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1. 若$\odot O$所在平面内有一点P，点P到$\odot O$上点的最大距离为8，最小距离为2，则$\odot O$的直径为(
A.6 B.10
C.6或10 D.无法确定
C
)。A.6 B.10
C.6或10 D.无法确定
答案
1.C
解析
【分析】
这道题需要考虑点P与$\odot O$的位置关系，点P可能在圆外，也可能在圆内，两种情况下点P到圆上点的最大距离和最小距离的计算逻辑不同，因此要分情况讨论：
1. 若点P在$\odot O$外，点P到圆上点的最大距离是点P到圆心的距离加半径，最小距离是点P到圆心的距离减半径，两者的差值等于圆的直径；
2. 若点P在$\odot O$内，点P到圆上点的最大距离和最小距离的和等于圆的直径。
通过分别计算两种情况的直径，即可得出答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$外时：
$\odot O$的直径 = 最大距离 - 最小距离 = $8 - 2 = 6$；
② 当点P在$\odot O$内时：
$\odot O$的直径 = 最大距离 + 最小距离 = $8 + 2 = 10$；
综上，$\odot O$的直径为6或10，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题考查点与圆位置关系的实际应用，容易遗漏点P在圆内的情况，解题时需全面考虑所有可能的位置，培养严谨的数学思维。
【难度系数】
0.6
这道题需要考虑点P与$\odot O$的位置关系，点P可能在圆外，也可能在圆内，两种情况下点P到圆上点的最大距离和最小距离的计算逻辑不同，因此要分情况讨论：
1. 若点P在$\odot O$外，点P到圆上点的最大距离是点P到圆心的距离加半径，最小距离是点P到圆心的距离减半径，两者的差值等于圆的直径；
2. 若点P在$\odot O$内，点P到圆上点的最大距离和最小距离的和等于圆的直径。
通过分别计算两种情况的直径，即可得出答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$外时：
$\odot O$的直径 = 最大距离 - 最小距离 = $8 - 2 = 6$；
② 当点P在$\odot O$内时：
$\odot O$的直径 = 最大距离 + 最小距离 = $8 + 2 = 10$；
综上，$\odot O$的直径为6或10，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题考查点与圆位置关系的实际应用，容易遗漏点P在圆内的情况，解题时需全面考虑所有可能的位置，培养严谨的数学思维。
【难度系数】
0.6
2. 过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，则$n=$(
A.9 B.10 C.11 D.12
B
)。A.9 B.10 C.11 D.12
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆n边形的一个顶点引出的对角线与分成三角形个数的关系：从n边形的一个顶点出发，这些对角线将n边形分成(n-2)个三角形。题目中明确分成了8个三角形，因此可通过建立方程$n-2=8$来求解n的值。
【解析】
根据多边形的性质：从n边形的一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成$(n-2)$个三角形。
已知该多边形被分成8个三角形，据此列方程：
$n - 2 = 8$
解方程得：$n = 10$
所以应选选项B。
【答案】
B
【知识点】
多边形对角线分三角形规律
【点评】
本题考查多边形的基础性质，核心是牢记n边形从一个顶点引对角线后，分成三角形个数与边数的关系，属于基础题型，掌握规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆n边形的一个顶点引出的对角线与分成三角形个数的关系：从n边形的一个顶点出发，这些对角线将n边形分成(n-2)个三角形。题目中明确分成了8个三角形，因此可通过建立方程$n-2=8$来求解n的值。
【解析】
根据多边形的性质：从n边形的一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成$(n-2)$个三角形。
已知该多边形被分成8个三角形，据此列方程：
$n - 2 = 8$
解方程得：$n = 10$
所以应选选项B。
【答案】
B
【知识点】
多边形对角线分三角形规律
【点评】
本题考查多边形的基础性质，核心是牢记n边形从一个顶点引对角线后，分成三角形个数与边数的关系，属于基础题型，掌握规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 一个四边形的四个内角度数分别为$α$，$2α$，$3α$，$3α$，则在这个四边形中，最小的内角为(
A.$30°$ B.$40°$ C.$50°$ D.$60°$
B
