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三、解答题3个小题,共40分
11.13分一个多边形,它的内角和比外角和的4倍多$180°$,求这个多边形的边数及内角和度数。
11.13分一个多边形,它的内角和比外角和的4倍多$180°$,求这个多边形的边数及内角和度数。
答案
11.这个多边形的边数是11,内角和度数是1620度。
解析
【分析】
首先，我们要明确多边形的外角和是固定不变的，始终为$360°$。题目给出内角和比外角和的4倍多$180°$，所以先根据这个关系计算出内角和的度数；接着利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$（其中$n$为多边形的边数），将算出的内角和代入公式，通过解方程即可求出多边形的边数。
【解析】
1. 计算多边形的内角和：
已知多边形外角和为$360°$，根据题意可得内角和为：
$360°×4 + 180°=1440°+180°=1620°$
2. 求多边形的边数：
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可列方程：
$(n-2)×180°=1620°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=9$
解得：$n=11$
【答案】
这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度。
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质
【点评】
本题主要考查多边形内角和与外角和的基本性质，解题关键是牢记多边形外角和为固定值$360°$，并熟练运用内角和公式建立方程求解，属于基础题型，有助于巩固多边形的相关概念。
【难度系数】
0.7
首先，我们要明确多边形的外角和是固定不变的，始终为$360°$。题目给出内角和比外角和的4倍多$180°$，所以先根据这个关系计算出内角和的度数；接着利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$（其中$n$为多边形的边数），将算出的内角和代入公式，通过解方程即可求出多边形的边数。
【解析】
1. 计算多边形的内角和：
已知多边形外角和为$360°$，根据题意可得内角和为：
$360°×4 + 180°=1440°+180°=1620°$
2. 求多边形的边数：
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可列方程：
$(n-2)×180°=1620°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=9$
解得：$n=11$
【答案】
这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度。
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质
【点评】
本题主要考查多边形内角和与外角和的基本性质，解题关键是牢记多边形外角和为固定值$360°$，并熟练运用内角和公式建立方程求解，属于基础题型，有助于巩固多边形的相关概念。
【难度系数】
0.7
12.13分如图,已知$△ ABC$中,$∠ B=40°$,$∠ C=62°$,AD是BC边上的高,AE是$∠ BAC$的平分线。求$∠ DAE$的度数。
答案
12.解:因为$△ ABC$中,$∠ B=40°$,$∠ C=62°$,
所以$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
$=180°-40°-62°$
$=78°$。
因为AE是$∠ BAC$的平分线,
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=39°$。
因为AD是BC边上的高,
所以在直角$△ ADC$中,
$∠ DAC=90°-∠ C=90°-62°=28°$,
所以$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=39°-28°=11°$。
所以$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
$=180°-40°-62°$
$=78°$。
因为AE是$∠ BAC$的平分线,
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=39°$。
因为AD是BC边上的高,
所以在直角$△ ADC$中,
$∠ DAC=90°-∠ C=90°-62°=28°$,
所以$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=39°-28°=11°$。
解析
【分析】
要计算$∠DAE$的度数，观察图形可得$∠DAE = ∠EAC - ∠DAC$，因此需要分别求出$∠EAC$和$∠DAC$的度数：
1. 首先利用三角形内角和定理，结合已知的$∠B$和$∠C$的度数，求出$∠BAC$的度数；
2. 再根据角平分线的定义，求出$∠EAC$（即$∠BAC$的一半）；
3. 因为AD是BC边上的高，所以$△ADC$是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，求出$∠DAC$的度数；
4. 最后用$∠EAC$减去$∠DAC$，即可得到$∠DAE$的度数。
【解析】
解：在$△ABC$中，已知$∠B=40°$，$∠C=62°$，根据三角形内角和定理：
$∠BAC=180°-∠B-∠C$
$=180°-40°-62°$
$=78°$。
因为AE是$∠BAC$的平分线，根据角平分线的定义：
$∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×78°=39°$。
因为AD是BC边上的高，所以$∠ADC=90°$，在$Rt△ADC$中，根据直角三角形两锐角互余：
$∠DAC=90°-∠C=90°-62°=28°$。
