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6. 新情境 某城市大力推进智能物流园区建设，园区入口的自动感应门由抛物线和矩形的三边组成（如图），门的最大高度是4.9 m，AB=10 m，BC=2.4 m. 现有一个高为4 m、宽为2 m的智能仓储设备要进入园区，如果不考虑其他因素，设备的右侧离门边不少于多少米时，设备运进园区才不会碰到门的顶部？（
A.1.8 m
B.1.9 m
C.2 m
D.2.1 m
C
）A.1.8 m
B.1.9 m
C.2 m
D.2.1 m
答案
6.C
解析
【分析】
解决这类抛物线实际应用问题，首先要通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题。第一步合理选取坐标系，本题将AB中点设为原点、AB放在x轴上，可使抛物线对称轴为y轴，方便设顶点式解析式；第二步代入已知点坐标求出抛物线解析式；第三步根据设备高度求出对应抛物线的水平坐标，最后结合实际条件计算设备右侧离门边的最小距离。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点坐标为$(0,4.9)$，点C的坐标为$(5,2.4)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+4.9$，将$C(5,2.4)$代入解析式得：
$2.4=a×5^2 + 4.9$
解得$a=-0.1$，因此抛物线解析式为$y=-0.1x^2 + 4.9$。
当设备高度为4m时，令$y=4$，代入解析式得：
$4=-0.1x^2 +4.9$
整理得$x^2=9$，解得$x=3$（$x=-3$不符合右侧位置要求，舍去）。
即高度为4m时，抛物线对应点的横坐标最大为3，点B的横坐标为5，因此设备右侧到B点的最小距离为$5-3=2\ \mathrm{m}$，即设备的右侧离门边不少于2m时不会碰到门顶。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题结合智能物流园区的实际场景考查抛物线形问题的求解，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，能有效考查学生的数学建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
解决这类抛物线实际应用问题，首先要通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题。第一步合理选取坐标系，本题将AB中点设为原点、AB放在x轴上，可使抛物线对称轴为y轴，方便设顶点式解析式；第二步代入已知点坐标求出抛物线解析式；第三步根据设备高度求出对应抛物线的水平坐标，最后结合实际条件计算设备右侧离门边的最小距离。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点坐标为$(0,4.9)$，点C的坐标为$(5,2.4)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+4.9$，将$C(5,2.4)$代入解析式得：
$2.4=a×5^2 + 4.9$
解得$a=-0.1$，因此抛物线解析式为$y=-0.1x^2 + 4.9$。
当设备高度为4m时，令$y=4$，代入解析式得：
$4=-0.1x^2 +4.9$
整理得$x^2=9$，解得$x=3$（$x=-3$不符合右侧位置要求，舍去）。
即高度为4m时，抛物线对应点的横坐标最大为3，点B的横坐标为5，因此设备右侧到B点的最小距离为$5-3=2\ \mathrm{m}$，即设备的右侧离门边不少于2m时不会碰到门顶。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题结合智能物流园区的实际场景考查抛物线形问题的求解，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，能有效考查学生的数学建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
7. [2026 温州期中]某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用5根立柱将横杆AB六等分加固，相邻两根立柱的间距为$\frac{1}{5}$ m，OC的长为$\frac{3}{5}$ m.
(1)以O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则抛物线对应的函数解析式为
(2)为了安全考虑，现更改原先的设计方案，将立柱数量增加到7根(将横杆八等分)，并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度.
(1)以O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则抛物线对应的函数解析式为
$y=\frac{5}{3}x^2$
；(2)为了安全考虑，现更改原先的设计方案，将立柱数量增加到7根(将横杆八等分)，并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度.