)。A.$30°$ B.$40°$ C.$50°$ D.$60°$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需牢记四边形内角和定理：四边形的内角和为360°。题目给出四个内角分别为$α$，$2α$，$3α$，$3α$，我们可以利用内角和定理列出关于$α$的一元一次方程，求出$α$的值后，对比四个内角的大小，即可找到最小的内角。具体思考步骤为：先依据内角和建立方程，再解方程得到$α$，最后确定最小角的度数。
【解析】
根据四边形内角和为360°，可列方程：
$α + 2α + 3α + 3α = 360°$
合并同类项得：
$9α = 360°$
解得：
$α = 40°$
则四个内角分别为$40°$，$80°$，$120°$，$120°$，其中最小的内角为$40°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 四边形内角和定理
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是四边形内角和定理的基础应用题型，通过建立一元一次方程求解角度值，难度较低。解题关键在于牢记四边形内角和为360°，并准确列出方程进行求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需牢记四边形内角和定理：四边形的内角和为360°。题目给出四个内角分别为$α$，$2α$，$3α$，$3α$，我们可以利用内角和定理列出关于$α$的一元一次方程，求出$α$的值后，对比四个内角的大小，即可找到最小的内角。具体思考步骤为：先依据内角和建立方程，再解方程得到$α$，最后确定最小角的度数。
【解析】
根据四边形内角和为360°，可列方程：
$α + 2α + 3α + 3α = 360°$
合并同类项得：
$9α = 360°$
解得：
$α = 40°$
则四个内角分别为$40°$，$80°$，$120°$，$120°$，其中最小的内角为$40°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 四边形内角和定理
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是四边形内角和定理的基础应用题型，通过建立一元一次方程求解角度值，难度较低。解题关键在于牢记四边形内角和为360°，并准确列出方程进行求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$∠ ABC=∠ ACB$，BD，CD，AD分别平分$△ ABC$的内角$∠ ABC$，外角$∠ ACF$，外角$∠ EAC$。有下列结论：
①$AD// BC$；② $∠ ACB=2∠ ADB$；
③$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$；④$∠ ADC+∠ ABD=135°$。其中正确的结论有(
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
①$AD// BC$；② $∠ ACB=2∠ ADB$；
③$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$；④$∠ ADC+∠ ABD=135°$。其中正确的结论有(
C
)。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案
4.C
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，需逐个结合角平分线的性质、平行线的判定与性质、三角形外角性质来分析：
1. 对于结论①，利用角平分线定义得到$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAC$，结合三角形外角性质及$∠ ABC=∠ ACB$，推出$∠ EAD=∠ ABC$，根据同位角相等判定$AD// BC$；
2. 对于结论②，由$AD// BC$得内错角$∠ ADB=∠ DBC$，结合BD平分$∠ ABC$及$∠ ABC=∠ ACB$，可推出$∠ ACB=2∠ ADB$；
3. 对于结论③，利用角平分线定义表示$∠ DCF$和$∠ DBC$，结合三角形外角性质，通过等式变形推导$∠ BDC$与$∠ BAC$的关系；
4. 对于结论④，可通过举反例（如等腰直角三角形）验证该结论不成立。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 判断$AD// BC$：
因为AD平分$∠ EAC$，所以$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAC$。
根据三角形外角性质，$∠ EAC=∠ ABC+∠ ACB$，又$∠ ABC=∠ ACB$，则$∠ EAC=2∠ ABC$，即$∠ EAD=∠ ABC$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AD// BC$，故①正确。
② 判断$∠ ACB=2∠ ADB$：
由$AD// BC$，得$∠ ADB=∠ DBC$（内错角相等）。
因为BD平分$∠ ABC$，所以$∠ ABC=2∠ DBC$，又$∠ ABC=∠ ACB$，因此$∠ ACB=2∠ ADB$，故②正确。
