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二、填空题
7.已知抛物线$y=x^2 - 2(k+1)x + 4$的顶点在$y$轴上，则$k$的值是
7.已知抛物线$y=x^2 - 2(k+1)x + 4$的顶点在$y$轴上，则$k$的值是
-1
.答案
7.-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确抛物线顶点在y轴上的隐含条件：抛物线的对称轴为直线x=0（y轴对应的直线解析式为x=0）。对于二次函数一般式y=ax²+bx+c（a≠0），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，我们只需提取题目中二次函数对应的a、b系数，代入对称轴为0的条件列方程，即可求出k的值。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=x^2 - 2(k+1)x + 4$，属于二次函数一般式，其中$a=1$，$b=-2(k+1)$，$c=4$。
∵抛物线的顶点在y轴上，
∴抛物线的对称轴为直线$x=0$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$-\frac{-2(k+1)}{2×1}=0$
化简得：$k+1=0$
解得：$k=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察二次函数顶点位置与对称轴的对应关系，只要熟练掌握二次函数对称轴公式，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确抛物线顶点在y轴上的隐含条件：抛物线的对称轴为直线x=0（y轴对应的直线解析式为x=0）。对于二次函数一般式y=ax²+bx+c（a≠0），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，我们只需提取题目中二次函数对应的a、b系数，代入对称轴为0的条件列方程，即可求出k的值。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=x^2 - 2(k+1)x + 4$，属于二次函数一般式，其中$a=1$，$b=-2(k+1)$，$c=4$。
∵抛物线的顶点在y轴上，
∴抛物线的对称轴为直线$x=0$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$-\frac{-2(k+1)}{2×1}=0$
化简得：$k+1=0$
解得：$k=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察二次函数顶点位置与对称轴的对应关系，只要熟练掌握二次函数对称轴公式，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8.已知点$(-1,y_1),(3,y_2),(\dfrac{1}{2},y_3)$都在函数$y=x^2+2x+4$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_1＜y_3＜y_2$
.(用“＜”连接)答案
8.$y_1＜y_3＜y_2$
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，有两种常用思路：一是直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的值再比较大小；二是利用二次函数的性质判断：先确定二次函数的开口方向和对称轴，该二次函数$a=1＞0$，开口向上，图象上的点距离对称轴越远对应的函数值越大，也可结合对称轴右侧函数的增减性判断。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-1$代入$y=x^2+2x+4$，得：
$y_1=(-1)^2+2×(-1)+4=1-2+4=3$
将$x=3$代入$y=x^2+2x+4$，得：
$y_2=3^2+2×3+4=9+6+4=19$
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=x^2+2x+4$，得：
$y_3=(\frac{1}{2})^2+2×\frac{1}{2}+4=\frac{1}{4}+1+4=5.25$
因为$3＜5.25＜19$，所以$y_1＜y_3＜y_2$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=x^2+2x+4$中，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
可知当$x=-1$时函数取得最小值，即$y_1$是三个值中最小的；
且当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，因为$-1＜\frac{1}{2}＜3$，所以$y_3＜y_2$。
