三、解答题
10.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,2),C(-1,1).
(1)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁,请画出△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁绕原点O旋转180°后得到的△A₂B₂C₂;
(3)若△A'B'C'与△ABC成中心对称,则对称中心的坐标为.

10.解：(1)图略.(2)图略.(3)(1,0)

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，先记住点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律：点(x,y)顺时针旋转90°后对应点为(y,-x)，代入三个顶点坐标得到旋转后点的坐标，再描点连线即可作图。2. 解决第(2)问时，掌握点绕原点旋转180°的坐标变化规律：点(x,y)旋转180°后对应点为(-x,-y)，代入△A₁B₁C₁的顶点坐标得到新坐标后描点连线作图。3. 解决第(3)问时，利用中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对称中心是任意两组对应点连线的中点，选取两组对应点用中点坐标公式计算即可得到对称中心坐标。
【解析】
(1) 根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则：$(x,y)\to(y,-x)$，可得A(-2,3)对应点A₁(3,2)，B(-3,2)对应点B₁(2,3)，C(-1,1)对应点C₁(1,1)，在平面直角坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据点绕原点旋转180°的坐标变换规则：$(x,y)\to(-x,-y)$，可得A₁(3,2)对应点A₂(-3,-2)，B₁(2,3)对应点B₂(-2,-3)，C₁(1,1)对应点C₂(-1,-1)，依次描点并顺次连接即得到△A₂B₂C₂。
(3) 成中心对称的两个图形，对称中心为对应点连线的中点。选取对应点A(-2,3)和A'(4,-3)，由中点坐标公式：中点横坐标$=\frac{x_1+x_2}{2}$，纵坐标$=\frac{y_1+y_2}{2}$，代入得横坐标为$\frac{-2+4}{2}=1$，纵坐标为$\frac{3+(-3)}{2}=0$，验证其余对应点连线的中点均为(1,0)，因此对称中心坐标为(1,0)。
【答案】
(1) 图略；(2) 图略；(3) $\boldsymbol{(1,0)}$
【知识点】
图形的旋转变换，中心对称的性质，中点坐标计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中旋转作图和中心对称的相关应用，属于基础题型，核心是熟练掌握不同旋转角度下的坐标变换规律，以及中心对称的中点特征，只要细心计算坐标就能正确作答。
【难度系数】
0.8

11.如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形GBEF，点E在AD边上，AB=AE，连接AF，AG.
(1)求证:△AGB≌△AFE；
(2)求∠GAF的度数.

11.(1)证明: $\because AB=AE,\therefore ∠ ABE=∠ AEB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ ABC=∠ C=90°,AB=CD,$
$\because$ 矩形 $ABCD$ 绕点 $B$ 旋转得到矩形 $GBEF$,
$\therefore ∠ GBE=∠ ABC=∠ C=∠ FEB=90°,BG=AB=CD=EF,\therefore$ 易得 $∠ ABG=∠ AEF,\therefore △ AGB≌△ AFE(\mathrm{SAS}).$
(2)解: $135°.$

【分析】
(1) 要证明△AGB≌△AFE，优先选用SAS判定定理推导：首先由已知AB=AE得到一组边相等，再结合矩形性质和旋转的性质可得BG=EF，再通过角度关系推出两边的夹角∠ABG=∠AEF，即可完成全等证明。
(2) 求∠GAF的度数，可利用(1)中全等的结论得到对应角相等，再结合AB=AE、矩形内角为90°的特征，得到△ABE为等腰直角三角形，通过角度转化运算即可求出∠GAF的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=∠AEB。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°。
∵ 矩形ABCD绕点B旋转得到矩形GBEF，
∴ ∠GBE=∠ABC=∠FEB=90°，BG=AB，EF=AB，
∴ BG=EF，易得∠ABG=∠AEF。
在△AGB和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠ABG=∠AEF \\BG=EF\end{array} $
∴ △AGB≌△AFE（SAS）。
(2) 解：
由(1)得△AGB≌△AFE，
∴ ∠BAG=∠EAF。
∵ AB=AE，∠BAD=90°，
∴ △ABE是等腰直角三角形，∠ABE=∠AEB=45°。
∵ ∠GBE=90°，
∴ ∠ABG=∠GBE-∠ABE=45°。
在△ABG中，AB=BG，∠ABG=45°，
∴ ∠BAG=(180°-45°)÷2=67.5°，则AG与x轴负方向的夹角为90°-67.5°=22.5°；
同理△AEF中，AE=EF，∠AEF=135°，
∴ ∠EAF=(180°-135°)÷2=22.5°，即AF与x轴正方向的夹角为22.5°；
∴ ∠GAF=180°-22.5°-22.5°=135°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $135°$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、旋转、全等三角形的相关知识，解题关键是熟练掌握旋转前后对应边、对应角相等的性质，结合全等判定定理完成推导，角度转化是解决第二问的核心技巧。
【难度系数】
0.7

