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1.下列函数中，$y$是$x$的反比例函数的有 （
①$xy=3$；②$y=\frac{2}{x}$；③$y=\frac{1}{x^2}$；④$y=\frac{2}{x+1}$；⑤$y=2x^{-1}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$xy=3$；②$y=\frac{2}{x}$；③$y=\frac{1}{x^2}$；④$y=\frac{2}{x+1}$；⑤$y=2x^{-1}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个函数是不是反比例函数，首先要明确反比例函数的三种核心形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）；②$xy=k$（$k$为常数，且$k\ne0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k\ne0$），同时要注意自变量$x$的次数为$-1$，且分母仅含$x$本身。我们对照定义逐个分析给出的5个函数即可得到答案。
【解析】
根据反比例函数的定义逐一判断：
①$xy=3$可变形为$y=\frac{3}{x}$，符合$xy=k$（$k=3\ne0$）的形式，是反比例函数；
②$y=\frac{2}{x}$直接符合$y=\frac{k}{x}$（$k=2\ne0$）的形式，是反比例函数；
③$y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数是$-2$，不符合反比例函数中$x$次数为$-1$的要求，不是反比例函数；
④$y=\frac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，不是自变量$x$本身，属于关于$x+1$的反比例函数，不是$x$的反比例函数；
⑤$y=2x^{-1}$可变形为$y=\frac{2}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=2\ne0$）的形式，是反比例函数。
综上，①②⑤是反比例函数，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的识别，解题的关键是熟练掌握反比例函数的三种表达形式，做题时要注意区分自变量的次数和形式，避免误判。
【难度系数】
0.7
要判断一个函数是不是反比例函数，首先要明确反比例函数的三种核心形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）；②$xy=k$（$k$为常数，且$k\ne0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k\ne0$），同时要注意自变量$x$的次数为$-1$，且分母仅含$x$本身。我们对照定义逐个分析给出的5个函数即可得到答案。
【解析】
根据反比例函数的定义逐一判断：
①$xy=3$可变形为$y=\frac{3}{x}$，符合$xy=k$（$k=3\ne0$）的形式，是反比例函数；
②$y=\frac{2}{x}$直接符合$y=\frac{k}{x}$（$k=2\ne0$）的形式，是反比例函数；
③$y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数是$-2$，不符合反比例函数中$x$次数为$-1$的要求，不是反比例函数；
④$y=\frac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，不是自变量$x$本身，属于关于$x+1$的反比例函数，不是$x$的反比例函数；
⑤$y=2x^{-1}$可变形为$y=\frac{2}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=2\ne0$）的形式，是反比例函数。
综上，①②⑤是反比例函数，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的识别，解题的关键是熟练掌握反比例函数的三种表达形式，做题时要注意区分自变量的次数和形式，避免误判。
【难度系数】
0.7
2.电压为定值，电流$ I(\mathrm{A}) $与电阻$ R(\Omega) $成反比例，其函数图象如图所示，则电流$ I $与电阻$ R $之间的函数关系式为（
A.$ I=\dfrac{48}{R} $
B.$ I=\dfrac{6}{R} $
C.$ I=\dfrac{8}{R} $
D.$ I=\dfrac{14}{R} $
A
）A.$ I=\dfrac{48}{R} $
B.$ I=\dfrac{6}{R} $
C.$ I=\dfrac{8}{R} $
D.$ I=\dfrac{14}{R} $
答案
2.A
解析
【分析】
首先根据题意，电流I与电阻R成反比例，因此可设反比例函数的一般形式为$I=\frac{k}{R}$（k为常数，$k≠0$，$R＞0$）。要求函数关系式，只需要求出常数k的值即可，已知函数图象经过点$(6,8)$，将该点的坐标代入所设的函数式，就能算出k的值，进而得到完整的函数关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
解：因为电压为定值时，电流$I$与电阻$R$成反比例，所以设$I$与$R$的函数关系式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。
由函数图象可知，该函数过点$(6,8)$，将$R=6$，$I=8$代入解析式得：
$8=\frac{k}{6}$
解得$k=6×8=48$
因此电流$I$与电阻$R$之间的函数关系式为$I=\frac{48}{R}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的跨学科简单应用，解题核心是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的步骤，结合图象上已知点的坐标代入计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
