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12.如图,在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上有点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$,其横坐标依次为2,4,6,8,10,分别过这些点作x轴、y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1,S_2,S_3,S_4$,已知点$P_1$的纵坐标为10.
(1)k的值为
(2)阴影部分的面积$S_1,S_2,S_3,S_4$的和为
(1)k的值为
20
;(2)阴影部分的面积$S_1,S_2,S_3,S_4$的和为
16
.答案
12.(1)20 (2)16
解析
【分析】
(1) 求k的值：已知点$P_1$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且给出了$P_1$的横、纵坐标，根据反比例函数解析式的变形$k=xy$，直接代入$P_1$的坐标即可求出$k$。
(2) 求阴影面积和：首先观察阴影矩形的特征，每个矩形的水平宽度都为2（相邻点横坐标的差为2）。可以用两种思路解题：① 先求出$P_2$到$P_5$的纵坐标，分别计算$S_1$到$S_4$的面积再相加；② 利用平移法，将$S_2$、$S_3$、$S_4$全部向左平移到$x=0$到$x=2$的区间内，所有阴影会拼成一个宽为2的大矩形，该矩形的高为$P_1$的纵坐标减去$P_5$的纵坐标，计算该矩形面积即可得到阴影总面积，这种方法更简便。
【解析】
(1) 由题意可知，点$P_1$的坐标为$(2,10)$，将其代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，可得：
$k = xy = 2×10 = 20$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{20}{x}$。
先求$P_5$的纵坐标：当$x=10$时，$y=\frac{20}{10}=2$。
将$S_2$、$S_3$、$S_4$向左平移，全部拼接在$x\in[0,2]$的区间内，可得所有阴影部分拼成一个宽为2，高为$10-2=8$的矩形，因此总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=2×8=16$。
（也可分步计算各阴影面积再求和，结果一致）
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数k的几何意义；割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数的典型题型，既考查了反比例函数图象上点的坐标特征，也考查了图形面积的计算，运用平移法可以大幅简化运算，平时学习要注意总结这类简便解题技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 求k的值：已知点$P_1$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且给出了$P_1$的横、纵坐标，根据反比例函数解析式的变形$k=xy$，直接代入$P_1$的坐标即可求出$k$。
(2) 求阴影面积和：首先观察阴影矩形的特征，每个矩形的水平宽度都为2（相邻点横坐标的差为2）。可以用两种思路解题：① 先求出$P_2$到$P_5$的纵坐标，分别计算$S_1$到$S_4$的面积再相加；② 利用平移法，将$S_2$、$S_3$、$S_4$全部向左平移到$x=0$到$x=2$的区间内，所有阴影会拼成一个宽为2的大矩形，该矩形的高为$P_1$的纵坐标减去$P_5$的纵坐标，计算该矩形面积即可得到阴影总面积，这种方法更简便。
【解析】
(1) 由题意可知，点$P_1$的坐标为$(2,10)$，将其代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，可得：
$k = xy = 2×10 = 20$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{20}{x}$。
先求$P_5$的纵坐标：当$x=10$时，$y=\frac{20}{10}=2$。
将$S_2$、$S_3$、$S_4$向左平移，全部拼接在$x\in[0,2]$的区间内，可得所有阴影部分拼成一个宽为2，高为$10-2=8$的矩形，因此总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=2×8=16$。
（也可分步计算各阴影面积再求和，结果一致）
【答案】
(1) $\boxed{20}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数k的几何意义；割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数的典型题型，既考查了反比例函数图象上点的坐标特征，也考查了图形面积的计算，运用平移法可以大幅简化运算，平时学习要注意总结这类简便解题技巧。
【难度系数】
0.7
13.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（单位：万个）与销售价格x（单位：元/个）的关系如下表：
（1）求该公司销售这种计算器的利润w（单位：万元）与销售价格x（单位：元/个）之间的函数关系式.
（2）销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？
（1）求该公司销售这种计算器的利润w（单位：万元）与销售价格x（单位：元/个）之间的函数关系式.
（2）销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？
答案
13.解：(1)$w=\begin{cases} -\dfrac{1}{10}x^2+10x-200(30≤ x≤60),\\ -\dfrac{2400}{x}+80(60＜x≤80). \end{cases}$
(2)销售价格定为50元/个或80元/个时,该公司获得的利润最大,最大利润是50万元.
(2)销售价格定为50元/个或80元/个时,该公司获得的利润最大,最大利润是50万元.