③ 判断$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$：
CD平分$∠ ACF$，则$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$；BD平分$∠ ABC$，则$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
根据三角形外角性质，$∠ ACF=∠ ABC+∠ BAC$，且$∠ DCF=∠ DBC+∠ BDC$。
代入得：$\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)=\frac{1}{2}∠ ABC+∠ BDC$，
化简后可得$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$，故③正确。
④ 判断$∠ ADC+∠ ABD=135°$：
假设$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，则$∠ ABC=∠ ACB=45°$。
由$AD// BC$，得$∠ ADC=∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF=\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°$，
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=22.5°$，则$∠ ADC+∠ ABD=67.5°+22.5°=90°≠135°$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了平行线、角平分线及三角形外角的相关性质，需要熟练掌握各知识点的关联，通过逻辑推导或举反例的方式判断结论的正确性，对几何推理能力要求较高。
【难度系数】
0.6
要判断四个结论是否正确，需逐个结合角平分线的性质、平行线的判定与性质、三角形外角性质来分析：
1. 对于结论①，利用角平分线定义得到$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAC$，结合三角形外角性质及$∠ ABC=∠ ACB$，推出$∠ EAD=∠ ABC$，根据同位角相等判定$AD// BC$；
2. 对于结论②，由$AD// BC$得内错角$∠ ADB=∠ DBC$，结合BD平分$∠ ABC$及$∠ ABC=∠ ACB$，可推出$∠ ACB=2∠ ADB$；
3. 对于结论③，利用角平分线定义表示$∠ DCF$和$∠ DBC$，结合三角形外角性质，通过等式变形推导$∠ BDC$与$∠ BAC$的关系；
4. 对于结论④，可通过举反例（如等腰直角三角形）验证该结论不成立。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 判断$AD// BC$：
因为AD平分$∠ EAC$，所以$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAC$。
根据三角形外角性质，$∠ EAC=∠ ABC+∠ ACB$，又$∠ ABC=∠ ACB$，则$∠ EAC=2∠ ABC$，即$∠ EAD=∠ ABC$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AD// BC$，故①正确。
② 判断$∠ ACB=2∠ ADB$：
由$AD// BC$，得$∠ ADB=∠ DBC$（内错角相等）。
因为BD平分$∠ ABC$，所以$∠ ABC=2∠ DBC$，又$∠ ABC=∠ ACB$，因此$∠ ACB=2∠ ADB$，故②正确。
③ 判断$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$：
CD平分$∠ ACF$，则$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$；BD平分$∠ ABC$，则$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
根据三角形外角性质，$∠ ACF=∠ ABC+∠ BAC$，且$∠ DCF=∠ DBC+∠ BDC$。
代入得：$\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)=\frac{1}{2}∠ ABC+∠ BDC$，
化简后可得$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$，故③正确。
④ 判断$∠ ADC+∠ ABD=135°$：
假设$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，则$∠ ABC=∠ ACB=45°$。
由$AD// BC$，得$∠ ADC=∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF=\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°$，
