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一、选择题
1. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形 OACB 为菱形,OB 在 x 轴上,点 A 的坐标为$(4,3)$,则此菱形的周长为(
A.12
B.16
C.20
D.24
1. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形 OACB 为菱形,OB 在 x 轴上,点 A 的坐标为$(4,3)$,则此菱形的周长为(
C
).A.12
B.16
C.20
D.24
答案
1. C
解析
解：
∵点$A$的坐标为$(4,3)$，
∴$OA = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
∵四边形$OACB$为菱形，
∴菱形的边长为$OA = 5$，
∴菱形的周长为$4×5 = 20$。
C
∵点$A$的坐标为$(4,3)$，
∴$OA = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
∵四边形$OACB$为菱形，
∴菱形的边长为$OA = 5$，
∴菱形的周长为$4×5 = 20$。
C
2. 如图所示,在菱形 ABCD 中,连接 AC, BD,若$∠ 1=20°$,则$∠ 2$的度数为(
A.$20°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
C
).A.$20°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
2. C
解析
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC，
∴∠1=∠BCA=20°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=20°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=140°，
∵菱形的对角线平分一组对角，
∴∠DBC=∠ABC/2=70°，
∵AD//BC，
∴∠2=∠DBC=70°。
答案：C
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC，
∴∠1=∠BCA=20°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=20°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=140°，
∵菱形的对角线平分一组对角，
∴∠DBC=∠ABC/2=70°，
∵AD//BC，
∴∠2=∠DBC=70°。
答案：C
3. 若菱形的一条对角线等于边长,则菱形的较大角是(
A.$60°$
B.$90°$
C.$135°$
D.$120°$
D
).A.$60°$
B.$90°$
C.$135°$
D.$120°$
答案
3. D
解析
设菱形的边长为$a$，对角线$AC = a$。
因为菱形的四条边相等，所以$AB = BC = CD = DA = a$。
菱形的对角线互相平分，所以$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$（$O$为对角线交点）。
在$△ ABO$中，$AB = a$，$AO = \frac{a}{2}$，$BO$为另一条对角线的一半。
根据菱形对角线互相垂直，$△ ABO$为直角三角形，$\cos∠ BAO = \frac{AO}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$，所以$∠ BAO = 60°$。
则$∠ BAD = 2∠ BAO = 120°$，菱形的较大角为$120°$。
D
因为菱形的四条边相等，所以$AB = BC = CD = DA = a$。
菱形的对角线互相平分，所以$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$（$O$为对角线交点）。
在$△ ABO$中，$AB = a$，$AO = \frac{a}{2}$，$BO$为另一条对角线的一半。
根据菱形对角线互相垂直，$△ ABO$为直角三角形，$\cos∠ BAO = \frac{AO}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$，所以$∠ BAO = 60°$。
则$∠ BAD = 2∠ BAO = 120°$，菱形的较大角为$120°$。
D
二、填空题
4. 菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差为$10°$,则此菱形较大的内角为$\_\_\_\_\_\_$.
4. 菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差为$10°$,则此菱形较大的内角为$\_\_\_\_\_\_$.
100°
答案
4. 100°
解析
设菱形的一边与两条对角线所构成的两个角分别为$x$和$y$，且$x ＞ y$。
因为菱形的对角线互相垂直，所以这两个角互余，即$x + y = 90°$。
已知两个角的差为$10°$，则$x - y = 10°$。
联立方程组$\begin{cases}x + y = 90° \\ x - y = 10°\end{cases}$，解得$x = 50°$，$y = 40°$。
菱形的内角是与对角线构成的角的两倍，所以较大内角为$2x = 2×50° = 100°$。
100°
因为菱形的对角线互相垂直，所以这两个角互余，即$x + y = 90°$。
已知两个角的差为$10°$，则$x - y = 10°$。
联立方程组$\begin{cases}x + y = 90° \\ x - y = 10°\end{cases}$，解得$x = 50°$，$y = 40°$。
菱形的内角是与对角线构成的角的两倍，所以较大内角为$2x = 2×50° = 100°$。
100°
5. 如果菱形的边长是$a$,一个内角是$60°$,那么菱形的两条对角线的长度分别为$\_\_\_\_\_\_$.
