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9. 已知一次函数$y_1=kx+m(k≠0)$和二次函数$y_2=ax^2+bx+c(a≠0)$部分自变量和对应的函数值如下表：
（1）二次函数$y_2$的图象的对称轴为
（2）根据表中数据，在如图26.3-7所示的平面直角坐标系中画出两个函数的图象；
（3）根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞kx+m$中$x$的取值范围。
（1）二次函数$y_2$的图象的对称轴为
$x=-1$
；（2）根据表中数据，在如图26.3-7所示的平面直角坐标系中画出两个函数的图象；
（3）根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞kx+m$中$x$的取值范围。
答案
9. 解：(1) $x=-1$
(2) 画出函数图象，如图所示
(3) 当$ax^2+bx+c＞kx+m$时，$x$的取值范围为$x＜-2$或$x＞1$。
解析
【分析】
（1）求二次函数对称轴，可利用二次函数的对称性：若二次函数上两个点的纵坐标相等，则这两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标之和的一半。观察图像可得二次函数过$(-2,0)$和$(0,0)$，两点纵坐标均为0，代入计算即可得对称轴。
（2）画函数图像时，一次函数只需描出2个已知点，连接为直线即可；二次函数先描出给出的所有点，再按抛物线的走向用平滑曲线连接即可。
（3）不等式$ax^2+bx+c＞kx+m$的几何意义是二次函数$y_2$的图像位于一次函数$y_1$图像上方时对应的$x$的取值，先找到两个函数的交点横坐标，再观察图像位置即可得到解集。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数$y_2$过点$(-2,0)$和$(0,0)$，两点纵坐标相等，
$\therefore$ 二次函数图像的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
（2）先描出一次函数$y_1$的点$(-2,0)$、$(0,2)$，连接为直线；再描出二次函数$y_2$的点$(-3,3)$、$(-2,0)$、$(-1,-1)$、$(0,0)$、$(1,3)$，按抛物线形状平滑连接各点，即可得到两个函数的图像。
（3）观察图像可得，两个函数的交点横坐标为$x=-2$和$x=1$，当$x＜-2$或$x＞1$时，二次函数图像在一次函数图像上方，即满足$ax^2+bx+c＞kx+m$。
【答案】
(1) $x=-1$
(2) 画出函数图象，如图所示
(3) $x$的取值范围为$x＜-2$或$x＞1$。
【知识点】
二次函数的对称性，函数图像的画法，函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考察数形结合思想，将二次函数性质、图像绘制、不等式求解结合起来，解题的关键是理解函数图像的位置关系和不等式解集的对应联系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数对称轴，可利用二次函数的对称性：若二次函数上两个点的纵坐标相等，则这两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标之和的一半。观察图像可得二次函数过$(-2,0)$和$(0,0)$，两点纵坐标均为0，代入计算即可得对称轴。
（2）画函数图像时，一次函数只需描出2个已知点，连接为直线即可；二次函数先描出给出的所有点，再按抛物线的走向用平滑曲线连接即可。
（3）不等式$ax^2+bx+c＞kx+m$的几何意义是二次函数$y_2$的图像位于一次函数$y_1$图像上方时对应的$x$的取值，先找到两个函数的交点横坐标，再观察图像位置即可得到解集。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数$y_2$过点$(-2,0)$和$(0,0)$，两点纵坐标相等，
$\therefore$ 二次函数图像的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
（2）先描出一次函数$y_1$的点$(-2,0)$、$(0,2)$，连接为直线；再描出二次函数$y_2$的点$(-3,3)$、$(-2,0)$、$(-1,-1)$、$(0,0)$、$(1,3)$，按抛物线形状平滑连接各点，即可得到两个函数的图像。
（3）观察图像可得，两个函数的交点横坐标为$x=-2$和$x=1$，当$x＜-2$或$x＞1$时，二次函数图像在一次函数图像上方，即满足$ax^2+bx+c＞kx+m$。
【答案】
(1) $x=-1$
(2) 画出函数图象，如图所示
(3) $x$的取值范围为$x＜-2$或$x＞1$。
【知识点】
二次函数的对称性，函数图像的画法，函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考察数形结合思想，将二次函数性质、图像绘制、不等式求解结合起来，解题的关键是理解函数图像的位置关系和不等式解集的对应联系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
10. 已知二次函数$y=-x^2+2x+3$.
(1) 分别求出该函数图象与$x$轴的交点坐标，与$y$轴的交点坐标，并在如图26.3-8所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象.
(2) 利用函数图象回答：
①当$y＞0$时，$x$的取值范围是
②当$-3≤ x≤3$时，$y$的取值范围是
③当关于$x$的方程$-x^2+2x+3=t$有实数根时，$t$的取值范围是
④若关于$x$的不等式$-x^2+2x+3＞n$无解，则$n$的取值范围是
(1) 分别求出该函数图象与$x$轴的交点坐标，与$y$轴的交点坐标，并在如图26.3-8所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象.