答案
7.解：(1)$y=\frac{5}{3}x^2$ (2)至少还需要准备的钢筋长度为$\frac{11}{3}$ m
解析
【分析】
(1) 抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，开口向上，因此可设解析式为$y=ax^2(a≠0)$。原设计中AB被5根立柱六等分，相邻立柱间距为$\frac{1}{5}$m，因此AB端点的横坐标为$3×\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$，结合OC长$\frac{3}{5}$m可得端点坐标，代入解析式即可求出$a$的值。
(2) 钢筋总长度为横杆长度加所有立柱的总长度，立柱长度等于横杆纵坐标减去对应位置抛物线的函数值。先计算原设计的总钢筋长度，再计算新设计（7根立柱、八等分横杆、间距不变）的总钢筋长度，二者作差即为需要增加的钢筋长度。
【解析】
(1) 设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得，AB端点B的横坐标为$3×\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$，纵坐标等于OC的长度$\frac{3}{5}$，即$B(\frac{3}{5},\frac{3}{5})$。
将$B(\frac{3}{5},\frac{3}{5})$代入$y=ax^2$得：
$\frac{3}{5}=a·(\frac{3}{5})^2$，解得$a=\frac{5}{3}$，
因此抛物线解析式为$y=\frac{5}{3}x^2$。
(2) ① 计算原设计总钢筋长度：
原设计横杆AB长度为$6×\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$m，
5根立柱的横坐标分别为$\pm\frac{2}{5}、\pm\frac{1}{5}、0$，立柱长度为横杆纵坐标$\frac{3}{5}$减去对应位置抛物线的函数值：
$x=\pm\frac{1}{5}$时，$y=\frac{5}{3}×(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{15}$，单根立柱长$\frac{3}{5}-\frac{1}{15}=\frac{8}{15}$m，两根共$\frac{16}{15}$m；
$x=\pm\frac{2}{5}$时，$y=\frac{5}{3}×(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{15}$，单根立柱长$\frac{3}{5}-\frac{4}{15}=\frac{1}{3}$m，两根共$\frac{2}{3}$m；
$x=0$时，$y=0$，立柱长$\frac{3}{5}$m；
原立柱总长度为$\frac{16}{15}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{7}{3}$m，
原总钢筋长度为$\frac{6}{5}+\frac{7}{3}=\frac{53}{15}$m。
② 计算新设计总钢筋长度：
新设计横杆八等分，间距不变，横杆长度为$8×\frac{1}{5}=\frac{8}{5}$m，
横杆端点横坐标为$4×\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，代入抛物线得横杆纵坐标$y=\frac{5}{3}×(\frac{4}{5})^2=\frac{16}{15}$m，
7根立柱的横坐标分别为$\pm\frac{3}{5}、\pm\frac{2}{5}、\pm\frac{1}{5}、0$，立柱长度为$\frac{16}{15}$减去对应位置抛物线的函数值：
$x=\pm\frac{1}{5}$时，单根立柱长$\frac{16}{15}-\frac{1}{15}=1$m，两根共$2$m；
$x=\pm\frac{2}{5}$时，单根立柱长$\frac{16}{15}-\frac{4}{15}=\frac{4}{5}$m，两根共$\frac{8}{5}$m；
$x=\pm\frac{3}{5}$时，$y=\frac{3}{5}$，单根立柱长$\frac{16}{15}-\frac{9}{15}=\frac{7}{15}$m，两根共$\frac{14}{15}$m；
$x=0$时，立柱长$\frac{16}{15}$m；
新立柱总长度为$2+\frac{8}{5}+\frac{14}{15}+\frac{16}{15}=\frac{28}{5}$m，
新总钢筋长度为$\frac{8}{5}+\frac{28}{5}=\frac{36}{5}=\frac{108}{15}$m。
③ 需要增加的钢筋长度为$\frac{108}{15}-\frac{53}{15}=\frac{55}{15}=\frac{11}{3}$m。
【答案】
(1)$y=\frac{5}{3}x^2$；(2)$\frac{11}{3}$ m
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图像性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是正确求出抛物线解析式，明确立柱长度的计算方法，计算过程中需注意不要漏算线段，保证运算的准确性。
【难度系数】
0.65
(1) 抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，开口向上，因此可设解析式为$y=ax^2(a≠0)$。原设计中AB被5根立柱六等分，相邻立柱间距为$\frac{1}{5}$m，因此AB端点的横坐标为$3×\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$，结合OC长$\frac{3}{5}$m可得端点坐标，代入解析式即可求出$a$的值。
(2) 钢筋总长度为横杆长度加所有立柱的总长度，立柱长度等于横杆纵坐标减去对应位置抛物线的函数值。先计算原设计的总钢筋长度，再计算新设计（7根立柱、八等分横杆、间距不变）的总钢筋长度，二者作差即为需要增加的钢筋长度。
【解析】
(1) 设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得，AB端点B的横坐标为$3×\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$，纵坐标等于OC的长度$\frac{3}{5}$，即$B(\frac{3}{5},\frac{3}{5})$。