综上可得$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，两种解题方法都较为常用，代入法直观易懂，利用性质解题更高效，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性等性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，有两种常用思路：一是直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的值再比较大小；二是利用二次函数的性质判断：先确定二次函数的开口方向和对称轴，该二次函数$a=1＞0$，开口向上，图象上的点距离对称轴越远对应的函数值越大，也可结合对称轴右侧函数的增减性判断。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-1$代入$y=x^2+2x+4$，得：
$y_1=(-1)^2+2×(-1)+4=1-2+4=3$
将$x=3$代入$y=x^2+2x+4$，得：
$y_2=3^2+2×3+4=9+6+4=19$
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=x^2+2x+4$，得：
$y_3=(\frac{1}{2})^2+2×\frac{1}{2}+4=\frac{1}{4}+1+4=5.25$
因为$3＜5.25＜19$，所以$y_1＜y_3＜y_2$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=x^2+2x+4$中，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
可知当$x=-1$时函数取得最小值，即$y_1$是三个值中最小的；
且当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，因为$-1＜\frac{1}{2}＜3$，所以$y_3＜y_2$。
综上可得$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，两种解题方法都较为常用，代入法直观易懂，利用性质解题更高效，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性等性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
9.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙(墙足够长)，其余三边除门外用栅栏围成.若栅栏总长度为38 m，门宽为2 m，则这个矩形花圃的最大面积是
$200\ \mathrm{m}^2$
.答案
9.$200\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
本题是二次函数最值的实际应用问题，解题思路如下：1. 设垂直于墙的边长为自变量$x$；2. 结合栅栏总长和门宽，用含$x$的代数式表示平行于墙的边长：平行于墙的边长 = 栅栏总长+门宽 - 2倍垂直于墙的边长；3. 依据矩形面积公式列出面积关于$x$的二次函数关系式；4. 结合二次函数性质和自变量的实际取值范围，求出面积的最大值。
【解析】
解：设矩形花圃垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意可得，平行于墙的边长为$38+2-2x=(40-2x)\ \mathrm{m}$，自变量$x$满足$0＜x＜20$。
根据矩形面积公式列函数关系式：
$\begin{aligned}S&=x(40-2x)\\&=-2x^2+40x\\&=-2(x-10)^2+200\end{aligned}$
该二次函数$a=-2＜0$，开口向下，当$x=10$时（满足$0＜x＜20$），$S$取得最大值200。
【答案】
$200\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的最值应用，解题核心是准确梳理各边的数量关系，列出正确的面积函数表达式，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数最值的实际应用问题，解题思路如下：1. 设垂直于墙的边长为自变量$x$；2. 结合栅栏总长和门宽，用含$x$的代数式表示平行于墙的边长：平行于墙的边长 = 栅栏总长+门宽 - 2倍垂直于墙的边长；3. 依据矩形面积公式列出面积关于$x$的二次函数关系式；4. 结合二次函数性质和自变量的实际取值范围，求出面积的最大值。
【解析】
解：设矩形花圃垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意可得，平行于墙的边长为$38+2-2x=(40-2x)\ \mathrm{m}$，自变量$x$满足$0＜x＜20$。
根据矩形面积公式列函数关系式：
$\begin{aligned}S&=x(40-2x)\\&=-2x^2+40x\\&=-2(x-10)^2+200\end{aligned}$
该二次函数$a=-2＜0$，开口向下，当$x=10$时（满足$0＜x＜20$），$S$取得最大值200。
【答案】
$200\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的最值应用，解题核心是准确梳理各边的数量关系，列出正确的面积函数表达式，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10.已知抛物线$y=x^2 -bx +c$经过$A(-1,0),B(3,0)$两点.
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)P为抛物线上一点，若$S_{△ PAB}=10$，则点P的坐标为
10.已知抛物线$y=x^2 -bx +c$经过$A(-1,0),B(3,0)$两点.
