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二、填空题
7.已知点$(2,3),(4,m)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则$m=$
7.已知点$(2,3),(4,m)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则$m=$
$\frac{3}{2}$
。答案
7.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确反比例函数图象上的任意一点的坐标都满足其函数解析式$y=\frac{k}{x}$。解题分为两步：第一步先将横纵坐标都已知的点$(2,3)$代入解析式，求出待定系数$k$的值，确定反比例函数的完整解析式；第二步将点$(4,m)$代入已求出的解析式，计算即可得到$m$的值。
【解析】
∵点$(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=2$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$
又
∵点$(4,m)$在该反比例函数的图象上
∴将$x=4$，$y=m$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$m=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题，核心考查对反比例函数图象与解析式对应关系的理解，只要掌握待定系数法求函数解析式的方法即可顺利求解，计算量小。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确反比例函数图象上的任意一点的坐标都满足其函数解析式$y=\frac{k}{x}$。解题分为两步：第一步先将横纵坐标都已知的点$(2,3)$代入解析式，求出待定系数$k$的值，确定反比例函数的完整解析式；第二步将点$(4,m)$代入已求出的解析式，计算即可得到$m$的值。
【解析】
∵点$(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=2$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$
又
∵点$(4,m)$在该反比例函数的图象上
∴将$x=4$，$y=m$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$m=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题，核心考查对反比例函数图象与解析式对应关系的理解，只要掌握待定系数法求函数解析式的方法即可顺利求解，计算量小。
【难度系数】
0.9
8.已知反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，当$1＜x＜2$时，$y$的取值范围是
$-4＜y＜-2$
。答案
8.$-4＜y＜-2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆反比例函数的性质：先根据反比例函数的k值判断函数的增减性，再结合给定x的取值范围确定对应图象所在的象限，代入区间端点的x值求出对应y值，最后结合增减性推导y的取值范围。本题中k=-4＜0，且x的范围1＜x＜2均为正数，对应图象在第四象限，函数在该象限内y随x增大而增大，代入端点值后结合增减性即可得到结果。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$，
∴ 该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 给定$1＜x＜2$，即x为正数，对应图象在第四象限，此时y为负数。
当$x=1$时，$y=-\dfrac{4}{1}=-4$；
当$x=2$时，$y=-\dfrac{4}{2}=-2$。
∵ 第四象限内y随x的增大而增大，且x取不到1和2，
∴ y的取值范围是$-4＜y＜-2$。
【答案】
$-4＜y＜-2$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题目，解题核心是明确k值与反比例函数增减性的对应关系，求解时要注意结合自变量所在象限判断函数值符号，避免混淆增减性出现范围写反的错误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆反比例函数的性质：先根据反比例函数的k值判断函数的增减性，再结合给定x的取值范围确定对应图象所在的象限，代入区间端点的x值求出对应y值，最后结合增减性推导y的取值范围。本题中k=-4＜0，且x的范围1＜x＜2均为正数，对应图象在第四象限，函数在该象限内y随x增大而增大，代入端点值后结合增减性即可得到结果。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$，
∴ 该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 给定$1＜x＜2$，即x为正数，对应图象在第四象限，此时y为负数。
当$x=1$时，$y=-\dfrac{4}{1}=-4$；
当$x=2$时，$y=-\dfrac{4}{2}=-2$。
∵ 第四象限内y随x的增大而增大，且x取不到1和2，
∴ y的取值范围是$-4＜y＜-2$。
【答案】
$-4＜y＜-2$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题目，解题核心是明确k值与反比例函数增减性的对应关系，求解时要注意结合自变量所在象限判断函数值符号，避免混淆增减性出现范围写反的错误。
【难度系数】
0.8
9.如图,这是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象,则k的值可以是
1(答案不唯一，满足$0＜k＜9$即可)
.(写出一个即可)答案
9.1(答案不唯一,满足$0＜k＜9$即可)
解析
【分析】
要确定k的取值，首先回忆反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限时，$k＞0$。再结合点$P(3,3)$在图象上方的位置关系，可知当$x=3$时，反比例函数的函数值小于3，代入解析式得到关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围，任取范围内的一个值即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象在第一象限，
∴ $k＞0$，
由图可知点$P(3,3)$在反比例函数图象的上方，即当$x=3$时，反比例函数对应的函数值$y＜3$，
将$x=3$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{3}$，
∴ $\frac{k}{3}＜3$，解得$k＜9$，
综上可得$0＜k＜9$，因此k可以取1（答案不唯一，满足$0＜k＜9$即可）。
【答案】
1(答案不唯一，满足$0＜k＜9$即可)
【知识点】
反比例函数的性质，点与函数图象的位置关系，解一元一次不等式
【点评】
本题主要考查反比例函数的图象与性质，结合点的位置判断函数值的大小关系是解题的突破口，题目难度不大，答案具有开放性，只要符合取值范围都正确。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值，首先回忆反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限时，$k＞0$。再结合点$P(3,3)$在图象上方的位置关系，可知当$x=3$时，反比例函数的函数值小于3，代入解析式得到关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围，任取范围内的一个值即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象在第一象限，
∴ $k＞0$，
由图可知点$P(3,3)$在反比例函数图象的上方，即当$x=3$时，反比例函数对应的函数值$y＜3$，
将$x=3$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{3}$，
