一、选择题
1. 在$□ ABCD$中，增加一个条件使四边形$ABCD$成为矩形，则下列增加的条件正确的是()。
A.$AD=CD$
B.$∠ B+∠ D=180^{\circ}$
C.$AC=2AB$
D.对角线互相垂直

1. B

【分析】
要解决这道题，我们需要结合平行四边形的性质和矩形的判定定理来逐一分析选项：
1. 首先明确矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。
2. 结合平行四边形的性质（对角相等、对边平行且相等等），对每个选项进行判断：
选项A中邻边相等的平行四边形是菱形，而非矩形，排除；
选项B利用平行四边形对角相等的性质，结合∠B+∠D=180°可推出内角为90°，符合矩形判定；
选项C的条件无法推出平行四边形有直角或对角线相等，不能判定为矩形，排除；
选项D中对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，排除。
【解析】
根据平行四边形的性质和矩形的判定定理，对各选项分析如下：
选项A：在$□ ABCD$中，若$AD=CD$，则邻边相等，四边形$ABCD$是菱形，不是矩形，故A错误；
选项B：在$□ ABCD$中，$∠ B=∠ D$（平行四边形对角相等），又$∠ B+∠ D=180°$，可得$∠ B=∠ D=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知四边形$ABCD$是矩形，故B正确；
选项C：$AC=2AB$无法推出$□ ABCD$的内角为直角或对角线相等，不能判定为矩形，故C错误；
选项D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查矩形与平行四边形的性质及判定，解题关键是熟练掌握矩形的核心判定方法，同时区分菱形与矩形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2. 如图所示，顺次连接四边形$ABCD$各边中点得四边形$EFGH$，要使四边形$EFGH$为矩形，应添加的条件是()。

A.$AB// DC$
B.$AC=BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB=DC$

2. C

证明：连接AC、BD。
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，
∴EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC；FG//BD，FG=$\frac{1}{2}$BD；GH//AC，GH=$\frac{1}{2}$AC；HE//BD，HE=$\frac{1}{2}$BD。
∴四边形EFGH为平行四边形。
要使四边形EFGH为矩形，则需EF⊥FG。
∵EF//AC，FG//BD，
∴AC⊥BD时，EF⊥FG。
故应添加的条件是AC⊥BD。
C

3. 如图所示，将矩形$ABCD$的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝无重叠的四边形$EFGH$。若$EH=3\mathrm{cm}$，$EF=4\mathrm{cm}$，则边$AD$的长是()。

A.$5\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$7\mathrm{cm}$
D.$8\mathrm{cm}$

3. A

证明：由折叠性质知，四边形$EFGH$的内角均为直角，故$EFGH$为矩形。
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$EH = 3\,\mathrm{cm}$，$EF = 4\,\mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$EG=\sqrt{EH^{2}+EF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5\,\mathrm{cm}$
由折叠过程可知，$AD$的长度等于矩形$EFGH$的对角线$EG$的长度。
$\therefore AD = 5\,\mathrm{cm}$
A

二、填空题
4. 如图所示，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且$OA=OD$，$∠ OAD=50^{\circ}$，则$∠ OAB$的度数为。

4. 40°

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$。
∵$OA=OD$，
∴$AC=BD$，
∴平行四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ DAB=90^{\circ}$。
∵$∠ OAD=50^{\circ}$，
∴$∠ OAB=∠ DAB - ∠ OAD=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
40°

5. 如图所示，点$M$在$□ ABCD$的边$AD$上，$BM=CM$，从以下三个选项中选择一个合适的选项作为已知条件，可使$□ ABCD$为矩形。可以添加的条件是(填序号)。
①$∠ 1=∠ 2$；②$AM=DM$；③$∠ 3=∠ 4$。

5. ①②

【分析】
要使平行四边形$ABCD$成为矩形，根据矩形的判定定理，只需证明平行四边形中有一个内角为直角即可。我们逐个分析三个条件：
1. 对于条件①：已知$ABCD$是平行四边形，可得$AB=CD$，$∠ A+∠ D=180°$。结合$BM=CM$，$∠1=∠2$，可通过SAS证明$△ ABM≌△ DCM$，从而推出$∠ A=∠ D$，进而得到$∠ A=90°$，满足矩形判定条件。
2. 对于条件②：由平行四边形性质知$AB=CD$，结合$AM=DM$、$BM=CM$，可通过SSS证明$△ ABM≌△ DCM$，同理推出$∠ A=∠ D=90°$，满足矩形判定条件。
3. 对于条件③：因为$BM=CM$，所以$△ BMC$是等腰三角形，$∠3=∠4$是等腰三角形的固有性质，添加该条件无法推出平行四边形的内角为直角，不能判定为矩形。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，故$AB=CD$，$∠ A+∠ D=180°$。
若添加①$∠1=∠2$：
在$△ ABM$和$△ DCM$中，
$\{\begin{array}{l} AB=DC \\ ∠1=∠2 \\ BM=CM \end{array} $
$\therefore△ ABM≌△ DCM$（SAS），
$\therefore∠ A=∠ D$，
又$\because∠ A+∠ D=180°$，
$\therefore∠ A=∠ D=90°$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
若添加②$AM=DM$：
在$△ ABM$和$△ DCM$中，
$\{\begin{array}{l} AB=DC \\ AM=DM \\ BM=CM \end{array} $
$\therefore△ ABM≌△ DCM$（SSS），
$\therefore∠ A=∠ D$，
又$\because∠ A+∠ D=180°$，
$\therefore∠ A=∠ D=90°$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
若添加③$∠3=∠4$：
$\because BM=CM$，$\therefore△ BMC$是等腰三角形，$∠3=∠4$是等腰三角形的底角，该条件为已知$BM=CM$的必然结论，无法推出平行四边形$ABCD$的内角为直角，不能判定为矩形。
综上，可添加的条件是①②。
【答案】
①②
【知识点】
1. 矩形的判定
2. 全等三角形的判定
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查矩形的判定、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，结合全等三角形的判定分析每个条件的作用，区分有效条件与无效条件。
【难度系数】
0.6

6. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90^{\circ}$，$AB=6$，$AC=8$，$P$为边$BC$上一动点，$PE⊥ AB$于点$E$，$PF⊥ AC$于点$F$，$M$为$EF$的中点，则$PM$的最小值为。

6. 2.4

证明：连接AP。
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，M为EF中点，
∴PM=1/2EF=1/2AP。
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
BC=√(AB²+AC²)=√(6²+8²)=10。
当AP⊥BC时，AP最小，此时AP=AB·AC/BC=6×8/10=24/5。
∴PM=1/2AP=12/5=2.4。
2.4