a，$\sqrt{3}a$
答案
5. a，$\sqrt{3}a$
解析
【分析】
首先回忆菱形的核心性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分且平分内角。已知菱形边长为$a$，一个内角$60°$，我们可以这样思考：
1. 含$60°$内角的菱形，连接这个内角顶点的对角线，会将菱形分成两个三角形，因为菱形边长相等，夹角$60°$，所以这个三角形是等边三角形，由此可直接得出一条对角线的长度；
2. 对于另一条对角线，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将问题转化为直角三角形的边长计算，用勾股定理即可求出其长度。
【解析】
设该菱形为$ABCD$，$AB=BC=CD=DA=a$，$∠ BAD=60°$。
1. 连接对角线$BD$：
因为$AB=AD=a$，$∠ BAD=60°$，所以$△ ABD$是等边三角形，因此$BD=AB=a$；
2. 连接对角线$AC$，与$BD$交于点$O$：
根据菱形性质，对角线互相垂直平分，所以$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{2}$，$AC⊥ BD$。
在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - BO^2}=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
因此$AC=2AO=\sqrt{3}a$。
综上，菱形的两条对角线长度分别为$a$和$\sqrt{3}a$。
【答案】
$a$，$\sqrt{3}a$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定
【点评】
本题是菱形性质的基础应用，解题的关键是利用$60°$内角构造等边三角形快速求出一条对角线，再结合对角线垂直的性质，通过勾股定理计算另一条对角线，考查了对菱形性质、特殊三角形判定及勾股定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
首先回忆菱形的核心性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分且平分内角。已知菱形边长为$a$，一个内角$60°$，我们可以这样思考：
1. 含$60°$内角的菱形，连接这个内角顶点的对角线，会将菱形分成两个三角形，因为菱形边长相等，夹角$60°$，所以这个三角形是等边三角形，由此可直接得出一条对角线的长度；
2. 对于另一条对角线，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将问题转化为直角三角形的边长计算，用勾股定理即可求出其长度。
【解析】
设该菱形为$ABCD$，$AB=BC=CD=DA=a$，$∠ BAD=60°$。
1. 连接对角线$BD$：
因为$AB=AD=a$，$∠ BAD=60°$，所以$△ ABD$是等边三角形，因此$BD=AB=a$；
2. 连接对角线$AC$，与$BD$交于点$O$：
根据菱形性质，对角线互相垂直平分，所以$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{2}$，$AC⊥ BD$。
在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - BO^2}=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
因此$AC=2AO=\sqrt{3}a$。
综上，菱形的两条对角线长度分别为$a$和$\sqrt{3}a$。
【答案】
$a$，$\sqrt{3}a$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定
【点评】
本题是菱形性质的基础应用，解题的关键是利用$60°$内角构造等边三角形快速求出一条对角线，再结合对角线垂直的性质，通过勾股定理计算另一条对角线，考查了对菱形性质、特殊三角形判定及勾股定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示,直线$l_1 // l_2$,菱形 ABCD 和等边三角形 EFG在$l_1$,$l_2$之间,点 A, F 分别在$l_1$,$l_2$上,点 B, D, E, G 在同一直线上. 若$∠ α =50°$,$∠ ADE = 146°$, 则$∠ β$的度数为$\_\_\_\_\_\_$.
答案
6. 44° 提示：延长 BG 交 $l_{2}$ 于点 P，延长 GB 交 $l_{1}$ 于点 Q，则 $∠FPG = ∠FGE - ∠β = 60° - ∠β$，$∠AQB = ∠α - ∠ADB = ∠α - (180° - ∠ADE) = 16°$，又 $∠FPG = ∠AQB$，得 $∠β = 44°$
解析
解：延长 BG 交 $ l_2 $ 于点 P，延长 GB 交 $ l_1 $ 于点 Q。
因为 $ l_1 // l_2 $，所以 $ ∠AQB = ∠FPG $。
在菱形 ABCD 中，$ AD = AB $，$ ∠ADB = ∠ABD $。
$ ∠ADE = 146° $，则 $ ∠ADB = 180° - ∠ADE = 180° - 146° = 34° $。
在 $ △ ABQ $ 中，$ ∠α = 50° $，$ ∠ABD = ∠ADB = 34° $，所以 $ ∠AQB = ∠α - ∠ABD = 50° - 34° = 16° $。
因为 $ △ EFG $ 是等边三角形，所以 $ ∠FGE = 60° $。
在 $ △ FPG $ 中，$ ∠FPG = ∠FGE - ∠β = 60° - ∠β $。
又因为 $ ∠AQB = ∠FPG $，所以 $ 60° - ∠β = 16° $，解得 $ ∠β = 44° $。
44°
因为 $ l_1 // l_2 $，所以 $ ∠AQB = ∠FPG $。
在菱形 ABCD 中，$ AD = AB $，$ ∠ADB = ∠ABD $。
$ ∠ADE = 146° $，则 $ ∠ADB = 180° - ∠ADE = 180° - 146° = 34° $。
在 $ △ ABQ $ 中，$ ∠α = 50° $，$ ∠ABD = ∠ADB = 34° $，所以 $ ∠AQB = ∠α - ∠ABD = 50° - 34° = 16° $。
因为 $ △ EFG $ 是等边三角形，所以 $ ∠FGE = 60° $。
在 $ △ FPG $ 中，$ ∠FPG = ∠FGE - ∠β = 60° - ∠β $。
又因为 $ ∠AQB = ∠FPG $，所以 $ 60° - ∠β = 16° $，解得 $ ∠β = 44° $。
44°
三、解答题
7. 如图所示,在菱形 ABCD 中,点 M, N 分别在 AB, CD 上,且$AM = CN$, MN 与 AC 交于点 O,连接 BO. 若$∠ DAC = 28°$,求$∠ OBC$的度数.
7. 如图所示,在菱形 ABCD 中,点 M, N 分别在 AB, CD 上,且$AM = CN$, MN 与 AC 交于点 O,连接 BO. 若$∠ DAC = 28°$,求$∠ OBC$的度数.
答案
7. 62°
解析
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，∠BAC=∠DAC=28°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO。
∵AB//CD，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO。
在△AMO和△CNO中，
$\{\begin{array}{l}∠MAO=∠NCO\\∠AMO=∠CNO\\AM=CN\end{array} $，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
∴AO=CO，即O为AC中点。
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°。
∵∠BAC=28°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=28°。
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
62°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，∠BAC=∠DAC=28°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO。
∵AB//CD，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO。
在△AMO和△CNO中，
$\{\begin{array}{l}∠MAO=∠NCO\\∠AMO=∠CNO\\AM=CN\end{array} $，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
∴AO=CO，即O为AC中点。
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°。
∵∠BAC=28°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=28°。
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
62°