将$B(\frac{3}{5},\frac{3}{5})$代入$y=ax^2$得：
$\frac{3}{5}=a·(\frac{3}{5})^2$，解得$a=\frac{5}{3}$，
因此抛物线解析式为$y=\frac{5}{3}x^2$。
(2) ① 计算原设计总钢筋长度：
原设计横杆AB长度为$6×\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$m，
5根立柱的横坐标分别为$\pm\frac{2}{5}、\pm\frac{1}{5}、0$，立柱长度为横杆纵坐标$\frac{3}{5}$减去对应位置抛物线的函数值：
$x=\pm\frac{1}{5}$时，$y=\frac{5}{3}×(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{15}$，单根立柱长$\frac{3}{5}-\frac{1}{15}=\frac{8}{15}$m，两根共$\frac{16}{15}$m；
$x=\pm\frac{2}{5}$时，$y=\frac{5}{3}×(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{15}$，单根立柱长$\frac{3}{5}-\frac{4}{15}=\frac{1}{3}$m，两根共$\frac{2}{3}$m；
$x=0$时，$y=0$，立柱长$\frac{3}{5}$m；
原立柱总长度为$\frac{16}{15}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{7}{3}$m，
原总钢筋长度为$\frac{6}{5}+\frac{7}{3}=\frac{53}{15}$m。
② 计算新设计总钢筋长度：
新设计横杆八等分，间距不变，横杆长度为$8×\frac{1}{5}=\frac{8}{5}$m，
横杆端点横坐标为$4×\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，代入抛物线得横杆纵坐标$y=\frac{5}{3}×(\frac{4}{5})^2=\frac{16}{15}$m，
7根立柱的横坐标分别为$\pm\frac{3}{5}、\pm\frac{2}{5}、\pm\frac{1}{5}、0$，立柱长度为$\frac{16}{15}$减去对应位置抛物线的函数值：
$x=\pm\frac{1}{5}$时，单根立柱长$\frac{16}{15}-\frac{1}{15}=1$m，两根共$2$m；
$x=\pm\frac{2}{5}$时，单根立柱长$\frac{16}{15}-\frac{4}{15}=\frac{4}{5}$m，两根共$\frac{8}{5}$m；
$x=\pm\frac{3}{5}$时，$y=\frac{3}{5}$，单根立柱长$\frac{16}{15}-\frac{9}{15}=\frac{7}{15}$m，两根共$\frac{14}{15}$m；
$x=0$时，立柱长$\frac{16}{15}$m；
新立柱总长度为$2+\frac{8}{5}+\frac{14}{15}+\frac{16}{15}=\frac{28}{5}$m，
新总钢筋长度为$\frac{8}{5}+\frac{28}{5}=\frac{36}{5}=\frac{108}{15}$m。
③ 需要增加的钢筋长度为$\frac{108}{15}-\frac{53}{15}=\frac{55}{15}=\frac{11}{3}$m。
【答案】
(1)$y=\frac{5}{3}x^2$；(2)$\frac{11}{3}$ m
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图像性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是正确求出抛物线解析式，明确立柱长度的计算方法，计算过程中需注意不要漏算线段，保证运算的准确性。
【难度系数】
0.65
8. 能力训练点·探究建模 根据素材，完成任务.
素材1：一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状。为了美观，在半径为2.1 m的喷泉池四周种植了一圈宽度相等的花卉，
素材2：从喷水口A喷出的水柱呈抛物线形，是该喷泉喷水时的一个截面示意图。已知喷水口A离地面的高度为0.72 m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3 m处离地面最高，高度为0.75 m
问题解决
任务1：建立模型，以点O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式
任务2：利用模型，为了提高水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，则喷水口A升高的最小值为
任务3：分析计算，已知喷水口A升高的最大值为$\frac{7}{12}$ m，为了充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议
素材1：一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状。为了美观，在半径为2.1 m的喷泉池四周种植了一圈宽度相等的花卉，
素材2：从喷水口A喷出的水柱呈抛物线形，是该喷泉喷水时的一个截面示意图。已知喷水口A离地面的高度为0.72 m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3 m处离地面最高，高度为0.75 m
问题解决
任务1：建立模型，以点O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式
任务2：利用模型，为了提高水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，则喷水口A升高的最小值为
0.33
m任务3：分析计算，已知喷水口A升高的最大值为$\frac{7}{12}$ m，为了充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议
答案
8.解：任务1:$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+0.75$. 任务2:0.33 任务3:花卉的种植宽度不宜超过0.2 m.