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=22.5°$，则$∠ ADC+∠ ABD=67.5°+22.5°=90°≠135°$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了平行线、角平分线及三角形外角的相关性质，需要熟练掌握各知识点的关联，通过逻辑推导或举反例的方式判断结论的正确性，对几何推理能力要求较高。
【难度系数】
0.6
5. 若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等。则代数式$h· (m-k)n$的值为(
A.16 B.24 C.32 D.60
D
)。A.16 B.24 C.32 D.60
答案
5.D
解析
【分析】
要计算代数式$h· (m-k)n$的值，需先求出m、n、k、h四个参数的值，解题思路如下：
1. 利用“从n边形一个顶点出发的对角线条数为$n-3$”，结合m边形一个顶点有7条对角线，可求出m；
2. 根据“只有三角形没有对角线”，直接确定n的值；
3. 利用n边形对角线总数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，结合k边形有k条对角线列方程求解k；
4. 依据“多边形外角和恒为360°，内角和公式为$(n-2)×180°$”，结合正h边形内角和与外角和相等列等式求出h；
最后将四个参数的值代入代数式计算即可。
【解析】
1. 求m的值：
从m边形的一个顶点出发有7条对角线，根据“从n边形一个顶点出发的对角线条数为$n-3$”，可得：
$m - 3 = 7$
解得：$m = 10$
2. 求n的值：
三角形是唯一没有对角线的多边形，因此$n = 3$
3. 求k的值：
k边形的对角线总数公式为$\frac{k(k-3)}{2}$，已知k边形有k条对角线，列方程：
$\frac{k(k-3)}{2} = k$
因为$k≠0$，两边同时除以k得：
$\frac{k-3}{2} = 1$
解得：$k = 5$
4. 求h的值：
多边形外角和恒为$360°$，正h边形内角和为$(h-2)×180°$，根据题意两者相等：
$(h-2)×180° = 360°$
解得：$h = 4$
5. 代入代数式计算：
将$m=10$，$n=3$，$k=5$，$h=4$代入$h· (m-k)n$得：
$4×(10-5)×3 = 4×5×3 = 60$
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线公式、多边形内角和与外角和定理
【点评】
本题综合考查多边形的基本性质，需要熟练掌握对角线的两种计算公式（顶点出发的对角线条数、对角线总数）以及内角和与外角和的核心规律，解题关键是准确求出各多边形的边数，再代入代数式计算，题型基础但需细心计算。
【难度系数】
0.6
要计算代数式$h· (m-k)n$的值，需先求出m、n、k、h四个参数的值，解题思路如下：
1. 利用“从n边形一个顶点出发的对角线条数为$n-3$”，结合m边形一个顶点有7条对角线，可求出m；
2. 根据“只有三角形没有对角线”，直接确定n的值；
3. 利用n边形对角线总数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，结合k边形有k条对角线列方程求解k；
4. 依据“多边形外角和恒为360°，内角和公式为$(n-2)×180°$”，结合正h边形内角和与外角和相等列等式求出h；
最后将四个参数的值代入代数式计算即可。
【解析】
1. 求m的值：
从m边形的一个顶点出发有7条对角线，根据“从n边形一个顶点出发的对角线条数为$n-3$”，可得：
$m - 3 = 7$
解得：$m = 10$
2. 求n的值：
三角形是唯一没有对角线的多边形，因此$n = 3$
3. 求k的值：
k边形的对角线总数公式为$\frac{k(k-3)}{2}$，已知k边形有k条对角线，列方程：
$\frac{k(k-3)}{2} = k$
因为$k≠0$，两边同时除以k得：
$\frac{k-3}{2} = 1$
解得：$k = 5$
4. 求h的值：
多边形外角和恒为$360°$，正h边形内角和为$(h-2)×180°$，根据题意两者相等：
$(h-2)×180° = 360°$
解得：$h = 4$
5. 代入代数式计算：
将$m=10$，$n=3$，$k=5$，$h=4$代入$h· (m-k)n$得：
$4×(10-5)×3 = 4×5×3 = 60$
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线公式、多边形内角和与外角和定理
【点评】
本题综合考查多边形的基本性质，需要熟练掌握对角线的两种计算公式（顶点出发的对角线条数、对角线总数）以及内角和与外角和的核心规律，解题关键是准确求出各多边形的边数，再代入代数式计算，题型基础但需细心计算。
【难度系数】
0.6
6. 如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是(
A.$4π r$ B.$2π r$
