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13. [2026芜湖期末]某地蔬菜市场管理部门为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息.其中，这种蔬菜每千克成本$y_1$元与销售月份$x$之间满足二次函数关系，每千克售价$y_2$元与销售月份$x$之间满足一次函数关系.
(1)分别求$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式.
(2)按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？
(3)该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户的经营积极性，决定给予商户每千克补贴4元，那么，按照往年的行情，一年中有几个月商户销售这种蔬菜不会出现亏损？
(1)分别求$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式.
(2)按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？
(3)该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户的经营积极性，决定给予商户每千克补贴4元，那么，按照往年的行情，一年中有几个月商户销售这种蔬菜不会出现亏损？
答案
13.解：(1)$y_1=\dfrac{1}{3}(x-6)^2+1$，$y_2=-\dfrac{2}{3}x+6$.
(2)5月份销售这种蔬菜的收益最大.
(3)一年中有9个月商户销售这种蔬菜不会出现亏损.
(2)5月份销售这种蔬菜的收益最大.
(3)一年中有9个月商户销售这种蔬菜不会出现亏损.
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式：成本$y_1$的图像是二次函数，顶点为$(6,1)$，故设顶点式代入已知点即可求系数；售价$y_2$是一次函数，选取图像上两个已知点代入一般式，解方程组可得系数。(2) 收益=售价-成本，构建收益关于月份$x$的二次函数，利用二次函数性质求最大值对应的月份即可。(3) 补贴后收益=售价+补贴-成本，令收益≥0，解不等式后统计1~12中符合条件的整数$x$的个数即可。
【解析】
(1) 求$y_1$的解析式：
由图可知二次函数$y_1$的顶点为$(6,1)$，设$y_1=a(x-6)^2+1(a≠0)$，将点$(3,4)$代入得：
$4=a(3-6)^2+1$，解得$a=\frac{1}{3}$，
$\therefore y_1=\frac{1}{3}(x-6)^2+1$。
求$y_2$的解析式：
设$y_2=kx+b(k≠0)$，将点$(3,4)$、$(6,2)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=4\\6k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=6\end{cases}$，
$\therefore y_2=-\frac{2}{3}x+6$。
(2) 设每千克收益为$W$元，则$W=y_2-y_1$，代入解析式得：
$\begin{aligned}W&=-\frac{2}{3}x+6-[\frac{1}{3}(x-6)^2+1]\\&=-\frac{1}{3}x^2+\frac{10}{3}x-7\\&=-\frac{1}{3}(x-5)^2+\frac{4}{3}\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=5$时，$W$取最大值，即5月份收益最大。
(3) 补贴后每千克收益为$W'=y_2+4-y_1$，不亏损即$W'≥0$，代入得：
$-\frac{2}{3}x+6+4-\frac{1}{3}(x-6)^2-1≥0$
整理得$x^2-10x+9≤0$，因式分解为$(x-1)(x-9)≤0$，解得$1≤ x≤9$。
$\because x$为1~12的正整数，$\therefore x$可取1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个月份，即有9个月不会亏损。
【答案】
(1)$y_1=\dfrac{1}{3}(x-6)^2+1$，$y_2=-\dfrac{2}{3}x+6$；(2)5月份；(3)9个
【知识点】
函数解析式求解，二次函数最值，不等式实际应用
【点评】
本题是函数与不等式结合的实际应用题，需要从图像中提取有效信息求函数解析式，再结合题意构建收益相关的函数或不等式求解，能够很好地考查学生的信息提取能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求解函数解析式：成本$y_1$的图像是二次函数，顶点为$(6,1)$，故设顶点式代入已知点即可求系数；售价$y_2$是一次函数，选取图像上两个已知点代入一般式，解方程组可得系数。(2) 收益=售价-成本，构建收益关于月份$x$的二次函数，利用二次函数性质求最大值对应的月份即可。(3) 补贴后收益=售价+补贴-成本，令收益≥0，解不等式后统计1~12中符合条件的整数$x$的个数即可。
【解析】
(1) 求$y_1$的解析式：
由图可知二次函数$y_1$的顶点为$(6,1)$，设$y_1=a(x-6)^2+1(a≠0)$，将点$(3,4)$代入得：
$4=a(3-6)^2+1$，解得$a=\frac{1}{3}$，
$\therefore y_1=\frac{1}{3}(x-6)^2+1$。
求$y_2$的解析式：
设$y_2=kx+b(k≠0)$，将点$(3,4)$、$(6,2)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=4\\6k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=6\end{cases}$，
$\therefore y_2=-\frac{2}{3}x+6$。
(2) 设每千克收益为$W$元，则$W=y_2-y_1$，代入解析式得：
$\begin{aligned}W&=-\frac{2}{3}x+6-[\frac{1}{3}(x-6)^2+1]\\&=-\frac{1}{3}x^2+\frac{10}{3}x-7\\&=-\frac{1}{3}(x-5)^2+\frac{4}{3}\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=5$时，$W$取最大值，即5月份收益最大。
(3) 补贴后每千克收益为$W'=y_2+4-y_1$，不亏损即$W'≥0$，代入得：
$-\frac{2}{3}x+6+4-\frac{1}{3}(x-6)^2-1≥0$
整理得$x^2-10x+9≤0$，因式分解为$(x-1)(x-9)≤0$，解得$1≤ x≤9$。
$\because x$为1~12的正整数，$\therefore x$可取1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个月份，即有9个月不会亏损。
【答案】
(1)$y_1=\dfrac{1}{3}(x-6)^2+1$，$y_2=-\dfrac{2}{3}x+6$；(2)5月份；(3)9个
【知识点】
函数解析式求解，二次函数最值，不等式实际应用
【点评】
本题是函数与不等式结合的实际应用题，需要从图像中提取有效信息求函数解析式，再结合题意构建收益相关的函数或不等式求解，能够很好地考查学生的信息提取能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.65