首先根据题意，电流I与电阻R成反比例，因此可设反比例函数的一般形式为$I=\frac{k}{R}$（k为常数，$k≠0$，$R＞0$）。要求函数关系式，只需要求出常数k的值即可，已知函数图象经过点$(6,8)$，将该点的坐标代入所设的函数式，就能算出k的值，进而得到完整的函数关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
解：因为电压为定值时，电流$I$与电阻$R$成反比例，所以设$I$与$R$的函数关系式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。
由函数图象可知，该函数过点$(6,8)$，将$R=6$，$I=8$代入解析式得：
$8=\frac{k}{6}$
解得$k=6×8=48$
因此电流$I$与电阻$R$之间的函数关系式为$I=\frac{48}{R}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的跨学科简单应用，解题核心是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的步骤，结合图象上已知点的坐标代入计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
3.对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，下列结论错误的是（
A.图象位于第二、四象限
B.y随x的增大而增大
C.图象关于原点对称
D.点$(-1,3)$在这个函数图象上
B
）A.图象位于第二、四象限
B.y随x的增大而增大
C.图象关于原点对称
D.点$(-1,3)$在这个函数图象上
答案
3.B
解析
【分析】
要判断反比例函数相关结论的正误，首先需明确反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质与判断方法：先确定比例系数$k$的正负，再依次判断图象所在象限、增减性、对称性，验证点是否在图象上只需将点坐标代入函数解析式看等式是否成立。本题要求选出错误结论，逐一排查选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，比例系数$k=-3＜0$：
选项A：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、四象限，该结论正确，不符合题意；
选项B：反比例函数的增减性需强调“在每个象限内”，若跨象限比较则不成立，如$x=-1$时$y=3$，$x=1$时$y=-3$，$x$增大但$y$减小，因此“$y$随$x$的增大而增大”的说法错误，符合题意；
选项C：反比例函数的图象是关于原点中心对称的双曲线，该结论正确，不符合题意；
选项D：将$x=-1$代入解析式得$y=-\dfrac{3}{-1}=3$，因此点$(-1,3)$在该函数图象上，该结论正确，不符合题意。
综上，错误的结论是B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查反比例函数的核心性质，易错点是忽略反比例函数增减性的前提是“在同一象限内”，熟练掌握基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要判断反比例函数相关结论的正误，首先需明确反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质与判断方法：先确定比例系数$k$的正负，再依次判断图象所在象限、增减性、对称性，验证点是否在图象上只需将点坐标代入函数解析式看等式是否成立。本题要求选出错误结论，逐一排查选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，比例系数$k=-3＜0$：
选项A：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、四象限，该结论正确，不符合题意；
选项B：反比例函数的增减性需强调“在每个象限内”，若跨象限比较则不成立，如$x=-1$时$y=3$，$x=1$时$y=-3$，$x$增大但$y$减小，因此“$y$随$x$的增大而增大”的说法错误，符合题意；
选项C：反比例函数的图象是关于原点中心对称的双曲线，该结论正确，不符合题意；
选项D：将$x=-1$代入解析式得$y=-\dfrac{3}{-1}=3$，因此点$(-1,3)$在该函数图象上，该结论正确，不符合题意。
综上，错误的结论是B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查反比例函数的核心性质，易错点是忽略反比例函数增减性的前提是“在同一象限内”，熟练掌握基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4.若点$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{a^2+2}{x}$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要确定反比例函数比例系数的符号，由此判断函数图象所在象限及增减性：①先看比例系数$a^2+2$，因为平方数非负，所以$a^2+2$恒为正，函数图象位于第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小；②再判断三个点所在的象限：横坐标为负的点在第三象限，对应函数值为负，横坐标为正的点在第一象限，对应函数值为正，因此第三象限的点的函数值一定小于第一象限的；③最后比较第一象限内两个点的函数值，根据增减性，横坐标越大，对应的函数值越小，即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+2≥2＞0$，
$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{a^2+2}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 点$A(-2,y_1)$的横坐标$-2＜0$，