C.$π r$ D.$2r$
B
)。A.$4π r$ B.$2π r$
C.$π r$ D.$2r$
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确硬币滚动时圆心的运动轨迹：硬币沿着直线滚动，圆心到直线的距离始终等于硬币的半径r，因此圆心的轨迹是一条与地面平行的直线。当硬币滚动一圈时，圆心移动的距离等于硬币滚动一圈的长度，也就是硬币这个圆的周长，根据圆的周长公式即可求出结果。
【解析】
硬币的半径为r，根据圆的周长公式$ C = 2π r $。
当硬币沿着直线滚动一圈时，圆心经过的距离等于硬币的周长，即$ 2π r $，因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长公式
【点评】
本题主要考查圆的周长在实际滚动问题中的应用，核心是理解硬币滚动一圈时，圆心移动的距离等于圆的周长，属于基础几何应用题型，难度较低，有助于巩固对圆周长概念的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确硬币滚动时圆心的运动轨迹：硬币沿着直线滚动，圆心到直线的距离始终等于硬币的半径r，因此圆心的轨迹是一条与地面平行的直线。当硬币滚动一圈时，圆心移动的距离等于硬币滚动一圈的长度，也就是硬币这个圆的周长，根据圆的周长公式即可求出结果。
【解析】
硬币的半径为r，根据圆的周长公式$ C = 2π r $。
当硬币沿着直线滚动一圈时，圆心经过的距离等于硬币的周长，即$ 2π r $，因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长公式
【点评】
本题主要考查圆的周长在实际滚动问题中的应用，核心是理解硬币滚动一圈时，圆心移动的距离等于圆的周长，属于基础几何应用题型，难度较低，有助于巩固对圆周长概念的理解。
【难度系数】
0.8
7. 如果一个n边形的每个内角都相等，且每个内角都比外角多2倍，那么$n=$
8
。答案
7.8
解析
【分析】
首先，要明确多边形中每个内角与相邻外角的关系：二者互为邻补角，和为180°。题目中“每个内角都比外角多2倍”，意思是内角度数是外角度数的3倍（多2倍即本身1倍加额外的2倍）。接下来可通过设未知数，利用内角与外角的和为180°建立方程，求出单个外角的度数；最后根据多边形外角和恒为360°，用总外角和除以单个外角度数，就能得到边数n。
【解析】
设这个n边形的每个外角为$ x° $，
因为每个内角比外角多2倍，所以每个内角为$ 3x° $。
由于内角与外角互为邻补角，可得：
$ x + 3x = 180 $
解得：$ x = 45 $
又因为多边形的外角和为$ 360° $，所以边数：
$ n = 360 ÷ 45 = 8 $
【答案】
8
【知识点】
多边形内角外角关系，多边形外角和定理
【点评】
本题重点考查多边形内角与外角的基本性质，关键在于准确理解“内角比外角多2倍”的数学含义，避免误将其理解为内角是外角的2倍。结合邻补角和与外角和定理逐步推导，是多边形基础性质的典型应用。
【难度系数】
0.6
首先，要明确多边形中每个内角与相邻外角的关系：二者互为邻补角，和为180°。题目中“每个内角都比外角多2倍”，意思是内角度数是外角度数的3倍（多2倍即本身1倍加额外的2倍）。接下来可通过设未知数，利用内角与外角的和为180°建立方程，求出单个外角的度数；最后根据多边形外角和恒为360°，用总外角和除以单个外角度数，就能得到边数n。
【解析】
设这个n边形的每个外角为$ x° $，
因为每个内角比外角多2倍，所以每个内角为$ 3x° $。
由于内角与外角互为邻补角，可得：
$ x + 3x = 180 $
解得：$ x = 45 $
又因为多边形的外角和为$ 360° $，所以边数：
$ n = 360 ÷ 45 = 8 $
【答案】
8
【知识点】
多边形内角外角关系，多边形外角和定理
【点评】
本题重点考查多边形内角与外角的基本性质，关键在于准确理解“内角比外角多2倍”的数学含义，避免误将其理解为内角是外角的2倍。结合邻补角和与外角和定理逐步推导，是多边形基础性质的典型应用。
【难度系数】
0.6
8. 如图，AD，CE是$△ ABC$的高，已知$AD=10$，$CE=9$，$AB=12$，则$BC=$
$\frac{54}{5}$
。答案
8.$\frac{54}{5}$
解析
【分析】
本题可利用三角形面积的两种不同计算方式建立等式求解。三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，由于$△ ABC$的面积是固定值，所以可以分别以$AB$为底、$CE$为高，和以$BC$为底、$AD$为高计算面积，通过面积相等列出方程，进而求出$BC$的长度。
【解析】
已知$AD$，$CE$是$△ ABC$的高，根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CE$，同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$。
因此可得等式：$\frac{1}{2}× AB× CE=\frac{1}{2}× BC× AD$。
将$AD=10$，$CE=9$，$AB=12$代入等式：
