登录
基础巩固
一、选择题
1.下列几何图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是 （
一、选择题
1.下列几何图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是 （
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心概念：①轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；②中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。接下来逐一分析每个选项是否同时满足两个特征，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
对各选项逐一判断：
A. 等边三角形：是轴对称图形，共有3条对称轴，但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
B. 平行四边形：绕对角线交点旋转180°后可与原图形重合，属于中心对称图形，但没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求；
C. 圆：沿任意一条直径所在直线折叠都能完全重合，属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后也能和原图形完全重合，属于中心对称图形，符合要求；
D. 五角星：是轴对称图形，共有5条对称轴，但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查两种对称图形的判定方法，熟练掌握相关概念后用逐一排除法即可快速解题，注意不要混淆两种对称的判定标准。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心概念：①轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；②中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。接下来逐一分析每个选项是否同时满足两个特征，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
对各选项逐一判断：
A. 等边三角形：是轴对称图形，共有3条对称轴，但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
B. 平行四边形：绕对角线交点旋转180°后可与原图形重合，属于中心对称图形，但没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求；
C. 圆：沿任意一条直径所在直线折叠都能完全重合，属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后也能和原图形完全重合，属于中心对称图形，符合要求；
D. 五角星：是轴对称图形，共有5条对称轴，但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查两种对称图形的判定方法，熟练掌握相关概念后用逐一排除法即可快速解题，注意不要混淆两种对称的判定标准。
【难度系数】
0.8
2.如图,该图案是由一个菱形通过多次旋转得到的,它每次旋转的最小角度是 (
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
C
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆旋转对称图形的相关性质：旋转对称图形的最小旋转角，等于周角360°除以图形绕中心被平均分成的全等份数。首先观察题图，这个由菱形旋转得到的图案，中心周围一共有6个完全相同的菱形，说明图形绕中心平均分成了6等份，我们只需要用360°除以份数，就能得到最小的旋转角度。
【解析】
解：
∵ 周角的度数为360°，观察图案可知，该图形绕中心处平均分成了6个全等的部分，
∴ 每次旋转的最小角度为 $360° ÷ 6 = 60°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，周角定义，旋转对称图形
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确观察图形，确定图形被平均分成的全等份数，再结合周角的度数计算即可，考查学生的图形观察能力和对旋转基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆旋转对称图形的相关性质：旋转对称图形的最小旋转角，等于周角360°除以图形绕中心被平均分成的全等份数。首先观察题图，这个由菱形旋转得到的图案，中心周围一共有6个完全相同的菱形，说明图形绕中心平均分成了6等份，我们只需要用360°除以份数，就能得到最小的旋转角度。
【解析】
解：
∵ 周角的度数为360°，观察图案可知，该图形绕中心处平均分成了6个全等的部分，
∴ 每次旋转的最小角度为 $360° ÷ 6 = 60°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，周角定义，旋转对称图形
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确观察图形，确定图形被平均分成的全等份数，再结合周角的度数计算即可，考查学生的图形观察能力和对旋转基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.8
3.如图,点A,B分别是两个半圆的圆心,则该图案的对称中心是 （
A.点A
B.点B
C.线段AB的中点
D.无法确定
C
）A.点A
B.点B
C.线段AB的中点
D.无法确定
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆中心对称及对称中心的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个点就是该图形的对称中心。接下来我们逐一验证选项：首先验证绕点A旋转180°，两个半圆无法和原位置重合，排除选项A；再验证绕点B旋转180°，同样两个半圆无法和原位置重合，排除选项B；最后验证绕线段AB的中点旋转180°，点A会旋转到点B的位置，点B会旋转到点A的位置，两个半圆也恰好互换位置后与原图形重合，因此该点就是对称中心。
【解析】
根据中心对称的定义，对各选项逐一判断：
1. 若绕点A旋转180°，旋转后的图案与原图案不重合，故点A不是对称中心，排除A；
2. 若绕点B旋转180°，旋转后的图案与原图案不重合，故点B不是对称中心，排除B；
3. 若绕线段AB的中点旋转180°，点A与点B位置互换，两个半圆也对应重合，旋转后的图案与原图案完全重合，符合对称中心的定义。
因此该图案的对称中心是线段AB的中点。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的定义，对称中心的判定
【点评】
本题主要考查中心对称相关概念的应用，解题的关键是理解对称中心的特征，通过旋转180°后是否重合来验证即可，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆中心对称及对称中心的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个点就是该图形的对称中心。接下来我们逐一验证选项：首先验证绕点A旋转180°，两个半圆无法和原位置重合，排除选项A；再验证绕点B旋转180°，同样两个半圆无法和原位置重合，排除选项B；最后验证绕线段AB的中点旋转180°，点A会旋转到点B的位置，点B会旋转到点A的位置，两个半圆也恰好互换位置后与原图形重合，因此该点就是对称中心。