∴ $\frac{k}{3}＜3$，解得$k＜9$，
综上可得$0＜k＜9$，因此k可以取1（答案不唯一，满足$0＜k＜9$即可）。
【答案】
1(答案不唯一，满足$0＜k＜9$即可)
【知识点】
反比例函数的性质，点与函数图象的位置关系，解一元一次不等式
【点评】
本题主要考查反比例函数的图象与性质，结合点的位置判断函数值的大小关系是解题的突破口，题目难度不大，答案具有开放性，只要符合取值范围都正确。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10.如图，一次函数$y=k_1x+b(k_1≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的图象交于点$A(2,3)$，$B(n,-1)$。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出不等式$k_1x+b≥\frac{k_2}{x}$的解集。
10.如图，一次函数$y=k_1x+b(k_1≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的图象交于点$A(2,3)$，$B(n,-1)$。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出不等式$k_1x+b≥\frac{k_2}{x}$的解集。
答案
10.解：(1)反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$，
一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$.
(2)由题图可知,不等式的解集为$-6≤ x＜0$或$x≥2$.
一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$.
(2)由题图可知,不等式的解集为$-6≤ x＜0$或$x≥2$.
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式使用待定系数法即可：先将已知点A代入反比例函数表达式求出$k_2$，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数求出$n$，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数解析式。
(2) 不等式$k_1x+b≥\frac{k_2}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）对应的$x$的取值范围，结合两个交点的横坐标，注意反比例函数$x≠0$的限制，分段观察图象即可得到解集。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
将$A(2,3)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$3=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=6$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
②求点B坐标：
将$B(n,-1)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$-1=\frac{6}{n}$，解得$n=-6$，即$B(-6,-1)$。
③求一次函数解析式：
将$A(2,3)$、$B(-6,-1)$代入$y=k_1x+b$，得到方程组：
$\begin{cases}2k_1+b=3\\-6k_1+b=-1\end{cases}$
两式相减得$8k_1=4$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，将$k_1=\frac{1}{2}$代入$2k_1+b=3$，解得$b=2$，
因此一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2) 结合图象分析，一次函数图象不低于反比例函数图象时，$x$的范围为$-6≤x＜0$或$x≥2$，即不等式的解集为$-6≤x＜0$或$x≥2$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$，一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$；
(2) $-6≤ x＜0$或$x≥2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合解不等式
【点评】
本题是函数综合基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的基本技能，以及利用数形结合思想解决函数不等式问题的能力，熟练掌握两类函数的图象性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数解析式使用待定系数法即可：先将已知点A代入反比例函数表达式求出$k_2$，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数求出$n$，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数解析式。
(2) 不等式$k_1x+b≥\frac{k_2}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）对应的$x$的取值范围，结合两个交点的横坐标，注意反比例函数$x≠0$的限制，分段观察图象即可得到解集。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
将$A(2,3)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$3=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=6$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
②求点B坐标：
将$B(n,-1)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$-1=\frac{6}{n}$，解得$n=-6$，即$B(-6,-1)$。
③求一次函数解析式：
将$A(2,3)$、$B(-6,-1)$代入$y=k_1x+b$，得到方程组：
$\begin{cases}2k_1+b=3\\-6k_1+b=-1\end{cases}$
两式相减得$8k_1=4$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，将$k_1=\frac{1}{2}$代入$2k_1+b=3$，解得$b=2$，
因此一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2) 结合图象分析，一次函数图象不低于反比例函数图象时，$x$的范围为$-6≤x＜0$或$x≥2$，即不等式的解集为$-6≤x＜0$或$x≥2$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$，一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$；
(2) $-6≤ x＜0$或$x≥2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合解不等式
【点评】
本题是函数综合基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的基本技能，以及利用数形结合思想解决函数不等式问题的能力，熟练掌握两类函数的图象性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
11.心理学研究发现，一般情况下，在一节40 min的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(单位:min)的变化规律如图所示，点B的坐标为(10,40)，点C的坐标为(24,40)，曲线CD为反比例函数图象的一部分.
