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1.赵州桥作为世界闻名的古老石拱桥，历经千年风雨依然屹立不倒.如图，大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，若函数关系式为$y=-\frac{1}{25}x^2$，当水面宽度AB为20 m时，水面与拱顶的高度CO等于
4 m
.答案
1.4 m
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式$y=-\frac{1}{25}x^2$，可知其对称轴为y轴，因此A、B两点关于y轴对称。已知水面宽度AB为20m，可得A点横坐标为-10，B点横坐标为10。要求水面与拱顶的高度CO，就是求当$x=\pm10$时函数值的绝对值（高度为正数，此处函数值为负），将横坐标代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，AB为水面宽度，$AB=20\mathrm{m}$，
∴ 点B的横坐标为$20÷2=10$。
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×10^2=-\frac{1}{25}×100=-4$
∴ 点B的纵坐标为-4，即水面到x轴的距离为4m，
∵ 拱顶O在坐标原点，
∴ 水面与拱顶的高度$CO=|y|=4\mathrm{m}$。
【答案】
4 m
【知识点】
二次函数实际应用，抛物线对称性，求函数值
【点评】
本题考查抛物线形实际问题的求解，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，再代入函数解析式求出对应纵坐标，结合实际意义转化为所求高度即可。
【难度系数】
0.8
首先观察抛物线解析式$y=-\frac{1}{25}x^2$，可知其对称轴为y轴，因此A、B两点关于y轴对称。已知水面宽度AB为20m，可得A点横坐标为-10，B点横坐标为10。要求水面与拱顶的高度CO，就是求当$x=\pm10$时函数值的绝对值（高度为正数，此处函数值为负），将横坐标代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，AB为水面宽度，$AB=20\mathrm{m}$，
∴ 点B的横坐标为$20÷2=10$。
将$x=10$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×10^2=-\frac{1}{25}×100=-4$
∴ 点B的纵坐标为-4，即水面到x轴的距离为4m，
∵ 拱顶O在坐标原点，
∴ 水面与拱顶的高度$CO=|y|=4\mathrm{m}$。
【答案】
4 m
【知识点】
二次函数实际应用，抛物线对称性，求函数值
【点评】
本题考查抛物线形实际问题的求解，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对应点的横坐标，再代入函数解析式求出对应纵坐标，结合实际意义转化为所求高度即可。
【难度系数】
0.8
2.十七孔桥横跨于皇家园林湖泊之上，是颐和园的经典建筑之一.桥拱形状可近似看成二次函数图象的一部分，按如图所示建立坐标系，若在正常水位时水面宽$AB=30\ \mathrm{m}$，拱顶$O$到水面$AB$的距离为$9\ \mathrm{m}$，当水位上升$5\ \mathrm{m}$时，水面宽$CD$为
20
$\mathrm{m}.$答案
2.20
解析
【分析】
首先观察坐标系可知，抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设二次函数的顶点式为$y=ax^2(a≠0)$。第一步先根据已知的水面宽AB和拱顶到AB的距离确定点A的坐标，代入解析式求出a的值，得到二次函数的完整解析式；第二步根据水位上升的高度求出此时水面对应的纵坐标，代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是水面宽CD的长度。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
已知正常水位时水面宽$AB=30\ \mathrm{m}$，拱顶$O$到水面$AB$的距离为$9\ \mathrm{m}$，因此点$A$的坐标为$(-15,-9)$。
将$A(-15,-9)$代入$y=ax^2$得：
$-9=a×(-15)^2$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此二次函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$。
当水位上升$5\ \mathrm{m}$时，此时水面的纵坐标为$-9+5=-4$，将$y=-4$代入解析式得：
$-4=-\frac{1}{25}x^2$
解得$x=\pm10$，即点$C(-10,-4)$，点$D(10,-4)$。
因此水面宽$CD=10-(-10)=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是典型的抛物线形实际应用问题，解题的关键是结合坐标系特点选择简便的二次函数表达式，再利用已知条件求出解析式后代入对应值求解，解题过程要注意坐标的正负取值符合坐标系设定。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系可知，抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设二次函数的顶点式为$y=ax^2(a≠0)$。第一步先根据已知的水面宽AB和拱顶到AB的距离确定点A的坐标，代入解析式求出a的值，得到二次函数的完整解析式；第二步根据水位上升的高度求出此时水面对应的纵坐标，代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是水面宽CD的长度。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
