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3. 若函数$y=kx^2 -6x +3$的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（
A.$k＜3$
B.$k＜3$且$k≠0$
C.$k≤3$
D.$k≤3$且$k≠0$
C
）.A.$k＜3$
B.$k＜3$且$k≠0$
C.$k≤3$
D.$k≤3$且$k≠0$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时需先明确函数类型，由于二次项系数k不确定，需分两种情况讨论：①k=0时，函数为一次函数，直接判断其与x轴是否有交点；②k≠0时，函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0，解不等式得到该情况下k的范围，最后合并两种情况的范围即可得到最终结果，注意不要遗漏k=0的特殊情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数解析式为$y=-6x+3$，属于一次函数，该直线与x轴有交点$(\frac{1}{2},0)$，符合题意；
2. 当$k≠0$时，函数$y=kx^2 -6x +3$是二次函数，若图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程$kx^2 -6x +3=0$有实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
其中$a=k$，$b=-6$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4× k× 3 = 36 -12k ≥ 0$
解得$k≤ 3$，结合$k≠0$，此时k的取值范围是$k≤3$且$k≠0$。
综合两种情况，k的取值范围是$k≤3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认函数为二次函数，忽略k=0的情况从而误选D，解题时遇到二次项系数含参数的函数问题，要先分类讨论函数类型，再结合对应性质求解，保证考虑问题的全面性。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确函数类型，由于二次项系数k不确定，需分两种情况讨论：①k=0时，函数为一次函数，直接判断其与x轴是否有交点；②k≠0时，函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0，解不等式得到该情况下k的范围，最后合并两种情况的范围即可得到最终结果，注意不要遗漏k=0的特殊情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数解析式为$y=-6x+3$，属于一次函数，该直线与x轴有交点$(\frac{1}{2},0)$，符合题意；
2. 当$k≠0$时，函数$y=kx^2 -6x +3$是二次函数，若图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程$kx^2 -6x +3=0$有实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
其中$a=k$，$b=-6$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4× k× 3 = 36 -12k ≥ 0$
解得$k≤ 3$，结合$k≠0$，此时k的取值范围是$k≤3$且$k≠0$。
综合两种情况，k的取值范围是$k≤3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认函数为二次函数，忽略k=0的情况从而误选D，解题时遇到二次项系数含参数的函数问题，要先分类讨论函数类型，再结合对应性质求解，保证考虑问题的全面性。
【难度系数】
0.7
4. 在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 如图26.3-2所示，则关于x的方程 $ ax^2 + bx + c = 4 $ 的根的情况为（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定有无实数根
图26.3-2
图26.3-3
图26.3-4
C
）.A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定有无实数根
图26.3-2
图26.3-3
图26.3-4
答案
4. C
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c=4$的根的情况，可利用二次函数与一元二次方程的关系：方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为4时对应的自变量$x$的值，也就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标。因此只需观察两个图象的交点个数即可判断根的情况：无对应交点则方程无实数根，有1个交点则方程有两个相等的实数根，有2个不同交点则方程有两个不相等的实数根，结合题中给出的抛物线图象就能得到结论。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=4$的根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=4$的交点的横坐标。根据题中给出的抛物线图象可知，抛物线与直线$y=4$有2个不同的交点，因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象
【点评】
本题考查二次函数图象和一元二次方程的关联，理解函数图象交点与方程解的对应关系是解题核心，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2+bx+c=4$的根的情况，可利用二次函数与一元二次方程的关系：方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为4时对应的自变量$x$的值，也就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标。因此只需观察两个图象的交点个数即可判断根的情况：无对应交点则方程无实数根，有1个交点则方程有两个相等的实数根，有2个不同交点则方程有两个不相等的实数根，结合题中给出的抛物线图象就能得到结论。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=4$的根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=4$的交点的横坐标。根据题中给出的抛物线图象可知，抛物线与直线$y=4$有2个不同的交点，因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象
【点评】
本题考查二次函数图象和一元二次方程的关联，理解函数图象交点与方程解的对应关系是解题核心，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