因此$∠DAE=∠EAC-∠DAC=39°-28°=11°$。
【答案】
$∠DAE$的度数为$11°$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查三角形相关性质的综合运用，解题关键是通过图形找到角之间的和差关系，逐步利用三角形内角和、角平分线、直角三角形的性质推导计算，属于基础几何题，需要熟练掌握三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
要计算$∠DAE$的度数，观察图形可得$∠DAE = ∠EAC - ∠DAC$，因此需要分别求出$∠EAC$和$∠DAC$的度数：
1. 首先利用三角形内角和定理，结合已知的$∠B$和$∠C$的度数，求出$∠BAC$的度数；
2. 再根据角平分线的定义，求出$∠EAC$（即$∠BAC$的一半）；
3. 因为AD是BC边上的高，所以$△ADC$是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，求出$∠DAC$的度数；
4. 最后用$∠EAC$减去$∠DAC$，即可得到$∠DAE$的度数。
【解析】
解：在$△ABC$中，已知$∠B=40°$，$∠C=62°$，根据三角形内角和定理：
$∠BAC=180°-∠B-∠C$
$=180°-40°-62°$
$=78°$。
因为AE是$∠BAC$的平分线，根据角平分线的定义：
$∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×78°=39°$。
因为AD是BC边上的高，所以$∠ADC=90°$，在$Rt△ADC$中，根据直角三角形两锐角互余：
$∠DAC=90°-∠C=90°-62°=28°$。
因此$∠DAE=∠EAC-∠DAC=39°-28°=11°$。
【答案】
$∠DAE$的度数为$11°$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查三角形相关性质的综合运用，解题关键是通过图形找到角之间的和差关系，逐步利用三角形内角和、角平分线、直角三角形的性质推导计算，属于基础几何题，需要熟练掌握三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
13.14分在数学学习过程中,对有些具有特殊结构,且结论又具有一般性的数学问题,我们常将其作为一个数学模型加以识记,以积累和丰富自己的问题解决经验。
【结论发现】
小明在处理教材第43页第21题后发现:三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线所成夹角的度数是第三个内角度数的一半。
【结论探究】
1如图①,在$△ ABC$中,点E是$△ ABC$内角$∠ ACB$的平分线CE与外角$∠ ABD$的平分线BE的交点,则有$∠ E=\frac{1}{2}∠ A$。请给出证明过程。
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题。
【简单应用】
2如图②,在$△ ABC$中,$∠ ABC=40°$。延长BA至G,延长AC至H,已知$∠ BAC,∠ CAG$的角平分线与$∠ BCH$的角平分线及其反向延长线交于E,F,求$∠ F$的度数;
【变式拓展】
3如图③,四边形ABCD的内角$∠ BCD$的平分线与外角$∠ ABG$的平分线形成如图所示形状。
①已知$∠ A=150°,∠ D=80°$,求$∠ E+∠ F$的度数;
②直接写出$∠ E+∠ F$与$∠ A+$$∠ D$的关系。
【结论发现】
小明在处理教材第43页第21题后发现:三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线所成夹角的度数是第三个内角度数的一半。
【结论探究】
1如图①,在$△ ABC$中,点E是$△ ABC$内角$∠ ACB$的平分线CE与外角$∠ ABD$的平分线BE的交点,则有$∠ E=\frac{1}{2}∠ A$。请给出证明过程。
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题。
【简单应用】
2如图②,在$△ ABC$中,$∠ ABC=40°$。延长BA至G,延长AC至H,已知$∠ BAC,∠ CAG$的角平分线与$∠ BCH$的角平分线及其反向延长线交于E,F,求$∠ F$的度数;
【变式拓展】
3如图③,四边形ABCD的内角$∠ BCD$的平分线与外角$∠ ABG$的平分线形成如图所示形状。
①已知$∠ A=150°,∠ D=80°$,求$∠ E+∠ F$的度数;
②直接写出$∠ E+∠ F$与$∠ A+$$∠ D$的关系。
答案
13.(1)证明:$\because ∠ EBC+∠ EBD=180°$,
又因为在$△ EBC$中,$∠ EBC+∠ E+∠ ECB=180°$,
$\therefore ∠ EBC+∠ EBD=∠ EBC+∠ E+∠ ECB$,
$\therefore ∠ EBD=∠ E+∠ ECB$。
同理可得:$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$。
又因为BE和CE分别是$∠ ABD$和$∠ ACB$的角平分线,
$\therefore ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABD$,$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore \frac{1}{2}∠ ABD=∠ E+\frac{1}{2}∠ ACB$,
即$∠ E=\frac{1}{2}∠ ABD-\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ ABD-$
$∠ ACB)$,
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ A$。
(2)解:$\because ∠ ABC=40°$,
$\therefore ∠ AEC=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$。