已知正常水位时水面宽$AB=30\ \mathrm{m}$，拱顶$O$到水面$AB$的距离为$9\ \mathrm{m}$，因此点$A$的坐标为$(-15,-9)$。
将$A(-15,-9)$代入$y=ax^2$得：
$-9=a×(-15)^2$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此二次函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$。
当水位上升$5\ \mathrm{m}$时，此时水面的纵坐标为$-9+5=-4$，将$y=-4$代入解析式得：
$-4=-\frac{1}{25}x^2$
解得$x=\pm10$，即点$C(-10,-4)$，点$D(10,-4)$。
因此水面宽$CD=10-(-10)=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是典型的抛物线形实际应用问题，解题的关键是结合坐标系特点选择简便的二次函数表达式，再利用已知条件求出解析式后代入对应值求解，解题过程要注意坐标的正负取值符合坐标系设定。
【难度系数】
0.7
3.芜湖龙湾长江隧道建成通车后，驾车从隧道过江仅需5 min，隧道穿越障碍，缩短距离，是交通工程的重要通道.如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB为8 m，拱顶内高8 m.把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O是AB的中点).
(1)这条抛物线所对应的的函数解析式为
(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5 m、高4 m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？
(1)这条抛物线所对应的的函数解析式为
$y=-\frac{1}{2}x^2+8$
.(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5 m、高4 m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？
答案
3.解：(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+8$ (2)可以通过，理由略.
解析
【分析】
(1)要确定抛物线解析式，首先观察坐标系特征：抛物线顶点在y轴上，坐标为(0,8)，且过点B(4,0)，因此选择顶点式设解析式更简便，代入已知点即可求出未知系数。
(2)判断卡车能否通过，核心是比较卡车最外侧位置对应的隧道高度与卡车高度：双向通行时，卡车宽2.5m，即卡车最外侧距离中心线y轴的水平距离为2.5m，将x=2.5代入解析式求出对应y值，若y值大于卡车高度4m则可以通过，反之不能。
【解析】
(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为C(0,8)，点B坐标为(4,0)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+8$。
将B(4,0)代入解析式得：$0=a×4^2+8$，
即$16a+8=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+8$。
(2)可以通过，理由如下：
货运卡车宽2.5m，双向通行时，卡车最外侧距离隧道中心线（y轴）的水平距离为2.5m，即$x=2.5$。
将$x=2.5$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{2}×(2.5)^2+8=4.875(\mathrm{m})$。
因为$4.875\mathrm{m}＞4\mathrm{m}$，即该位置隧道高度大于卡车高度，所以该货运卡车可以通过。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+8$
(2)可以通过
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合坐标系特点选择合适的解析式形式，再将实际问题中的数量关系转化为二次函数的相关计算，考察了学生将实际问题转化为数学问题的能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)要确定抛物线解析式，首先观察坐标系特征：抛物线顶点在y轴上，坐标为(0,8)，且过点B(4,0)，因此选择顶点式设解析式更简便，代入已知点即可求出未知系数。
(2)判断卡车能否通过，核心是比较卡车最外侧位置对应的隧道高度与卡车高度：双向通行时，卡车宽2.5m，即卡车最外侧距离中心线y轴的水平距离为2.5m，将x=2.5代入解析式求出对应y值，若y值大于卡车高度4m则可以通过，反之不能。
【解析】
(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为C(0,8)，点B坐标为(4,0)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+8$。
将B(4,0)代入解析式得：$0=a×4^2+8$，
即$16a+8=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+8$。
(2)可以通过，理由如下：
货运卡车宽2.5m，双向通行时，卡车最外侧距离隧道中心线（y轴）的水平距离为2.5m，即$x=2.5$。