【解析】
根据中心对称的定义，对各选项逐一判断：
1. 若绕点A旋转180°，旋转后的图案与原图案不重合，故点A不是对称中心，排除A；
2. 若绕点B旋转180°，旋转后的图案与原图案不重合，故点B不是对称中心，排除B；
3. 若绕线段AB的中点旋转180°，点A与点B位置互换，两个半圆也对应重合，旋转后的图案与原图案完全重合，符合对称中心的定义。
因此该图案的对称中心是线段AB的中点。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的定义，对称中心的判定
【点评】
本题主要考查中心对称相关概念的应用，解题的关键是理解对称中心的特征，通过旋转180°后是否重合来验证即可，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
4.若一个点在第二象限，且它到x轴和y轴的距离分别为3和4，则这个点关于原点对称的点的坐标为（
A.(3,−4)
B.(−3,4)
C.(4,−3)
D.(−4,3)
C
）A.(3,−4)
B.(−3,4)
C.(4,−3)
D.(−4,3)
答案
4.C
解析
【分析】
解题时我们分两步推进：第一步先确定原点点的坐标，首先回忆平面直角坐标系中各象限坐标的符号规律，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合第二象限横坐标为负、纵坐标为正的特征，就能求出原点点坐标；第二步，根据关于原点对称的点的坐标性质：横、纵坐标均互为相反数，计算出对称点的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
设该点的坐标为$(x,y)$：
1. 由点到x轴的距离为3，得$|y|=3$；到y轴的距离为4，得$|x|=4$。
2. 已知该点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，因此$x=-4$，$y=3$，即原点点坐标为$(-4,3)$。
3. 关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此对称点的坐标为$(4,-3)$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标；点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查坐标相关基础概念的掌握，只要牢记象限符号规律、点到坐标轴的距离含义以及原点对称的坐标变化规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时我们分两步推进：第一步先确定原点点的坐标，首先回忆平面直角坐标系中各象限坐标的符号规律，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合第二象限横坐标为负、纵坐标为正的特征，就能求出原点点坐标；第二步，根据关于原点对称的点的坐标性质：横、纵坐标均互为相反数，计算出对称点的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
设该点的坐标为$(x,y)$：
1. 由点到x轴的距离为3，得$|y|=3$；到y轴的距离为4，得$|x|=4$。
2. 已知该点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，因此$x=-4$，$y=3$，即原点点坐标为$(-4,3)$。
3. 关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此对称点的坐标为$(4,-3)$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标；点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查坐标相关基础概念的掌握，只要牢记象限符号规律、点到坐标轴的距离含义以及原点对称的坐标变化规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，将$△ ABC$绕点$C$按逆时针方向旋转$58°$得到$△ A_1B_1C$.若点$A_1$恰好落在$AB$边上，则$∠ B_1$的度数为（
A.$29°$
B.$32°$
C.$58°$
D.$61°$
A
）A.$29°$
B.$32°$
C.$58°$
D.$61°$
答案
5.A
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：第一步，回忆旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角大小不变，由此可得CA=CA₁，∠B₁=∠B，旋转角∠ACA₁=58°；第二步，由CA=CA₁可知△CAA₁是等腰三角形，利用等腰三角形内角和规律算出∠A的度数；第三步，在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠B的度数，即可得到∠B₁的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转58°得到△A₁B₁C，
∴∠ACA₁=58°，CA=CA₁，∠B₁=∠B。
∵CA=CA₁，
∴△CAA₁为等腰三角形，
∴∠A=∠CA₁A = $\frac{180° - ∠ACA₁}{2}$ = $\frac{180° - 58°}{2}$ = 61°。
又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 61° = 29°，
∴∠B₁=∠B=29°。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，找准旋转前后相等的边和角，再结合等腰三角形、直角三角形的角度性质求解即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按以下思路思考：第一步，回忆旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角大小不变，由此可得CA=CA₁，∠B₁=∠B，旋转角∠ACA₁=58°；第二步，由CA=CA₁可知△CAA₁是等腰三角形，利用等腰三角形内角和规律算出∠A的度数；第三步，在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠B的度数，即可得到∠B₁的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转58°得到△A₁B₁C，
∴∠ACA₁=58°，CA=CA₁，∠B₁=∠B。
∵CA=CA₁，
∴△CAA₁为等腰三角形，
∴∠A=∠CA₁A = $\frac{180° - ∠ACA₁}{2}$ = $\frac{180° - 58°}{2}$ = 61°。
又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 61° = 29°，
∴∠B₁=∠B=29°。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，找准旋转前后相等的边和角，再结合等腰三角形、直角三角形的角度性质求解即可。
【难度系数】
0.7
6.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接ED，将ED绕点E逆时针旋转$90°$得到EF，连接DF，BF.若$∠ ADF=α$，则$∠ EFB$等于（
A.$α$
B.$45°-α$
C.$90°-3α$
D.$\frac{1}{2}α$