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)P为抛物线上一点，若$S_{△ PAB}=10$，则点P的坐标为
$(-2,5)$或$(4,5)$
.答案
10.解：(1)$y=x^2-2x-3$.(2)$(-2,5)$或$(4,5)$
解析
【分析】
第(1)问：已知抛物线经过x轴上的两个交点A、B，可将两点坐标直接代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到解析式，也可利用交点式快速写出解析式再整理。
第(2)问：先计算线段AB的长度作为三角形的底，结合三角形面积公式求出AB边上的高，即点P纵坐标的绝对值；再结合二次函数的取值范围排除不符合的纵坐标值，最后将符合要求的纵坐标代入解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=x^2-bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}1 + b + c = 0 \\9 - 3b + c = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$8-4b=0$，解得$b=2$；
将$b=2$代入$1+b+c=0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 由$A(-1,0)$、$B(3,0)$可得$AB=3-(-1)=4$。
设点$P$的纵坐标为$m$，根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB×|m|=10$
代入$AB=4$，得$\frac{1}{2}×4×|m|=10$，解得$|m|=5$，即$m=5$或$m=-5$。
将抛物线解析式配方得$y=(x-1)^2-4$，可知抛物线的最小值为$-4$，因此$m=-5$不符合题意，舍去。
将$y=5$代入$y=x^2-2x-3$，得$x^2-2x-3=5$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
因此点$P$的坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$；(2)$(-2,5)$或$(4,5)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，核心是掌握待定系数法求解析式的方法，解决面积类问题时要注意点的纵坐标的绝对值对应高的长度，同时要结合二次函数的取值范围排除无效解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知抛物线经过x轴上的两个交点A、B，可将两点坐标直接代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到解析式，也可利用交点式快速写出解析式再整理。
第(2)问：先计算线段AB的长度作为三角形的底，结合三角形面积公式求出AB边上的高，即点P纵坐标的绝对值；再结合二次函数的取值范围排除不符合的纵坐标值，最后将符合要求的纵坐标代入解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=x^2-bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}1 + b + c = 0 \\9 - 3b + c = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$8-4b=0$，解得$b=2$；
将$b=2$代入$1+b+c=0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 由$A(-1,0)$、$B(3,0)$可得$AB=3-(-1)=4$。
设点$P$的纵坐标为$m$，根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB×|m|=10$
代入$AB=4$，得$\frac{1}{2}×4×|m|=10$，解得$|m|=5$，即$m=5$或$m=-5$。
将抛物线解析式配方得$y=(x-1)^2-4$，可知抛物线的最小值为$-4$，因此$m=-5$不符合题意，舍去。
将$y=5$代入$y=x^2-2x-3$，得$x^2-2x-3=5$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
因此点$P$的坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$；(2)$(-2,5)$或$(4,5)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，核心是掌握待定系数法求解析式的方法，解决面积类问题时要注意点的纵坐标的绝对值对应高的长度，同时要结合二次函数的取值范围排除无效解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
11.将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移k个单位长度，若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是
$k≥3$
。答案
11.$k≥3$
解析
【分析】
解题首先要掌握二次函数图象的平移规律：上下平移时对函数整体做加减（上加下减）。平移后抛物线与x轴有公共点，意味着平移后的抛物线对应的一元二次方程有实数根，可通过根的判别式Δ≥0建立不等式求解k的取值范围。步骤为：①写出平移后的抛物线解析式；②令y=0得到一元二次方程；③根据方程有实根列判别式不等式；④解不等式得结果。
【解析】
解：将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移$k$个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=x^2 -6x +12 -k$
∵平移后的抛物线与x轴有公共点
∴当$y=0$时，一元二次方程$x^2 -6x +12 -k=0$有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=12-k$
代入得：$\Delta = (-6)^2 -4×1×(12 -k) ≥ 0$
计算化简：
$36 - 48 +4k ≥ 0$
$4k ≥ 12$
解得：$k≥ 3$
【答案】
$k≥ 3$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数与x轴交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心是理解平移规则和二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，熟练运用判别式列不等式是解题的关键，是同类考点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题首先要掌握二次函数图象的平移规律：上下平移时对函数整体做加减（上加下减）。平移后抛物线与x轴有公共点，意味着平移后的抛物线对应的一元二次方程有实数根，可通过根的判别式Δ≥0建立不等式求解k的取值范围。步骤为：①写出平移后的抛物线解析式；②令y=0得到一元二次方程；③根据方程有实根列判别式不等式；④解不等式得结果。
【解析】
解：将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移$k$个单位长度后，所得抛物线的解析式为：
$y=x^2 -6x +12 -k$
∵平移后的抛物线与x轴有公共点
∴当$y=0$时，一元二次方程$x^2 -6x +12 -k=0$有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=12-k$
代入得：$\Delta = (-6)^2 -4×1×(12 -k) ≥ 0$
计算化简：
$36 - 48 +4k ≥ 0$
$4k ≥ 12$
解得：$k≥ 3$
【答案】
$k≥ 3$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数与x轴交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心是理解平移规则和二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，熟练运用判别式列不等式是解题的关键，是同类考点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
12.定义:对于一个函数,若自变量x取a时,函数值y也等于a,则称a是这个函数的“幸运数”.已知二次函数$y=x^2+4x+m$.