5. 函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图26.3-3所示，已知其对称轴为$x=2$，则当函数值大于0时，$x$的取值范围是（
A.$x＜-2$或$x＞6$
B.$x＞6$
C.$x＜-2$
D.$-2＜x＜6$
A
）。A.$x＜-2$或$x＞6$
B.$x＞6$
C.$x＜-2$
D.$-2＜x＜6$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的轴对称性特征，结合已知的对称轴和图像上一个与x轴的交点坐标，求出另一个与x轴的交点坐标；再根据二次函数的开口方向，判断出函数图像在x轴上方（即函数值大于0）对应的x的取值范围即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=2$，且二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，
从图像可知函数与x轴的一个交点为$(6,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，
根据对称轴的性质可得：$\frac{x+6}{2}=2$，解得$x=2×2-6=-2$，
即二次函数与x轴的两个交点为$(-2,0)$和$(6,0)$。
又由图像可知二次函数开口向上，此时函数值大于0对应图像在x轴上方的部分，
∴ 函数值大于0时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数图像性质的基础应用，解题核心是利用对称轴求出未知的x轴交点，再结合开口方向判断函数值符合要求的自变量范围，需要熟练掌握二次函数的轴对称特征。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次函数的轴对称性特征，结合已知的对称轴和图像上一个与x轴的交点坐标，求出另一个与x轴的交点坐标；再根据二次函数的开口方向，判断出函数图像在x轴上方（即函数值大于0）对应的x的取值范围即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=2$，且二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，
从图像可知函数与x轴的一个交点为$(6,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，
根据对称轴的性质可得：$\frac{x+6}{2}=2$，解得$x=2×2-6=-2$，
即二次函数与x轴的两个交点为$(-2,0)$和$(6,0)$。
又由图像可知二次函数开口向上，此时函数值大于0对应图像在x轴上方的部分，
∴ 函数值大于0时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数图像性质的基础应用，解题核心是利用对称轴求出未知的x轴交点，再结合开口方向判断函数值符合要求的自变量范围，需要熟练掌握二次函数的轴对称特征。
【难度系数】
0.7
6. 如图26.3-4，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=3$相交于点A(0，3)和点B，对称轴为$x=2$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的根为
$x_1=0, x_2=4$
。答案
6. $x_1=0, x_2=4$
解析
【分析】
求解一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的根，可先联系二次函数与一元二次方程的关系：方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量x的取值，也就是二次函数图象与直线$y=3$交点的横坐标。已知一个交点为A(0,3)，可得其中一个根为$x=0$；再利用二次函数的对称性，抛物线与平行于x轴的直线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，结合对称轴$x=2$即可求出另一个交点的横坐标，即方程的另一个根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=3$交点的横坐标。
已知二次函数图象与直线$y=3$的一个交点为$A(0,3)$，因此$x_1=0$是方程的一个根。
由于二次函数图象的对称轴为$x=2$，且抛物线与直线$y=3$的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据中点公式可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=2$
将$x_1=0$代入上式，解得$x_2=4$。
因此关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的根为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0, x_2=4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题解题核心是建立一元二次方程的根与二次函数图象交点横坐标的对应关系，结合二次函数的对称性即可快速得出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
求解一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的根，可先联系二次函数与一元二次方程的关系：方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量x的取值，也就是二次函数图象与直线$y=3$交点的横坐标。已知一个交点为A(0,3)，可得其中一个根为$x=0$；再利用二次函数的对称性，抛物线与平行于x轴的直线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，结合对称轴$x=2$即可求出另一个交点的横坐标，即方程的另一个根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=3$交点的横坐标。
已知二次函数图象与直线$y=3$的一个交点为$A(0,3)$，因此$x_1=0$是方程的一个根。
由于二次函数图象的对称轴为$x=2$，且抛物线与直线$y=3$的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据中点公式可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=2$
将$x_1=0$代入上式，解得$x_2=4$。
因此关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的根为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0, x_2=4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题解题核心是建立一元二次方程的根与二次函数图象交点横坐标的对应关系，结合二次函数的对称性即可快速得出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图