12.新考法 如图,在平面直角坐标系中,点 B 的坐标为$(2,2)$,将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转一定角度α得到点 B 的对应点 A 的坐标为$(a,b)$,则下列说法正确的是 ()

A.若$α=45°$,则$a=b=2$
B.若$α=180°$,则$a=2,b=-2$
C.若$AB⊥x$轴,则$α=90°$
D.若$AB// x$轴,则$α=90°$

12.C

【分析】
首先明确旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OB。先计算OB的长度为$2\sqrt{2}$，且OB与x轴正方向的初始夹角为45°，再结合顺时针旋转角α的定义，得到OA与x轴正方向的夹角为$45°-α$，最后逐一验证四个选项的条件对应的结论是否成立即可。
【解析】
已知点B坐标为$(2,2)$，可得：
①由勾股定理得$OB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，根据旋转性质得$OA=OB=2\sqrt{2}$；
②OB与x轴正方向的夹角为45°，顺时针旋转α后，OA与x轴正方向的夹角为$45°-α$。
逐一分析选项：
选项A：若$α=45°$，则OA与x轴正方向夹角为$45°-45°=0°$，即A在x轴正半轴，坐标为$(2\sqrt{2},0)$，$a=2\sqrt{2},b=0$，故A错误；
选项B：若$α=180°$，则A与B关于原点对称，坐标为$(-2,-2)$，$a=-2,b=-2$，故B错误；
选项C：若$AB⊥ x$轴，则A、B横坐标相等，即$a=2$，代入$OA^2=a^2+b^2=8$，得$b^2=4$，顺时针旋转时$b=-2$，即A坐标为$(2,-2)$，此时旋转角$α=90°$，故C正确；
选项D：若$AB// x$轴，则A、B纵坐标相等，即$b=2$，代入$OA^2=a^2+b^2=8$，得$a^2=4$，$a=-2$，即A坐标为$(-2,2)$，此时为逆时针旋转90°，顺时针旋转角$α=270°$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查旋转的性质，解题时需明确顺时针旋转的坐标变化规律，通过逐一推导选项的条件对应结论即可选出正确答案，要注意区分顺时针和逆时针旋转的坐标差异。
【难度系数】
0.7

13. [2026马鞍山期末]如图，正方形ABCD的边长为8，E为边BC上一定点，且BE=2，P为边AB上一动点，连接EP.
(1)当P是AB的中点时，PE的长度为；
(2)若将PE绕点P逆时针旋转$90°$至PQ，连接AQ，则AQ的最小值为.

13.(1)$2\sqrt{5}$ (2)$3\sqrt{2}$

【分析】
(1) 第一问已知正方形边长为8，P是AB中点，可先求出PB的长度，结合∠B为直角，直接利用勾股定理计算PE的长度即可。
(2) 第二问涉及旋转90°的几何问题，可通过构造全等三角形转化线段关系：过Q作QF垂直AB于点F，先证明△QFP与△PBE全等，得到对应边相等；再设AP的长度为参数，用含参数的式子表示出AQ长度的平方，将问题转化为二次函数求最值，即可得到AQ的最小值。
【解析】
(1)
∵正方形ABCD的边长为8，P是AB的中点，
∴$PB=\frac{1}{2}AB=4$，
又
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
在$Rt△ PBE$中，$BE=2$，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{PB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(2) 过点Q作$QF⊥ AB$，交AB所在直线于点F，
∵PE绕点P逆时针旋转90°得到PQ，
∴$PE=PQ$，$∠ EPQ=90°$，
∴$∠ QPF+∠ BPE=90°$，
又
∵在$Rt△ PBE$中，$∠ PEB+∠ BPE=90°$，
∴$∠ QPF=∠ PEB$，
又
∵$∠ QFP=∠ B=90°$，
∴$△ QFP≌△ PBE$（AAS），
∴$PF=BE=2$，$QF=PB$。
设$AP=t$（$0≤ t≤8$），则$PB=8-t$，
∴$QF=8-t$，$AF=|AP-PF|=|t-2|$，
在$Rt△ AFQ$中，由勾股定理得：
$AQ^2=AF^2+QF^2=(t-2)^2+(8-t)^2$，
整理得：$AQ^2=2t^2-20t+68=2(t-5)^2+18$，
∵$2＞0$，
∴当$t=5$时，$AQ^2$取得最小值18，
此时$AQ=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，且$t=5$在$0≤ t≤8$范围内，符合题意。
【答案】
(1)$2\sqrt{5}$；(2)$3\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题第一问属于基础题，直接考查勾股定理在直角三角形中的应用；第二问是几何动态最值问题，解题关键是利用旋转的性质构造全等三角形，将未知线段转化为含参数的表达式，再结合二次函数性质求最值，能有效考查学生的逻辑推理能力和综合应用知识的能力。
【难度系数】
0.6