$\frac{1}{2}×12×9=\frac{1}{2}× BC×10$，
化简左边：$\frac{1}{2}×12×9=54$，
右边化简为：$5× BC$，
即$54=5× BC$，
解得$BC=\frac{54}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{54}{5}}$
【知识点】
三角形面积公式，等积法
【点评】
本题考查等积法的实际应用，核心是利用同一个三角形面积的不同表达式建立等量关系，这种方法是求解线段长度的常用技巧，需要熟练掌握三角形面积公式，灵活转化思路。
【难度系数】
0.6
本题可利用三角形面积的两种不同计算方式建立等式求解。三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，由于$△ ABC$的面积是固定值，所以可以分别以$AB$为底、$CE$为高，和以$BC$为底、$AD$为高计算面积，通过面积相等列出方程，进而求出$BC$的长度。
【解析】
已知$AD$，$CE$是$△ ABC$的高，根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CE$，同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$。
因此可得等式：$\frac{1}{2}× AB× CE=\frac{1}{2}× BC× AD$。
将$AD=10$，$CE=9$，$AB=12$代入等式：
$\frac{1}{2}×12×9=\frac{1}{2}× BC×10$，
化简左边：$\frac{1}{2}×12×9=54$，
右边化简为：$5× BC$，
即$54=5× BC$，
解得$BC=\frac{54}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{54}{5}}$
【知识点】
三角形面积公式，等积法
【点评】
本题考查等积法的实际应用，核心是利用同一个三角形面积的不同表达式建立等量关系，这种方法是求解线段长度的常用技巧，需要熟练掌握三角形面积公式，灵活转化思路。
【难度系数】
0.6
9. 从5条长度分别为1，2，3，4，5的线段中任选3条，可以组成
3
个三角形。答案
9.3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确三角形的核心判定依据：任意两边之和大于第三边。解题思路分为两步：第一步，不重不漏地列出从5条线段中任选3条的所有组合；第二步，依据三角形三边关系逐一判断每个组合能否组成三角形，最后统计符合条件的组合数量。
【解析】
1. 列出所有选3条线段的组合：
从长度为1，2，3，4，5的线段中任选3条，共有以下10种组合：
(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)
2. 根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）逐一判断：
(1,2,3)：1+2=3，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
(1,2,4)：1+2=3＜4，不满足，不能组成三角形；
(1,2,5)：1+2=3＜5，不满足，不能组成三角形；
(1,3,4)：1+3=4，不满足，不能组成三角形；
(1,3,5)：1+3=4＜5，不满足，不能组成三角形；
(1,4,5)：1+4=5，不满足，不能组成三角形；
(2,3,4)：2+3＞4，2+4＞3，3+4＞2，满足三边关系，可以组成三角形；
(2,3,5)：2+3=5，不满足，不能组成三角形；
(2,4,5)：2+4＞5，2+5＞4，4+5＞2，满足三边关系，可以组成三角形；
(3,4,5)：3+4＞5，3+5＞4，4+5＞3，满足三边关系，可以组成三角形。
3. 统计符合条件的组合数量：共有3个组合可以组成三角形。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题主要考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是先完整列出所有组合，再严格依据三边关系判断。需要注意判断时只要存在一组两边之和等于或小于第三边，该组合就无法组成三角形，需仔细核对每个组合。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确三角形的核心判定依据：任意两边之和大于第三边。解题思路分为两步：第一步，不重不漏地列出从5条线段中任选3条的所有组合；第二步，依据三角形三边关系逐一判断每个组合能否组成三角形，最后统计符合条件的组合数量。
【解析】
1. 列出所有选3条线段的组合：
从长度为1，2，3，4，5的线段中任选3条，共有以下10种组合：
(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)
2. 根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）逐一判断：
(1,2,3)：1+2=3，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