$\therefore$ 点$A$在第三象限，$\therefore y_1＜0$；
$\because$ 点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标$1＞0$，$3＞0$，
$\therefore$ 点$B$、$C$都在第一象限，$\therefore y_2＞0$，$y_3＞0$。
又$\because$ 在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$1＜3$，
$\therefore y_2＞y_3$，
综上可得：$y_1＜y_3＜y_2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题的核心是先明确比例系数的符号，再结合点所在象限和函数增减性比较函数值，注意反比例函数的增减性要限定在同一象限内使用，避免直接跨象限比较出错。
【难度系数】
0.75
解题时首先要确定反比例函数比例系数的符号，由此判断函数图象所在象限及增减性：①先看比例系数$a^2+2$，因为平方数非负，所以$a^2+2$恒为正，函数图象位于第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小；②再判断三个点所在的象限：横坐标为负的点在第三象限，对应函数值为负，横坐标为正的点在第一象限，对应函数值为正，因此第三象限的点的函数值一定小于第一象限的；③最后比较第一象限内两个点的函数值，根据增减性，横坐标越大，对应的函数值越小，即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+2≥2＞0$，
$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{a^2+2}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 点$A(-2,y_1)$的横坐标$-2＜0$，
$\therefore$ 点$A$在第三象限，$\therefore y_1＜0$；
$\because$ 点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标$1＞0$，$3＞0$，
$\therefore$ 点$B$、$C$都在第一象限，$\therefore y_2＞0$，$y_3＞0$。
又$\because$ 在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$1＜3$，
$\therefore y_2＞y_3$，
综上可得：$y_1＜y_3＜y_2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题的核心是先明确比例系数的符号，再结合点所在象限和函数增减性比较函数值，注意反比例函数的增减性要限定在同一象限内使用，避免直接跨象限比较出错。
【难度系数】
0.75
5.若$ab＞0$,则一次函数$y=ax+2$与反比例函数$y=\dfrac{2b}{x}$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
D
）答案
5.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件$ab＞0$得出a和b同号，再先分析一次函数$y=ax+2$的固定特征：常数项为2，所以它与y轴的交点一定在y轴正半轴，据此先排除不符合的选项；再分a、b同为正、同为负两种情况，分别判断一次函数的斜率走向、反比例函数所在的象限，和剩余选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 先判断一次函数的y轴交点：对于一次函数$y=ax+2$，当$x=0$时，$y=2$，因此该函数图象与y轴交于点$(0,2)$，即y轴正半轴。观察选项A、B，其中一次函数图象与y轴交于负半轴，不符合特征，直接排除A、B。
2. 由$ab＞0$可知a、b符号相同，分两种情况讨论：
情况1：若$a＞0$，则$b＞0$：
一次函数$y=ax+2$中$a＞0$，图象斜率为正，经过一、二、三象限；
反比例函数$y=\dfrac{2b}{x}$中$2b＞0$，图象分布在第一、三象限，观察选项C，其反比例函数在第二、四象限，不符合，排除C。
情况2：若$a＜0$，则$b＜0$：
一次函数$y=ax+2$中$a＜0$，图象斜率为负，经过一、二、四象限；
反比例函数$y=\dfrac{2b}{x}$中$2b＜0$，图象分布在第二、四象限，和选项D的图象特征完全一致。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.反比例函数的图象与性质
3.有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于函数图象的常规判断类题目，解题核心是抓住函数解析式的固定特征快速排除错误选项，再结合参数的符号分类讨论剩余选项，既考查了对两类基本函数性质的掌握，也考查了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$ab＞0$得出a和b同号，再先分析一次函数$y=ax+2$的固定特征：常数项为2，所以它与y轴的交点一定在y轴正半轴，据此先排除不符合的选项；再分a、b同为正、同为负两种情况，分别判断一次函数的斜率走向、反比例函数所在的象限，和剩余选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 先判断一次函数的y轴交点：对于一次函数$y=ax+2$，当$x=0$时，$y=2$，因此该函数图象与y轴交于点$(0,2)$，即y轴正半轴。观察选项A、B，其中一次函数图象与y轴交于负半轴，不符合特征，直接排除A、B。
2. 由$ab＞0$可知a、b符号相同，分两种情况讨论：
情况1：若$a＞0$，则$b＞0$：
一次函数$y=ax+2$中$a＞0$，图象斜率为正，经过一、二、三象限；