A
）A.$α$
B.$45°-α$
C.$90°-3α$
D.$\frac{1}{2}α$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先从旋转性质入手，先得到ED=EF、∠DEF=90°，推出△DEF是等腰直角三角形，得到∠EDF=45°；再结合正方形的性质，通过作FM⊥BC于M构造全等三角形，证明△FME≌△ECD，推导出△FMB是等腰直角三角形，得到∠FBE的度数；之后用α表示出∠FEB的度数，最后利用三角形内角和即可求出∠EFB的度数。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$ED=EF$，$∠ DEF=90°$，因此$△ DEF$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ EDF=∠ EFD=45°$。
2. $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ C=∠ ADC=90°$，$CD=BC$。
3. 过点$F$作$FM⊥ BC$，交$CB$的延长线于点$M$，则$∠ M=90°=∠ C$。
4. $\because ∠ DEF=90°$，$\therefore ∠ FEB+∠ DEC=90°$，又$\because ∠ DEC+∠ EDC=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ FEB=∠ EDC$。
5. 在$△ FME$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ C \\∠ FEM=∠ EDC \\EF=DE\end{cases}$
$\therefore △ FME≌△ ECD(\mathrm{AAS})$，$\therefore FM=EC$，$EM=CD$。
6. $\because CD=BC$，$\therefore EM=BC$，即$EB+BM=EB+EC$，化简得$BM=EC$，结合$FM=EC$可得$FM=BM$，因此$△ FMB$是等腰直角三角形，$∠ FBM=45°$，$\therefore ∠ FBE=180°-∠ FBM=135°$。
7. $\because ∠ ADC=90°$，$∠ ADF=α$，$∠ EDF=45°$，$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADF-∠ EDF=90°-α-45°=45°-α$，因此$∠ FEB=∠ EDC=45°-α$。
8. 在$△ EFB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ EFB+∠ FEB+∠ FBE=180°$，代入得$∠ EFB+(45°-α)+135°=180°$，解得$∠ EFB=α$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质推导角的数量关系，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从旋转性质入手，先得到ED=EF、∠DEF=90°，推出△DEF是等腰直角三角形，得到∠EDF=45°；再结合正方形的性质，通过作FM⊥BC于M构造全等三角形，证明△FME≌△ECD，推导出△FMB是等腰直角三角形，得到∠FBE的度数；之后用α表示出∠FEB的度数，最后利用三角形内角和即可求出∠EFB的度数。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$ED=EF$，$∠ DEF=90°$，因此$△ DEF$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ EDF=∠ EFD=45°$。
2. $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ C=∠ ADC=90°$，$CD=BC$。
3. 过点$F$作$FM⊥ BC$，交$CB$的延长线于点$M$，则$∠ M=90°=∠ C$。
4. $\because ∠ DEF=90°$，$\therefore ∠ FEB+∠ DEC=90°$，又$\because ∠ DEC+∠ EDC=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ FEB=∠ EDC$。
5. 在$△ FME$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ C \\∠ FEM=∠ EDC \\EF=DE\end{cases}$
$\therefore △ FME≌△ ECD(\mathrm{AAS})$，$\therefore FM=EC$，$EM=CD$。
6. $\because CD=BC$，$\therefore EM=BC$，即$EB+BM=EB+EC$，化简得$BM=EC$，结合$FM=EC$可得$FM=BM$，因此$△ FMB$是等腰直角三角形，$∠ FBM=45°$，$\therefore ∠ FBE=180°-∠ FBM=135°$。
7. $\because ∠ ADC=90°$，$∠ ADF=α$，$∠ EDF=45°$，$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADF-∠ EDF=90°-α-45°=45°-α$，因此$∠ FEB=∠ EDC=45°-α$。
8. 在$△ EFB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ EFB+∠ FEB+∠ FBE=180°$，代入得$∠ EFB+(45°-α)+135°=180°$，解得$∠ EFB=α$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质推导角的数量关系，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
7.若点A(-4,1-2m)关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围是
7.若点A(-4,1-2m)关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围是
$m＞\frac{1}{2}$
。答案
7.$m＞\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；第二步，根据规律求出点A关于原点的对称点坐标，再结合第一象限内点“横坐标为正、纵坐标为正”的符号特征，列出关于m的不等式；第三步，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：若点坐标为$(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
可得点$A(-4,1-2m)$关于原点的对称点坐标为$(4, 2m-1)$。
已知该对称点在第一象限，第一象限内点的纵坐标大于0，因此列不等式：
$2m - 1 ＞ 0$
解不等式：
移项得$2m＞1$，
两边同时除以2得$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础综合题，将中心对称、平面直角坐标系和不等式的知识点结合考察，解题的核心是准确掌握原点对称的坐标变换规律，再结合象限的坐标符号特征列式求解即可。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；第二步，根据规律求出点A关于原点的对称点坐标，再结合第一象限内点“横坐标为正、纵坐标为正”的符号特征，列出关于m的不等式；第三步，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：若点坐标为$(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