(1,2,4)：1+2=3＜4，不满足，不能组成三角形；
(1,2,5)：1+2=3＜5，不满足，不能组成三角形；
(1,3,4)：1+3=4，不满足，不能组成三角形；
(1,3,5)：1+3=4＜5，不满足，不能组成三角形；
(1,4,5)：1+4=5，不满足，不能组成三角形；
(2,3,4)：2+3＞4，2+4＞3，3+4＞2，满足三边关系，可以组成三角形；
(2,3,5)：2+3=5，不满足，不能组成三角形；
(2,4,5)：2+4＞5，2+5＞4，4+5＞2，满足三边关系，可以组成三角形；
(3,4,5)：3+4＞5，3+5＞4，4+5＞3，满足三边关系，可以组成三角形。
3. 统计符合条件的组合数量：共有3个组合可以组成三角形。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题主要考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是先完整列出所有组合，再严格依据三边关系判断。需要注意判断时只要存在一组两边之和等于或小于第三边，该组合就无法组成三角形，需仔细核对每个组合。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线，已知$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$。
(1)求$△ ABD$与$△ ACD$的周长之差；
(2)若AB边上的高为2 cm，求AC边上的高。
(1)求$△ ABD$与$△ ACD$的周长之差；
(2)若AB边上的高为2 cm，求AC边上的高。
答案
10.解:(1)$△ ABD$与$△ ACD$的周长之差为2 cm；
(2)AC边上的高为$\frac{10}{3}$ cm。
(2)AC边上的高为$\frac{10}{3}$ cm。
解析
【分析】
(1) 要计算$△ ABD$与$△ ACD$的周长之差，先分别写出两个三角形的周长表达式，结合AD是BC中线得出$BD=CD$，且AD为两个三角形的公共边，化简周长差的表达式后，可发现周长差等于AB与AC的长度差，代入数值即可求解；
(2) 利用三角形面积公式，先以AB为底、AB边上的高为高计算出$△ABC$的面积，再以AC为底，结合面积公式反推AC边上的高，依据是同一个三角形的面积是固定值。
【解析】
(1) 因为AD是BC边上的中线，所以$BD=CD$。
$△ABD$的周长：$C_{△ABD}=AB+BD+AD$，
$△ACD$的周长：$C_{△ACD}=AC+CD+AD$，
则两个三角形的周长之差为：
$\begin{align}C_{△ABD}-C_{△ACD}&=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)\\&=AB - AC \\&=5-3\\&=2\ \mathrm{cm}\end{align}$
(2) 设AC边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
以AB为底时，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×2=\frac{1}{2}×5×2=5\ \mathrm{cm^2}$，
以AC为底时，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×h$，代入面积可得：
$5=\frac{1}{2}×3×h$，
解得$h=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积公式
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的应用，第一问核心是利用中线的等量关系简化周长差的计算，第二问利用“同一三角形面积不变”的特点，通过面积公式建立等式求解，整体注重对基础概念的理解与运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算$△ ABD$与$△ ACD$的周长之差，先分别写出两个三角形的周长表达式，结合AD是BC中线得出$BD=CD$，且AD为两个三角形的公共边，化简周长差的表达式后，可发现周长差等于AB与AC的长度差，代入数值即可求解；
(2) 利用三角形面积公式，先以AB为底、AB边上的高为高计算出$△ABC$的面积，再以AC为底，结合面积公式反推AC边上的高，依据是同一个三角形的面积是固定值。
【解析】
(1) 因为AD是BC边上的中线，所以$BD=CD$。
$△ABD$的周长：$C_{△ABD}=AB+BD+AD$，
$△ACD$的周长：$C_{△ACD}=AC+CD+AD$，
则两个三角形的周长之差为：
$\begin{align}C_{△ABD}-C_{△ACD}&=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)\\&=AB - AC \\&=5-3\\&=2\ \mathrm{cm}\end{align}$
(2) 设AC边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
