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6. (2023·工业园区期末)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法,如图所示,在井口 $A$ 处立一垂直于井口的木杆 $AB$,从木杆的顶端 $B$ 观测井水水岸 $D$,视线 $BD$ 与井口的直径 $CA$ 交于点 $E$,若测得 $AB = 1$ 米,$AC = 1.6$ 米,$AE = 0.4$ 米,则水面以上的深度 $CD$ 为(
A.$4$ 米
B.$3$ 米
C.$3.2$ 米
D.$3.4$ 米
B
)A.$4$ 米
B.$3$ 米
C.$3.2$ 米
D.$3.4$ 米
答案
6.B
解析
解：因为 $CA$ 是井口直径，$AB$ 垂直于井口，$CD$ 是水面以上深度，所以 $AB ⊥ CA$，$CD ⊥ CA$，则 $AB // CD$。
所以 $△ ABE ∼ △ CDE$（两直线平行，内错角相等，两角对应相等的两个三角形相似）。
已知 $AC = 1.6$ 米，$AE = 0.4$ 米，所以 $CE = AC - AE = 1.6 - 0.4 = 1.2$ 米。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$。
即 $\frac{0.4}{1.2} = \frac{1}{CD}$，解得 $CD = 3$ 米。
答案：B
所以 $△ ABE ∼ △ CDE$（两直线平行，内错角相等，两角对应相等的两个三角形相似）。
已知 $AC = 1.6$ 米，$AE = 0.4$ 米，所以 $CE = AC - AE = 1.6 - 0.4 = 1.2$ 米。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$。
即 $\frac{0.4}{1.2} = \frac{1}{CD}$，解得 $CD = 3$ 米。
答案：B
7. (2024·靖江期中)如图,甲楼 $AB$ 高 $16$ 米,乙楼 $CD$ 坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午 $12$ 时,物高与影长的比是 $2:3$,两楼之间的距离 $BD$ 为 $12$ 米,那么甲楼的影子落在乙楼上的高度 $DE=$
8
米.答案
7.8
解析
解：过点E作EF⊥AB于点F，则EF=BD=12米，BF=DE，AF=AB-BF=16-DE。
由物高与影长的比是2:3，得$\frac{AF}{EF}=\frac{2}{3}$。
即$\frac{16 - DE}{12}=\frac{2}{3}$，解得$16 - DE = 8$，$DE = 8$。
8
由物高与影长的比是2:3，得$\frac{AF}{EF}=\frac{2}{3}$。
即$\frac{16 - DE}{12}=\frac{2}{3}$，解得$16 - DE = 8$，$DE = 8$。
8
8. 如图,某数学兴趣小组发现 $8$ 米高的旗杆 $DE$ 的影子 $EF$ 落在了包含一圆弧形小桥在内的路上,于是他们开展了“测算小桥所在圆的半径”的活动. 小刚身高 $1.6$ 米,测得其影长为 $2.4$ 米,同时测得 $EG$ 的长为 $3$ 米,$HF$ 的长为 $1$ 米,测得小桥拱高(
的中点到弦 $GH$ 的距离,即 $MN$ 的长为 $2$ 米,则小桥所在圆的半径为
的中点到弦 $GH$ 的距离,即 $MN$ 的长为 $2$ 米,则小桥所在圆的半径为5
米.答案
8.5
解析
解：由题意，同一时刻物高与影长成正比，设旗杆影子$EF$的长为$x$米。
则$\frac{8}{x}=\frac{1.6}{2.4}$，解得$x=12$米。
因为$EG=3$米，$HF=1$米，所以$GH=EF - EG - HF=12 - 3 - 1=8$米。
设小桥所在圆的圆心为$O$，半径为$r$米，连接$OG$，$OM$。
因为$MN$为拱高且$M$为$GH$中点，所以$OM ⊥ GH$，$GM=\frac{1}{2}GH=4$米，$ON=r - MN=r - 2$米。
在$Rt△ OGM$中，$OG^2=GM^2 + OM^2$，即$r^2=4^2 + (r - 2)^2$。
解得$r=5$。
5
则$\frac{8}{x}=\frac{1.6}{2.4}$，解得$x=12$米。
因为$EG=3$米，$HF=1$米，所以$GH=EF - EG - HF=12 - 3 - 1=8$米。
设小桥所在圆的圆心为$O$，半径为$r$米，连接$OG$，$OM$。
因为$MN$为拱高且$M$为$GH$中点，所以$OM ⊥ GH$，$GM=\frac{1}{2}GH=4$米，$ON=r - MN=r - 2$米。
在$Rt△ OGM$中，$OG^2=GM^2 + OM^2$，即$r^2=4^2 + (r - 2)^2$。
解得$r=5$。
5
9. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高. 如图所示,在某一时刻,他们在阳光下分别测得该建筑物 $OB$ 的影长 $OC$ 为 $16$ 米,$OA$ 的影长 $OD$ 为 $20$ 米,小明的影长 $FG$ 为 $2.4$ 米,其中 $O,C,D,F,G$ 五点在同一条直线上,$A,B,O$ 三点在同一条直线上,且 $AO⊥ OD$,$EF⊥ FG$. 已知小明的身高 $EF$ 为 $1.8$ 米,求旗杆的高 $AB$.
答案
9.解:
∵AD//EG,
∴∠ADO = ∠EGF.
又
∵∠AOD = ∠EFG = 90°,
∴△AOD∽△EFG,
∴$\frac{AO}{EF}=\frac{OD}{FG}$，即$\frac{AO}{1.8}=\frac{20}{2.4}$，解得AO = 15米.
同理得△BOC∽△AOD，
∴$\frac{BO}{AO}=\frac{OC}{OD}$，即$\frac{BO}{15}=\frac{16}{20}$，
解得BO = 12米，
∴AB = AO - BO = 15 - 12 = 3(米).
答:旗杆的高AB是3米.
∵AD//EG,
∴∠ADO = ∠EGF.
又
∵∠AOD = ∠EFG = 90°,
∴△AOD∽△EFG,
∴$\frac{AO}{EF}=\frac{OD}{FG}$，即$\frac{AO}{1.8}=\frac{20}{2.4}$，解得AO = 15米.
同理得△BOC∽△AOD，
∴$\frac{BO}{AO}=\frac{OC}{OD}$，即$\frac{BO}{15}=\frac{16}{20}$，
解得BO = 12米，
∴AB = AO - BO = 15 - 12 = 3(米).
答:旗杆的高AB是3米.
10. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔 $AB$,$B$ 是 $CD$ 的中点,$CD$ 是水平的,在阳光的照射下,塔影 $DE$ 留在坡面上. 已知 $CD = 20$ m,$DE = 30$ m,小明和小华的身高都是 $1.5$ m,同一时刻,小明站在 $E$ 处,他的影子落在坡面上,影长为 $2$ m,而小华站在平地上,影子落在平地上,影长为 $1$ m,求铁塔高 $AB$.
答案
10.解:过点D作DF//AE,交AB于点F,如答图
由题意知DE = 30m，$BD=\frac{1}{2}CD = 10$m.
设塔影留在坡面DE部分的塔高AF = h1m，塔影留在平地BD部分的塔高BF = h2m，
则铁塔的高为(h1 + h2)m.
∵h1:30 = 1.5:2，解得h1 = 22.5.
∵h2:10 = 1.5:1，解得h2 = 15.
∴AB = 22.5 + 15 = 37.5(m).
答:塔高AB为37.5m.