$\because ∠ BAC$,$∠ CAG$的角平分线与$∠ BCH$的角平分
线及其反向延长线交于E,F,
$\therefore ∠ EAC+∠ FAC=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ CAG)=\frac{1}{2}×$
$180°=90°$,
$\therefore ∠ F=180°-90°-20°=70°$。
(3)解:①延长BA,CD交于点M,延长CE,BF交于点
N,如图所示。
$\because BF$,$CE$平分$∠ ABG$,$∠ DCB$,
$\therefore ∠ N=\frac{1}{2}∠ M$。
$\because ∠ BAD=150°$,$∠ ADC=80°$,
$\therefore ∠ M=180°-(180°-150°)-(180°-80°)=50°$。
$\therefore ∠ N=25°$,
$\therefore ∠ AEF+∠ BFE=360°-(180°-25°)=205°$;
②$\because ∠ AEF+∠ BFE=360°-(180°-∠ N)=180°+$
$∠ N$,$∠ BAD+∠ ADC=180°+∠ M$,
又$\because ∠ N=\frac{1}{2}∠ M$,
$\therefore ∠ AEF+∠ BFE-180°=\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ADC-$
$180°)$,
即$2(∠ F+∠ E)=∠ A+∠ D+180°$。
解析
【分析】
1. 结论探究：要证明$∠ E=\frac{1}{2}∠ A$，先利用三角形外角的性质，分别在$△ EBC$和$△ ABC$中得到$∠ EBD=∠ E+∠ ECB$、$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$；再结合BE、CE是角平分线的条件，将$∠ EBD$、$∠ ECB$用$∠ ABD$、$∠ ACB$的一半表示，代入等式后整理即可推导出结论。
2. 简单应用：先根据“结论发现”确定$∠ AEC$与$∠ ABC$的关系，求出$∠ AEC$的度数；再由$∠ BAC$和$∠ CAG$是邻补角，得出它们的平分线互相垂直，即$∠ EAF=90°$，最后在$△ AEF$中利用三角形内角和定理计算$∠ F$。
3. 变式拓展：①通过延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，将四边形问题转化为三角形问题，利用“结论发现”得到$∠ N=\frac{1}{2}∠ M$；先根据$∠ A$、$∠ D$的度数求出$∠ M$，进而得到$∠ N$，再利用邻补角和四边形内角和关系求出$∠ E+∠ F$；②通过①的推导，将$∠ E+∠ F$与$∠ A+∠ D$用$∠ M$、$∠ N$建立联系，整理得出两者的关系式。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ EBC+∠ EBD=180°$，
又$\because$ 在$△ EBC$中，$∠ EBC+∠ E+∠ ECB=180°$，
$\therefore ∠ EBC+∠ EBD=∠ EBC+∠ E+∠ ECB$，
$\therefore ∠ EBD=∠ E+∠ ECB$。
同理可得：$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$。
$\because BE$和$CE$分别是$∠ ABD$和$∠ ACB$的角平分线，
$\therefore ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABD$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\therefore \frac{1}{2}∠ ABD=∠ E+\frac{1}{2}∠ ACB$，
即$∠ E=\frac{1}{2}∠ ABD-\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ ABD-∠ ACB)$，
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ A$。
(2) 解：
$\because ∠ ABC=40°$，
根据“结论发现”可得$∠ AEC=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$。
$\because ∠ BAC$，$∠ CAG$的角平分线与$∠ BCH$的角平分线及其反向延长线交于E,F，
$\therefore ∠ EAC+∠ FAC=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ CAG)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ EAF=90°$。
在$△ AEF$中，$∠ F=180°-90°-20°=70°$。
(3) 解：
① 延长BA,CD交于点M,延长CE,BF交于点N,如图所示。
$\because BF$,$CE$平分$∠ ABG$,$∠ DCB$，
根据“结论发现”可得$∠ N=\frac{1}{2}∠ M$。
$\because ∠ BAD=150°$,$∠ ADC=80°$，
$\therefore ∠ MAD=180°-150°=30°$，$∠ MDC=180°-80°=100°$，
在$△ MDC$中，$∠ M=180°-30°-100°=50°$。
$\therefore ∠ N=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠ E+∠ F=360°-(180°-25°)=205°$。
② $\because ∠ E+∠ F=180°+∠ N$，$∠ A+∠ D=180°+∠ M$，
又$\because ∠ N=\frac{1}{2}∠ M$，
$\therefore ∠ E+∠ F-180°=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D-180°)$，
