三、解答题
7. 如图所示，$AE$，$AF$分别是$∠ BAC$与它的邻补角$∠ BAD$的角平分线，$AE⊥ BE$，$AF⊥ BF$，点$E$，$F$为垂足。求证：四边形$AEBF$是矩形。

7. 提示：利用三个角是直角的四边形是矩形

证明：
∵AE平分∠BAC，AF平分∠BAD，
∴∠BAE=1/2∠BAC，∠BAF=1/2∠BAD。
∵∠BAC+∠BAD=180°（邻补角定义），
∴∠BAE+∠BAF=1/2(∠BAC+∠BAD)=90°，即∠EAF=90°。
∵AE⊥BE，AF⊥BF，
∴∠E=90°，∠F=90°。
∵四边形AEBF中∠E=∠F=∠EAF=90°，
∴四边形AEBF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。

8. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD$为中线，延长$CD$到点$E$，使得$DE=CD$。求证：四边形$ACBE$是矩形。

8. 提示：方法不唯一.可先证明四边形ACBE是平行四边形，或利用对角线相等且互相平分证明矩形

证明：
∵CD为△ABC的中线，
∴AD=DB.
∵DE=CD，
∴四边形ACBE的对角线互相平分，
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE是矩形.

9. 如图所示，在$△ ABC$中，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，$AF// BC$交$CE$的延长线于点$F$。
(1) 求证：$FA=BD$；
(2) 若$AB=AC$，求证：四边形$ADBF$是矩形。

9. 提示：（1）先通过三角形全等证明AF=CD，又CD=BD，得出AF=BD （2）方法不唯一.可连接FD，证四边形ADBF，ACDF均是平行四边形，再利用对角线相等证明矩形，或可证明四边形ADBF为平行四边形，利用AB=AC，D为BC中点，三线合一说明∠ADB=90°，证明矩形

(1) 证明：
∵ $AF // BC$，
∴ $∠ FAE = ∠ CDE$，$∠ AFE = ∠ DCE$。
∵ $E$ 是 $AD$ 的中点，
∴ $AE = DE$。
在 $△ AFE$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ FAE = ∠ CDE \\∠ AFE = ∠ DCE \\AE = DE \end{cases}$，
∴ $△ AFE ≌ △ DCE$（AAS）。
∴ $AF = CD$。
∵ $D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $BD = CD$。
∴ $FA = BD$。
(2) 证明：
∵ $AF = BD$ 且 $AF // BD$，
∴ 四边形 $ADBF$ 是平行四边形。
∵ $AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD ⊥ BC$（三线合一）。
∴ $∠ ADB = 90°$。
∴ 四边形 $ADBF$ 是矩形。