反比例函数$y=\dfrac{2b}{x}$中$2b＞0$，图象分布在第一、三象限，观察选项C，其反比例函数在第二、四象限，不符合，排除C。
情况2：若$a＜0$，则$b＜0$：
一次函数$y=ax+2$中$a＜0$，图象斜率为负，经过一、二、四象限；
反比例函数$y=\dfrac{2b}{x}$中$2b＜0$，图象分布在第二、四象限，和选项D的图象特征完全一致。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.反比例函数的图象与性质
3.有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于函数图象的常规判断类题目，解题核心是抓住函数解析式的固定特征快速排除错误选项，再结合参数的符号分类讨论剩余选项，既考查了对两类基本函数性质的掌握，也考查了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
6.如图，正比例函数$y=kx$的图象与反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象相交于A，C两点，点A的横坐标为$-4$，过点A作$AB⊥ x$轴于点B，连接BC，有下列结论：①$k=-\dfrac{1}{2}$；②不等式$kx＜-\dfrac{8}{x}$的解集为$-4＜x＜0$或$x＞4$；③$△ ABC$的面积等于16，其中正确的结论有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先根据点A的横坐标，代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再代入正比例函数求k，验证结论①；第二步利用正比例函数和反比例函数的中心对称性，得到点C的坐标，结合函数图象判断正比例函数值小于反比例函数值的x范围，验证结论②；第三步将△ABC拆分为两个同底的三角形，分别计算面积求和，验证结论③，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 求点A坐标，验证结论①：
已知点A在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$上，横坐标为$-4$，代入得$y=-\dfrac{8}{-4}=2$，即$A(-4,2)$。
将$A(-4,2)$代入$y=kx$，得$2=-4k$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，故①正确。
2. 求点C坐标，验证结论②：
正比例函数和反比例函数图象均关于原点中心对称，因此交点A、C关于原点对称，可得$C(4,-2)$。
不等式$kx＜-\dfrac{8}{x}$即正比例函数图象在反比例函数图象下方的x范围，观察图象可得：当$-4＜x＜0$或$x＞4$时满足条件，故②正确。
3. 计算△ABC面积，验证结论③：
$\because AB⊥ x$轴，$\therefore B(-4,0)$，$OB=4$，$AB=2$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ CBO}=\dfrac{1}{2}× OB× AB+\dfrac{1}{2}× OB×|y_C|=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×4×2=8≠16$，故③错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、反比例函数的性质、函数图象解不等式
【点评】
本题综合考察正反比例函数的性质、中心对称性的应用、结合图象解不等式及三角形面积计算，需要逐一验证每个结论，易错点是不等式解集的区间判断和三角形面积的拆分计算。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先根据点A的横坐标，代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再代入正比例函数求k，验证结论①；第二步利用正比例函数和反比例函数的中心对称性，得到点C的坐标，结合函数图象判断正比例函数值小于反比例函数值的x范围，验证结论②；第三步将△ABC拆分为两个同底的三角形，分别计算面积求和，验证结论③，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 求点A坐标，验证结论①：
已知点A在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$上，横坐标为$-4$，代入得$y=-\dfrac{8}{-4}=2$，即$A(-4,2)$。
将$A(-4,2)$代入$y=kx$，得$2=-4k$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，故①正确。
2. 求点C坐标，验证结论②：
正比例函数和反比例函数图象均关于原点中心对称，因此交点A、C关于原点对称，可得$C(4,-2)$。
不等式$kx＜-\dfrac{8}{x}$即正比例函数图象在反比例函数图象下方的x范围，观察图象可得：当$-4＜x＜0$或$x＞4$时满足条件，故②正确。
3. 计算△ABC面积，验证结论③：
$\because AB⊥ x$轴，$\therefore B(-4,0)$，$OB=4$，$AB=2$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ CBO}=\dfrac{1}{2}× OB× AB+\dfrac{1}{2}× OB×|y_C|=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×4×2=8≠16$，故③错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、反比例函数的性质、函数图象解不等式
【点评】
本题综合考察正反比例函数的性质、中心对称性的应用、结合图象解不等式及三角形面积计算，需要逐一验证每个结论，易错点是不等式解集的区间判断和三角形面积的拆分计算。
【难度系数】
0.65