整理得：$2(∠ E+∠ F)=∠ A+∠ D+180°$。
【答案】
(1) 证明过程见解析；
(2) $\boldsymbol{70°}$；
(3) ① $\boldsymbol{205°}$；② $\boldsymbol{2(∠ E+∠ F)=∠ A+∠ D+180°}$；
【知识点】
三角形外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角平分线与外角平分线的核心模型展开，从基础证明到实际应用，再延伸至四边形的变式拓展，考查了几何模型的理解与应用、知识迁移能力以及辅助线构造技巧。解题关键是熟练运用三角形外角性质和角平分线定义，学会将复杂的四边形问题转化为熟悉的三角形问题解决。
【难度系数】
0.3
1. 结论探究：要证明$∠ E=\frac{1}{2}∠ A$，先利用三角形外角的性质，分别在$△ EBC$和$△ ABC$中得到$∠ EBD=∠ E+∠ ECB$、$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$；再结合BE、CE是角平分线的条件，将$∠ EBD$、$∠ ECB$用$∠ ABD$、$∠ ACB$的一半表示，代入等式后整理即可推导出结论。
2. 简单应用：先根据“结论发现”确定$∠ AEC$与$∠ ABC$的关系，求出$∠ AEC$的度数；再由$∠ BAC$和$∠ CAG$是邻补角，得出它们的平分线互相垂直，即$∠ EAF=90°$，最后在$△ AEF$中利用三角形内角和定理计算$∠ F$。
3. 变式拓展：①通过延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，将四边形问题转化为三角形问题，利用“结论发现”得到$∠ N=\frac{1}{2}∠ M$；先根据$∠ A$、$∠ D$的度数求出$∠ M$，进而得到$∠ N$，再利用邻补角和四边形内角和关系求出$∠ E+∠ F$；②通过①的推导，将$∠ E+∠ F$与$∠ A+∠ D$用$∠ M$、$∠ N$建立联系，整理得出两者的关系式。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ EBC+∠ EBD=180°$，
又$\because$ 在$△ EBC$中，$∠ EBC+∠ E+∠ ECB=180°$，
$\therefore ∠ EBC+∠ EBD=∠ EBC+∠ E+∠ ECB$，
$\therefore ∠ EBD=∠ E+∠ ECB$。
同理可得：$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$。
$\because BE$和$CE$分别是$∠ ABD$和$∠ ACB$的角平分线，
$\therefore ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABD$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\therefore \frac{1}{2}∠ ABD=∠ E+\frac{1}{2}∠ ACB$，
即$∠ E=\frac{1}{2}∠ ABD-\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ ABD-∠ ACB)$，
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ A$。
(2) 解：
$\because ∠ ABC=40°$，
根据“结论发现”可得$∠ AEC=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$。
$\because ∠ BAC$，$∠ CAG$的角平分线与$∠ BCH$的角平分线及其反向延长线交于E,F，
$\therefore ∠ EAC+∠ FAC=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ CAG)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ EAF=90°$。
在$△ AEF$中，$∠ F=180°-90°-20°=70°$。
(3) 解：
① 延长BA,CD交于点M,延长CE,BF交于点N,如图所示。
$\because BF$,$CE$平分$∠ ABG$,$∠ DCB$，
根据“结论发现”可得$∠ N=\frac{1}{2}∠ M$。
$\because ∠ BAD=150°$,$∠ ADC=80°$，
$\therefore ∠ MAD=180°-150°=30°$，$∠ MDC=180°-80°=100°$，
在$△ MDC$中，$∠ M=180°-30°-100°=50°$。
$\therefore ∠ N=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠ E+∠ F=360°-(180°-25°)=205°$。
② $\because ∠ E+∠ F=180°+∠ N$，$∠ A+∠ D=180°+∠ M$，
又$\because ∠ N=\frac{1}{2}∠ M$，
$\therefore ∠ E+∠ F-180°=\frac{1}{2}(∠ A+∠ D-180°)$，
整理得：$2(∠ E+∠ F)=∠ A+∠ D+180°$。
【答案】
(1) 证明过程见解析；
(2) $\boldsymbol{70°}$；
(3) ① $\boldsymbol{205°}$；② $\boldsymbol{2(∠ E+∠ F)=∠ A+∠ D+180°}$；
【知识点】
三角形外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角平分线与外角平分线的核心模型展开，从基础证明到实际应用，再延伸至四边形的变式拓展，考查了几何模型的理解与应用、知识迁移能力以及辅助线构造技巧。解题关键是熟练运用三角形外角性质和角平分线定义，学会将复杂的四边形问题转化为熟悉的三角形问题解决。
【难度系数】
0.3