以AB为底时，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×2=\frac{1}{2}×5×2=5\ \mathrm{cm^2}$，
以AC为底时，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×h$，代入面积可得：
$5=\frac{1}{2}×3×h$，
解得$h=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积公式
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的应用，第一问核心是利用中线的等量关系简化周长差的计算，第二问利用“同一三角形面积不变”的特点，通过面积公式建立等式求解，整体注重对基础概念的理解与运用。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=45°$，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求$∠ BHC$的度数。
答案
11.$∠ BHC=135^{\circ }$。
解析
【分析】
首先，根据高的定义，BD、CE是△ABC的高，可得∠ADB和∠AEC均为90°。接下来可以通过两种思路求解：一是利用四边形内角和为360°，结合已知∠A=45°，算出∠EHD的度数，再根据对顶角相等得到∠BHC的度数；二是先在△ABD中求出∠ABD的度数，再结合CE⊥AB的条件，在△BEH中求出∠BHE，最后利用邻补角的关系得到∠BHC的度数。
【解析】
解法一：
∵ BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴ ∠ADB = ∠AEC = 90°（三角形高的定义）。
在四边形AEHD中，根据四边形内角和为360°，可得：
$∠ A + ∠ AEH + ∠ ADH + ∠ EHD = 360°$，
将$∠ A = 45°$，$∠ AEH = ∠ ADH = 90°$代入得：
$45° + 90° + 90° + ∠ EHD = 360°$，
解得$∠ EHD = 135°$。
又
∵ $∠ BHC$与$∠ EHD$是对顶角，
∴ $∠ BHC = ∠ EHD = 135°$。
解法二：
∵ BD是AC边上的高，
∴ $∠ ADB = 90°$，
在$△ ABD$中，$∠ ABD = 90° - ∠ A = 90° - 45° = 45°$。
∵ CE是AB边上的高，
∴ $∠ BEH = 90°$，
在$△ BEH$中，$∠ BHE = 90° - ∠ ABD = 90° - 45° = 45°$，
∵ $∠ BHC + ∠ BHE = 180°$（邻补角定义），
∴ $∠ BHC = 180° - 45° = 135°$。
【答案】
$\boldsymbol{∠BHC=135°}$
【知识点】
三角形高的定义，四边形内角和，对顶角相等
【点评】
本题考查了三角形高的性质、四边形内角和定理以及对顶角的性质，解题关键是利用高的定义得到直角，再结合角度关系逐步推导，需要学生熟练掌握基本角度计算方法，灵活运用几何图形的角度性质。
【难度系数】
0.6
首先，根据高的定义，BD、CE是△ABC的高，可得∠ADB和∠AEC均为90°。接下来可以通过两种思路求解：一是利用四边形内角和为360°，结合已知∠A=45°，算出∠EHD的度数，再根据对顶角相等得到∠BHC的度数；二是先在△ABD中求出∠ABD的度数，再结合CE⊥AB的条件，在△BEH中求出∠BHE，最后利用邻补角的关系得到∠BHC的度数。
【解析】
解法一：
∵ BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴ ∠ADB = ∠AEC = 90°（三角形高的定义）。
在四边形AEHD中，根据四边形内角和为360°，可得：
$∠ A + ∠ AEH + ∠ ADH + ∠ EHD = 360°$，
将$∠ A = 45°$，$∠ AEH = ∠ ADH = 90°$代入得：
$45° + 90° + 90° + ∠ EHD = 360°$，
解得$∠ EHD = 135°$。
又
∵ $∠ BHC$与$∠ EHD$是对顶角，
∴ $∠ BHC = ∠ EHD = 135°$。
解法二：
∵ BD是AC边上的高，
∴ $∠ ADB = 90°$，
在$△ ABD$中，$∠ ABD = 90° - ∠ A = 90° - 45° = 45°$。
∵ CE是AB边上的高，
∴ $∠ BEH = 90°$，
在$△ BEH$中，$∠ BHE = 90° - ∠ ABD = 90° - 45° = 45°$，
∵ $∠ BHC + ∠ BHE = 180°$（邻补角定义），
∴ $∠ BHC = 180° - 45° = 135°$。
【答案】
$\boldsymbol{∠BHC=135°}$
【知识点】
三角形高的定义，四边形内角和，对顶角相等
【点评】
本题考查了三角形高的性质、四边形内角和定理以及对顶角的性质，解题关键是利用高的定义得到直角，再结合角度关系逐步推导，需要学生熟练掌握基本角度计算方法，灵活运用几何图形的角度性质。
【难度系数】
0.6