(2) 利用函数图象回答：
①当$y＞0$时，$x$的取值范围是
$-1＜x＜3$
；②当$-3≤ x≤3$时，$y$的取值范围是
$-12≤y≤4$
；③当关于$x$的方程$-x^2+2x+3=t$有实数根时，$t$的取值范围是
$t≤4$
；④若关于$x$的不等式$-x^2+2x+3＞n$无解，则$n$的取值范围是
$n≥4$
.答案
10. 解：(1) 当$y=0$时，$0=-x^2+2x+3$，
解方程，得$x_1=-1$或$x_2=3$。
∴函数图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
当$x=0$时，$y=3$。
∴函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$。
画出函数图象，如图所示
(2) ① $-1＜x＜3$ ② $-12≤y≤4$ ③ $t≤4$ ④ $n≥4$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数与坐标轴交点的求解方法：求与x轴交点时令y=0，解对应的一元二次方程即可得到交点的横坐标；求与y轴交点时令x=0，代入函数式得到纵坐标。画函数图像可先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接。第二问的问题均需结合二次函数图像的性质分析：该二次函数开口向下，顶点为最高点，函数最大值为顶点的纵坐标。①y＞0对应图像在x轴上方部分的x取值范围；②给定x的范围求y的范围，需分别计算区间端点和顶点处的函数值，比较得到最值；③方程有实数根等价于直线y=t与二次函数图像有交点，t的最大值为函数最大值；④不等式无解说明函数的最大值都小于等于n，即可得到n的范围。
【解析】
(1) 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入函数得$0=-x^2+2x+3$，
因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入得$y=-0^2+2×0+3=3$，
∴该函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
将函数配方得$y=-(x-1)^2+4$，得顶点坐标为$(1,4)$，结合上述三个交点，用平滑曲线连接即可画出函数图象，如图所示。
(2) ①观察函数图像，当图像在x轴上方时$y＞0$，对应x的取值范围是$-1＜x＜3$；
②函数顶点$(1,4)$在$-3≤x≤3$范围内，此处y取得最大值4；计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=-(-3)^2+2×(-3)+3=-12$；当$x=3$时，$y=0$，比较得最小值为-12，故y的取值范围是$-12≤y≤4$；
③方程$-x^2+2x+3=t$有实数根，等价于直线$y=t$与二次函数图象有交点，由于函数最大值为4，因此t的取值范围是$t≤4$；
④不等式$-x^2+2x+3＞n$无解，说明二次函数的最大值不大于n，函数最大值为4，因此n的取值范围是$n≥4$。
【答案】
(1) 与x轴交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点坐标为$(0,3)$，函数图象如图所示；
(2) ①$\boldsymbol{-1＜x＜3}$；②$\boldsymbol{-12≤y≤4}$；③$\boldsymbol{t≤4}$；④$\boldsymbol{n≥4}$
【知识点】
二次函数交点求解；二次函数图像与性质；二次函数与方程不等式的关系
【点评】
本题是二次函数章节的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数开口、顶点、交点等特征的求解方法，能够结合图像快速解决方程、不等式对应的取值范围问题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二次函数与坐标轴交点的求解方法：求与x轴交点时令y=0，解对应的一元二次方程即可得到交点的横坐标；求与y轴交点时令x=0，代入函数式得到纵坐标。画函数图像可先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接。第二问的问题均需结合二次函数图像的性质分析：该二次函数开口向下，顶点为最高点，函数最大值为顶点的纵坐标。①y＞0对应图像在x轴上方部分的x取值范围；②给定x的范围求y的范围，需分别计算区间端点和顶点处的函数值，比较得到最值；③方程有实数根等价于直线y=t与二次函数图像有交点，t的最大值为函数最大值；④不等式无解说明函数的最大值都小于等于n，即可得到n的范围。
【解析】
(1) 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入函数得$0=-x^2+2x+3$，
因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入得$y=-0^2+2×0+3=3$，
∴该函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
将函数配方得$y=-(x-1)^2+4$，得顶点坐标为$(1,4)$，结合上述三个交点，用平滑曲线连接即可画出函数图象，如图所示
。(2) ①观察函数图像，当图像在x轴上方时$y＞0$，对应x的取值范围是$-1＜x＜3$；
②函数顶点$(1,4)$在$-3≤x≤3$范围内，此处y取得最大值4；计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=-(-3)^2+2×(-3)+3=-12$；当$x=3$时，$y=0$，比较得最小值为-12，故y的取值范围是$-12≤y≤4$；
③方程$-x^2+2x+3=t$有实数根，等价于直线$y=t$与二次函数图象有交点，由于函数最大值为4，因此t的取值范围是$t≤4$；
④不等式$-x^2+2x+3＞n$无解，说明二次函数的最大值不大于n，函数最大值为4，因此n的取值范围是$n≥4$。
【答案】
(1) 与x轴交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点坐标为$(0,3)$，函数图象如图所示
；(2) ①$\boldsymbol{-1＜x＜3}$；②$\boldsymbol{-12≤y≤4}$；③$\boldsymbol{t≤4}$；④$\boldsymbol{n≥4}$
【知识点】
二次函数交点求解；二次函数图像与性质；二次函数与方程不等式的关系
【点评】
本题是二次函数章节的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数开口、顶点、交点等特征的求解方法，能够结合图像快速解决方程、不等式对应的取值范围问题。
【难度系数】
0.7
