，这样五个角的和就转化为一个三角形的内角和，而三角形内角和为180°，即可求解。
【解析】
设BE与CD交于点F，AD与BE交于点G，AD与CE交于点H。
1. 根据三角形外角性质，在△BFD中，∠AGB是△BFD的外角，因此：
$∠ AGB = ∠ B + ∠ D$；
2. 同理，在△CHE中，∠AHG是△CHE的外角，因此：
$∠ AHG = ∠ C + ∠ E$；
3. 在△AGH中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ AGB + ∠ AHG = 180°$；
4. 将$∠ AGB = ∠ B + ∠ D$，$∠ AHG = ∠ C + ∠ E$代入上式，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角性质与内角和定理的综合应用，核心思路是通过外角性质将分散的角进行转化，集中到一个三角形中，体现了转化思想在几何角度计算中的应用，需要熟练掌握三角形的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