(1)若7是此函数的“幸运数”,则m的值为
(2)若此函数有两个相异的“幸运数”a,b,且$a＜3＜b$,则m的取值范围为
(1)若7是此函数的“幸运数”,则m的值为
-70
;(2)若此函数有两个相异的“幸运数”a,b,且$a＜3＜b$,则m的取值范围为
$m＜-18$
.答案
12.(1)$-70$ (2)$m＜-18$
解析
【分析】
首先理解“幸运数”的定义：若a是函数的“幸运数”，则x=a时函数值y=a，代入函数式可得到关于a和m的等式。(1)直接将a=7代入上述等式，即可求解m的值；(2)函数有两个相异的“幸运数”a、b，等价于方程x²+4x+m=x有两个不相等的实根a、b，整理得一元二次方程x²+3x+m=0，结合对应二次函数开口向上的性质，若a＜3＜b，说明3在两个根之间，因此x=3时二次函数的值小于0，列不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)根据“幸运数”的定义，当x=7时，y=7，代入二次函数$y=x^2+4x+m$得：
$\begin{aligned}7&=7^2 + 4×7 + m\\7&=49 + 28 + m\\7&=77 + m\\m&=7 - 77 = -70\end{aligned}$
(2)由“幸运数”定义可知，a、b满足$a^2+4a+m=a$，$b^2+4b+m=b$，整理得a、b是一元二次方程$x^2 + 3x + m = 0$的两个不相等的实根。
设二次函数$f(x)=x^2 + 3x + m$，该函数开口向上，
因为$a＜3＜b$，即3位于两个根之间，因此$f(3)＜0$，代入得：
$\begin{aligned}3^2 + 3×3 + m &＜ 0\\9 + 9 + m &＜ 0\\18 + m &＜ 0\\m &＜ -18\end{aligned}$
当$m＜-18$时，判别式$\Delta=3^2 - 4m=9 - 4m＞81＞0$，满足方程有两个相异实根的条件。
【答案】
(1)$-70$；(2)$m＜-18$
【知识点】
新定义问题，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的分布
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关性质，解题的核心是将新定义“幸运数”转化为熟悉的一元二次方程根的问题，结合二次函数的图像性质即可快速求解，要求学生具备一定的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先理解“幸运数”的定义：若a是函数的“幸运数”，则x=a时函数值y=a，代入函数式可得到关于a和m的等式。(1)直接将a=7代入上述等式，即可求解m的值；(2)函数有两个相异的“幸运数”a、b，等价于方程x²+4x+m=x有两个不相等的实根a、b，整理得一元二次方程x²+3x+m=0，结合对应二次函数开口向上的性质，若a＜3＜b，说明3在两个根之间，因此x=3时二次函数的值小于0，列不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)根据“幸运数”的定义，当x=7时，y=7，代入二次函数$y=x^2+4x+m$得：
$\begin{aligned}7&=7^2 + 4×7 + m\\7&=49 + 28 + m\\7&=77 + m\\m&=7 - 77 = -70\end{aligned}$
(2)由“幸运数”定义可知，a、b满足$a^2+4a+m=a$，$b^2+4b+m=b$，整理得a、b是一元二次方程$x^2 + 3x + m = 0$的两个不相等的实根。
设二次函数$f(x)=x^2 + 3x + m$，该函数开口向上，
因为$a＜3＜b$，即3位于两个根之间，因此$f(3)＜0$，代入得：
$\begin{aligned}3^2 + 3×3 + m &＜ 0\\9 + 9 + m &＜ 0\\18 + m &＜ 0\\m &＜ -18\end{aligned}$
当$m＜-18$时，判别式$\Delta=3^2 - 4m=9 - 4m＞81＞0$，满足方程有两个相异实根的条件。
【答案】
(1)$-70$；(2)$m＜-18$
【知识点】
新定义问题，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的分布
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关性质，解题的核心是将新定义“幸运数”转化为熟悉的一元二次方程根的问题，结合二次函数的图像性质即可快速求解，要求学生具备一定的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