可得点$A(-4,1-2m)$关于原点的对称点坐标为$(4, 2m-1)$。
已知该对称点在第一象限，第一象限内点的纵坐标大于0，因此列不等式：
$2m - 1 ＞ 0$
解不等式：
移项得$2m＞1$，
两边同时除以2得$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础综合题，将中心对称、平面直角坐标系和不等式的知识点结合考察，解题的核心是准确掌握原点对称的坐标变换规律，再结合象限的坐标符号特征列式求解即可。
【难度系数】
0.8
8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称,连接AB',则AB'的长为
10
.答案
8.10
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质求出其对角线一半的长度，同时得到对角线互相垂直的关系；再利用中心对称的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，确定出直角边的长度，最后借助勾股定理计算AB'的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=16，对角线AC、BD交于点O
∴AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC=2$，$BO=\frac{1}{2}BD=8$
∵△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称
∴△BOC≌△B'O'C
∴$CO'=OC=2$，$B'O'=BO=8$，$∠ O'=∠ BOC=90°$
∴$AO'=AC + CO'=4 + 2=6$
在$Rt△ AB'O'$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AO'^2 + B'O'^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
菱形的性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握菱形和中心对称的性质，找到直角三角形后运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合菱形的性质求出其对角线一半的长度，同时得到对角线互相垂直的关系；再利用中心对称的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，确定出直角边的长度，最后借助勾股定理计算AB'的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=16，对角线AC、BD交于点O
∴AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC=2$，$BO=\frac{1}{2}BD=8$
∵△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称
∴△BOC≌△B'O'C
∴$CO'=OC=2$，$B'O'=BO=8$，$∠ O'=∠ BOC=90°$
∴$AO'=AC + CO'=4 + 2=6$
在$Rt△ AB'O'$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AO'^2 + B'O'^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
菱形的性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握菱形和中心对称的性质，找到直角三角形后运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
9.如图，将$△ ABC$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ ADE$，点E恰好落在BC边上，连接BD。若$BD⊥ BC$，$AC=2$，$BC=4$，则$△ BDE$的面积是
$2\sqrt{3}$
。答案
9.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质，得到相等的对应边和60°的旋转角，据此判定△ABD、△AEC均为等边三角形，得到相关边和角的数值；再结合BD⊥BC的条件，推导出△BDE的底BE的长度，以及高BD的长度，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE
∴AB=AD，∠BAD=∠CAE=60°，AE=AC，DE=BC=4
∴△ABD是等边三角形，△AEC是等边三角形
∴∠ABD=60°，BD=AB，EC=AC=2，∠C=60°
∵BD⊥BC，
∴∠DBC=90°
∴∠ABC=∠DBC - ∠ABD=90°-60°=30°
∴BE=BC - EC=4 - 2=2
在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=60°，故∠BAC=90°
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$
∴BD=AB=2√3
又
∵BD⊥BC，即BD为△BDE中BE边上的高
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × BE × BD = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是旋转类综合题，解题核心是通过旋转的性质推导得到等边三角形，进而求出所求三角形的底和高，解题时注意结合垂直条件判断高的位置，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用旋转的性质，得到相等的对应边和60°的旋转角，据此判定△ABD、△AEC均为等边三角形，得到相关边和角的数值；再结合BD⊥BC的条件，推导出△BDE的底BE的长度，以及高BD的长度，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE
∴AB=AD，∠BAD=∠CAE=60°，AE=AC，DE=BC=4
∴△ABD是等边三角形，△AEC是等边三角形
∴∠ABD=60°，BD=AB，EC=AC=2，∠C=60°
∵BD⊥BC，
∴∠DBC=90°
∴∠ABC=∠DBC - ∠ABD=90°-60°=30°
∴BE=BC - EC=4 - 2=2
在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=60°，故∠BAC=90°
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$
∴BD=AB=2√3
又
∵BD⊥BC，即BD为△BDE中BE边上的高
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × BE × BD = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是旋转类综合题，解题核心是通过旋转的性质推导得到等边三角形，进而求出所求三角形的底和高，解题时注意结合垂直条件判断高的位置，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