解析
【分析】
1. 任务1求抛物线解析式：已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点A的坐标，优先设顶点式求解，代入点A坐标即可求出二次项系数，得到函数解析式。
2. 任务2求喷水口升高最小值：水柱形状不变说明二次项系数不变，抛物线仅沿竖直方向平移，要让水柱刚好喷到喷泉池边缘（即x=2.1时y=0），代入平移后的抛物线解析式求出平移高度，就是升高的最小值。
3. 任务3提种植宽度建议：已知升高的最大值，代入得到最高位置时的抛物线解析式，求y=0时对应的x值，该值减去喷泉池半径就是花卉种植的最大宽度，据此给出合理建议即可。
【解析】
任务1
由题意得抛物线的顶点坐标为$(0.3,0.75)$，设抛物线解析式为$y=a(x-0.3)^2+0.75(a≠0)$。
喷水口A的坐标为$(0,0.72)$，将其代入解析式得：
$0.72=a(0-0.3)^2+0.75$
解得$0.09a=-0.03$，即$a=-\frac{1}{3}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+0.75$。
---
任务2
设喷水口A升高$h$ m，水柱形状不变，抛物线仅向上平移$h$个单位，平移后解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+0.75+h$。
要喷灌到花卉，需水柱刚好落在喷泉池边缘，即$x=2.1$时$y=0$，代入得：
$0=-\frac{1}{3}×(2.1-0.3)^2+0.75+h$
计算得$0=-1.08+0.75+h$，解得$h=0.33$。
---
任务3
当喷水口A升高最大值为$\frac{7}{12}$ m时，抛物线顶点纵坐标为$0.75+\frac{7}{12}=\frac{4}{3}$，此时解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+\frac{4}{3}$。
令$y=0$求水柱落地的水平距离：
$0=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+\frac{4}{3}$
整理得$(x-0.3)^2=4$，解得$x_1=2.3$，$x_2=-1.7$（距离为正，舍去）。
喷泉池半径为2.1 m，所以花卉种植最大宽度为$2.3-2.1=0.2$ m，即花卉种植宽度不宜超过0.2 m。
【答案】
任务1：$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+0.75$；任务2：$\boldsymbol{0.33}$；任务3：花卉的种植宽度不宜超过0.2 m
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数平移；二次函数实际应用
【点评】
本题以喷泉喷灌为生活背景，考查二次函数的建模与应用，需要结合题意提取抛物线关键点坐标求解解析式，再利用函数性质解决实际最值问题，能够锻炼数学建模和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
1. 任务1求抛物线解析式：已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点A的坐标，优先设顶点式求解，代入点A坐标即可求出二次项系数，得到函数解析式。
2. 任务2求喷水口升高最小值：水柱形状不变说明二次项系数不变，抛物线仅沿竖直方向平移，要让水柱刚好喷到喷泉池边缘（即x=2.1时y=0），代入平移后的抛物线解析式求出平移高度，就是升高的最小值。
3. 任务3提种植宽度建议：已知升高的最大值，代入得到最高位置时的抛物线解析式，求y=0时对应的x值，该值减去喷泉池半径就是花卉种植的最大宽度，据此给出合理建议即可。
【解析】
任务1
由题意得抛物线的顶点坐标为$(0.3,0.75)$，设抛物线解析式为$y=a(x-0.3)^2+0.75(a≠0)$。
喷水口A的坐标为$(0,0.72)$，将其代入解析式得：
$0.72=a(0-0.3)^2+0.75$
解得$0.09a=-0.03$，即$a=-\frac{1}{3}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+0.75$。
---
任务2
设喷水口A升高$h$ m，水柱形状不变，抛物线仅向上平移$h$个单位，平移后解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+0.75+h$。
要喷灌到花卉，需水柱刚好落在喷泉池边缘，即$x=2.1$时$y=0$，代入得：
$0=-\frac{1}{3}×(2.1-0.3)^2+0.75+h$
计算得$0=-1.08+0.75+h$，解得$h=0.33$。
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任务3
当喷水口A升高最大值为$\frac{7}{12}$ m时，抛物线顶点纵坐标为$0.75+\frac{7}{12}=\frac{4}{3}$，此时解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+\frac{4}{3}$。
令$y=0$求水柱落地的水平距离：
$0=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+\frac{4}{3}$
整理得$(x-0.3)^2=4$，解得$x_1=2.3$，$x_2=-1.7$（距离为正，舍去）。
喷泉池半径为2.1 m，所以花卉种植最大宽度为$2.3-2.1=0.2$ m，即花卉种植宽度不宜超过0.2 m。
【答案】
任务1：$y=-\frac{1}{3}(x-0.3)^2+0.75$；任务2：$\boldsymbol{0.33}$；任务3：花卉的种植宽度不宜超过0.2 m
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数平移；二次函数实际应用
【点评】
本题以喷泉喷灌为生活背景，考查二次函数的建模与应用，需要结合题意提取抛物线关键点坐标求解解析式，再利用函数性质解决实际最值问题，能够锻炼数学建模和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
