三、解答题
7. 如图所示，在矩形 $ABCD$ 中，$AE$ 平分 $∠ BAD$，$∠ AOD = 120^{\circ}$，求 $∠ EAO$ 的度数。

7. 15°

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $OA=OB=OC=OD$，$∠ BAD=90°$。
∵ $∠ AOD=120°$，
∴ $∠ AOB=180°-120°=60°$，
∴ $△ AOB$ 是等边三角形，
∴ $∠ OAB=60°$。
∵ $AE$ 平分 $∠ BAD$，
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD=45°$，
∴ $∠ EAO=∠ OAB-∠ BAE=60°-45°=15°$。
答案：$15°$

8. 如图所示，$BE$，$CF$ 分别是 $△ ABC$ 的高，$M$ 为 $BC$ 的中点，$EF = 5$，$BC = 8$，求 $△ EFM$ 的周长。

8. 13 提示：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明：
∵BE，CF分别是△ABC的高，
∴∠BFC=∠BEC=90°。
∵M为BC的中点，BC=8，
∴在Rt△BFC中，MF=1/2BC=4；
在Rt△BEC中，ME=1/2BC=4。
∵EF=5，
∴△EFM的周长=ME+MF+EF=4+4+5=13。
13

9. 如图所示，在矩形 $ABCD$ 中，$AE // BD$，且交 $CB$ 的延长线于点 $E$。
(1) 求证：$AE = AC$；
(2) 若 $∠ DBC = 30^{\circ}$，$BD = 4$，求四边形 $ADCE$ 的面积。

9. (1)提示：先证明平行四边形 AEBD，得到 AE = BD，再利用矩形 ABCD 对角线相等得出结论$ (2) 6\sqrt{3} $提示：可利用直角三角形 30°角的性质和勾股定理算出 BC，CD，进而求出直角梯形面积为$ 6\sqrt{3}$

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD // BC$，$AC = BD$。
∵ $AE // BD$，
∴ 四边形 $AEBD$ 是平行四边形，
∴ $AE = BD$，
∴ $AE = AC$。
(2) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $∠ BCD = 90°$，$AD = BC$，$AD // EC$。
∵ $∠ DBC = 30°$，$BD = 4$，
∴ $CD = \frac{1}{2}BD = 2$，$BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$，
∴ $AD = BC = 2\sqrt{3}$，$EC = EB + BC = AD + BC = 4\sqrt{3}$。
∵ $AD // EC$，$∠ BCD = 90°$，
∴ 四边形 $ADCE$ 是直角梯形，
∴ 面积为 $\frac{1}{2}(AD + EC) · CD = \frac{1}{2}(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) × 2 = 6\sqrt{3}$。