解析
【分析】
解本题的核心是掌握利润的计算公式：总利润=（单个售价-单个进价）×销售量 - 其他开支。由于销售量y是关于x的分段函数，因此利润w也需要分两个区间分别求解：①当30≤x≤60时，代入对应的一次函数表达式得到二次函数形式的利润函数，用二次函数性质求最值；②当60＜x≤80时，代入对应的反比例函数表达式得到利润函数，根据反比例函数的单调性求最值，最后比较两个区间的最大利润得到最终结果。
【解析】
(1) 根据利润计算公式：总利润$w=(x-20)y - 40$（单位：万元），分情况讨论：
① 当$30≤ x≤60$时，$y=-\dfrac{1}{10}x+8$，代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-\dfrac{1}{10}x+8)-40\\&=-\dfrac{1}{10}x^2+8x+2x-160-40\\&=-\dfrac{1}{10}x^2+10x-200\end{aligned}$
② 当$60＜x≤80$时，$y=\dfrac{120}{x}$，代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)·\dfrac{120}{x}-40\\&=120-\dfrac{2400}{x}-40\\&=-\dfrac{2400}{x}+80\end{aligned}$
(2) 分别求两个区间内的最大利润：
① 当$30≤ x≤60$时，$w=-\dfrac{1}{10}x^2+10x-200$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{10}{2×(-\dfrac{1}{10})}=50$，$50$在$[30,60]$区间内，因此当$x=50$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=-\dfrac{1}{10}×50^2+10×50-200=50$（万元）
② 当$60＜x≤80$时，$w=80-\dfrac{2400}{x}$，随$x$增大，$\dfrac{2400}{x}$减小，因此$w$随$x$增大而增大，故当$x=80$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=80-\dfrac{2400}{80}=50$（万元）
比较两个区间的最大利润，均为50万元。
【答案】
(1)$w=\begin{cases} -\dfrac{1}{10}x^2+10x-200(30≤ x≤60)\\ -\dfrac{2400}{x}+80(60＜x≤80) \end{cases}$
(2)销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元。
【知识点】
分段函数应用；二次函数最值；反比例函数性质
【点评】
本题为函数实际应用类题目，解题的关键是结合利润公式正确列出分段函数，再根据不同类型函数的性质求解最值，需要特别注意自变量的取值范围对最值取值的限制，避免忽略区间直接求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
解本题的核心是掌握利润的计算公式：总利润=（单个售价-单个进价）×销售量 - 其他开支。由于销售量y是关于x的分段函数，因此利润w也需要分两个区间分别求解：①当30≤x≤60时，代入对应的一次函数表达式得到二次函数形式的利润函数，用二次函数性质求最值；②当60＜x≤80时，代入对应的反比例函数表达式得到利润函数，根据反比例函数的单调性求最值，最后比较两个区间的最大利润得到最终结果。
【解析】
(1) 根据利润计算公式：总利润$w=(x-20)y - 40$（单位：万元），分情况讨论：
① 当$30≤ x≤60$时，$y=-\dfrac{1}{10}x+8$，代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-\dfrac{1}{10}x+8)-40\\&=-\dfrac{1}{10}x^2+8x+2x-160-40\\&=-\dfrac{1}{10}x^2+10x-200\end{aligned}$
② 当$60＜x≤80$时，$y=\dfrac{120}{x}$，代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)·\dfrac{120}{x}-40\\&=120-\dfrac{2400}{x}-40\\&=-\dfrac{2400}{x}+80\end{aligned}$
(2) 分别求两个区间内的最大利润：
① 当$30≤ x≤60$时，$w=-\dfrac{1}{10}x^2+10x-200$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{10}{2×(-\dfrac{1}{10})}=50$，$50$在$[30,60]$区间内，因此当$x=50$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=-\dfrac{1}{10}×50^2+10×50-200=50$（万元）
② 当$60＜x≤80$时，$w=80-\dfrac{2400}{x}$，随$x$增大，$\dfrac{2400}{x}$减小，因此$w$随$x$增大而增大，故当$x=80$时，$w$取得最大值：
$w_{max}=80-\dfrac{2400}{80}=50$（万元）
比较两个区间的最大利润，均为50万元。
【答案】
(1)$w=\begin{cases} -\dfrac{1}{10}x^2+10x-200(30≤ x≤60)\\ -\dfrac{2400}{x}+80(60＜x≤80) \end{cases}$
(2)销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元。
【知识点】
分段函数应用；二次函数最值；反比例函数性质
【点评】
本题为函数实际应用类题目，解题的关键是结合利润公式正确列出分段函数，再根据不同类型函数的性质求解最值，需要特别注意自变量的取值范围对最值取值的限制，避免忽略区间直接求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