所示，若$y≥0$，则$x$的取值范围是
所示，若$y≥0$，则$x$的取值范围是$-1≤x≤3$
。答案
7. $-1≤x≤3$
解析
【分析】
要确定y≥0时x的取值范围，首先需要找到抛物线与x轴的两个交点坐标，y≥0对应抛物线图像在x轴及上方部分的x取值。观察图像可得：抛物线对称轴为直线x=1，已知一个与x轴的交点是(-1,0)，结合抛物线的轴对称性，即可求出另一个与x轴的交点坐标，再结合抛物线开口向下的性质，就能确定x的取值范围。
【解析】
解：由函数图像可知：
1. 抛物线的对称轴为直线$x=1$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$；
2. 根据抛物线的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则两点到对称轴的距离相等，即：
$1 - (-1) = x - 1$
解得$x=3$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(3,0)$；
3. 由于抛物线开口向下，因此当函数值$y≥0$时，对应图像位于x轴及上方的部分，此时x的取值范围是两个交点之间的数值，即$-1≤x≤3$。
【答案】
$-1≤x≤3$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数图像性质；二次函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题的关键是利用抛物线的对称性求出未知的x轴交点坐标，再结合图像直接判断自变量的取值范围，属于二次函数的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
要确定y≥0时x的取值范围，首先需要找到抛物线与x轴的两个交点坐标，y≥0对应抛物线图像在x轴及上方部分的x取值。观察图像可得：抛物线对称轴为直线x=1，已知一个与x轴的交点是(-1,0)，结合抛物线的轴对称性，即可求出另一个与x轴的交点坐标，再结合抛物线开口向下的性质，就能确定x的取值范围。
【解析】
解：由函数图像可知：
1. 抛物线的对称轴为直线$x=1$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$；
2. 根据抛物线的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则两点到对称轴的距离相等，即：
$1 - (-1) = x - 1$
解得$x=3$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(3,0)$；
3. 由于抛物线开口向下，因此当函数值$y≥0$时，对应图像位于x轴及上方的部分，此时x的取值范围是两个交点之间的数值，即$-1≤x≤3$。
【答案】
$-1≤x≤3$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数图像性质；二次函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题的关键是利用抛物线的对称性求出未知的x轴交点坐标，再结合图像直接判断自变量的取值范围，属于二次函数的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
8. 小明为探索方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)$的根，作出如图26.3-6所示的图象，并求得一个近似根$x≈-3.4$，则方程的另一个近似根为（
A.2.4
B.2.6
C.1.4
D.1.6
C
）.A.2.4
B.2.6
C.1.4
D.1.6
答案
8. C
解析
【分析】
要解决本题，我们可以按照以下思路思考：首先，明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；其次，二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，因此它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴对应的横坐标；最后，从图象中可得到抛物线的对称轴为直线$x=-1$，结合已知的一个近似根，利用对称性即可计算出另一个近似根。
【解析】
解：
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与x轴交点的横坐标，且抛物线关于对称轴对称，
∴抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个根的平均数等于对称轴的横坐标。
由图象可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，设方程的另一个近似根为$x$，已知一个近似根为$x≈-3.4$，根据对称性可得：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
解得：$x = -1×2 + 3.4 = 1.4$
因此方程的另一个近似根为1.4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是掌握二次函数图象与对应一元二次方程根的联系，结合抛物线的对称性快速求解，无需代入计算，简化了解题过程。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们可以按照以下思路思考：首先，明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；其次，二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，因此它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴对应的横坐标；最后，从图象中可得到抛物线的对称轴为直线$x=-1$，结合已知的一个近似根，利用对称性即可计算出另一个近似根。
【解析】
解：
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与x轴交点的横坐标，且抛物线关于对称轴对称，
∴抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个根的平均数等于对称轴的横坐标。
由图象可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，设方程的另一个近似根为$x$，已知一个近似根为$x≈-3.4$，根据对称性可得：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
解得：$x = -1×2 + 3.4 = 1.4$
因此方程的另一个近似根为1.4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是掌握二次函数图象与对应一元二次方程根的联系，结合抛物线的对称性快速求解，无需代入计算，简化了解题过程。
【难度系数】
0.6