(1)求曲线CD对应的函数解析式.
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，需要讲解23 min，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，吴老师的安排是否合理？请说明理由.
(1)求曲线CD对应的函数解析式.
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，需要讲解23 min，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，吴老师的安排是否合理？请说明理由.
答案
11.解：(1)$y_{曲线CD}=\frac{960}{x}(x≥24)$.
(2)吴老师的安排不合理.理由略.
(2)吴老师的安排不合理.理由略.
解析
【分析】
（1）曲线CD是反比例函数图象的一部分，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将点C的坐标代入即可求出k值，再标注自变量x的取值范围即可得到CD段的函数解析式。
（2）要判断吴老师的安排是否合理，先求出AB段的一次函数解析式，再分别在AB段、CD段求出注意力指标数为38时对应的x值，两个x值的差就是注意力不低于38的最长持续时间，将该时长和23min比较即可得到结论。
【解析】
(1) 设曲线CD对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(24,40)$代入解析式得：$40=\frac{k}{24}$，
解得$k=24×40=960$，
因此曲线CD对应的函数解析式为$y=\frac{960}{x}(x≥24)$。
(2) 先求AB段的一次函数解析式：设AB段解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
由图象可知AB过点$A(0,20)$和$B(10,40)$，
把$A(0,20)$代入得$b=20$，
再把$B(10,40)$、$b=20$代入得$40=10a+20$，解得$a=2$，
即AB段解析式为$y=2x+20(0≤ x≤10)$。
①在AB段，令$y=38$，得$38=2x+20$，解得$x=9$；
②BC段$10≤ x≤24$时，$y=40≥38$，满足要求；
③在CD段，令$y=38$，得$38=\frac{960}{x}$，解得$x=\frac{960}{38}\approx25.26$。
因此学生注意力指标数不低于38的最长持续时间为$25.26-9=16.26\ \mathrm{min}$，
因为$16.26＜23$，所以吴老师的安排不合理。
【答案】
(1)$y=\frac{960}{x}(x≥24)$
(2)吴老师的安排不合理
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数解析式求解，函数实际应用
【点评】
本题结合实际情境考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题核心是准确求出不同阶段的函数解析式，结合函数值对应的自变量范围解决实际问题，能较好地考查学生利用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）曲线CD是反比例函数图象的一部分，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将点C的坐标代入即可求出k值，再标注自变量x的取值范围即可得到CD段的函数解析式。
（2）要判断吴老师的安排是否合理，先求出AB段的一次函数解析式，再分别在AB段、CD段求出注意力指标数为38时对应的x值，两个x值的差就是注意力不低于38的最长持续时间，将该时长和23min比较即可得到结论。
【解析】
(1) 设曲线CD对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(24,40)$代入解析式得：$40=\frac{k}{24}$，
解得$k=24×40=960$，
因此曲线CD对应的函数解析式为$y=\frac{960}{x}(x≥24)$。
(2) 先求AB段的一次函数解析式：设AB段解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
由图象可知AB过点$A(0,20)$和$B(10,40)$，
把$A(0,20)$代入得$b=20$，
再把$B(10,40)$、$b=20$代入得$40=10a+20$，解得$a=2$，
即AB段解析式为$y=2x+20(0≤ x≤10)$。
①在AB段，令$y=38$，得$38=2x+20$，解得$x=9$；
②BC段$10≤ x≤24$时，$y=40≥38$，满足要求；
③在CD段，令$y=38$，得$38=\frac{960}{x}$，解得$x=\frac{960}{38}\approx25.26$。
因此学生注意力指标数不低于38的最长持续时间为$25.26-9=16.26\ \mathrm{min}$，
因为$16.26＜23$，所以吴老师的安排不合理。
【答案】
(1)$y=\frac{960}{x}(x≥24)$
(2)吴老师的安排不合理
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数解析式求解，函数实际应用
【点评】
本题结合实际情境考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题核心是准确求出不同阶段的函数解析式，结合函数值对应的自变量范围解决实际问题，能较好地考查学生利用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