将$x=2.5$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{2}×(2.5)^2+8=4.875(\mathrm{m})$。
因为$4.875\mathrm{m}＞4\mathrm{m}$，即该位置隧道高度大于卡车高度，所以该货运卡车可以通过。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+8$
(2)可以通过
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合坐标系特点选择合适的解析式形式，再将实际问题中的数量关系转化为二次函数的相关计算，考察了学生将实际问题转化为数学问题的能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
4. 跨学科·物理 “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理形成图像.如图，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，水柱的最高点为 $ P $，$ AB = 2 \, \mathrm{m} $，$ BP = 9 \, \mathrm{m} $，水嘴高 $ AD = 5 \, \mathrm{m} $，则水柱落地点 $ C $ 到水嘴所在墙的距离 $ AC $ 是
5
m. 答案
5
解析
【分析】要解决这个问题，我们可以借助二次函数模型求解：首先合理建立平面直角坐标系，利用抛物线的顶点坐标设出顶点式解析式，再代入已知的水嘴端点D的坐标求出解析式的未知参数，最后根据落地点纵坐标为0求出点C的横坐标，即可计算得到AC的长度。
【解析】解：以点B为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点P坐标为$(0,9)$，因此设抛物线的解析式为$y=ax^2+9(a≠0)$。
已知$AB=2\,\mathrm{m}$，$AD=5\,\mathrm{m}$，可得点D的坐标为$(-2,5)$，将D点坐标代入解析式：
$\begin{aligned}5&=a×(-2)^2+9\\4a&=-4\\a&=-1\end{aligned}$
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+9$。
水柱落地点C的纵坐标为0，令$y=0$，则：
$\begin{aligned}0&=-x^2+9\\x^2&=9\end{aligned}$
解得$x_1=3$，$x_2=-3$（不符合实际，舍去），即$BC=3\,\mathrm{m}$。
因此$AC=AB+BC=2+3=5\,\mathrm{m}$。
【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用；抛物线顶点式；平面直角坐标系建立
【点评】本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是根据抛物线的特征合理建立坐标系简化计算，同时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】0.7
【解析】解：以点B为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点P坐标为$(0,9)$，因此设抛物线的解析式为$y=ax^2+9(a≠0)$。
已知$AB=2\,\mathrm{m}$，$AD=5\,\mathrm{m}$，可得点D的坐标为$(-2,5)$，将D点坐标代入解析式：
$\begin{aligned}5&=a×(-2)^2+9\\4a&=-4\\a&=-1\end{aligned}$
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+9$。
水柱落地点C的纵坐标为0，令$y=0$，则：
$\begin{aligned}0&=-x^2+9\\x^2&=9\end{aligned}$
解得$x_1=3$，$x_2=-3$（不符合实际，舍去），即$BC=3\,\mathrm{m}$。
因此$AC=AB+BC=2+3=5\,\mathrm{m}$。
【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用；抛物线顶点式；平面直角坐标系建立
【点评】本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是根据抛物线的特征合理建立坐标系简化计算，同时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】0.7
5. 新情境 合肥天鹅湖有一个著名的景点——音乐喷泉，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化.某种音乐喷泉喷出的水线形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线$y=kx$上变动，从而产生一组不同的抛物线(如图)，这组抛物线的统一形式为$y=ax^2+bx$.
(1)若已知$k=1$，且喷出的抛物线水线的最大高度达3 m，求此时$a$，$b$的值；
(2)若$k=1$，喷出的水恰好到达岸边，求此时喷出的抛物线水线的最大高度.
(1)若已知$k=1$，且喷出的抛物线水线的最大高度达3 m，求此时$a$，$b$的值；
(2)若$k=1$，喷出的水恰好到达岸边，求此时喷出的抛物线水线的最大高度.
答案
5.解：(1)$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{3},\\ b=2. \end{cases}$ (2)此时喷出的抛物线水线的最大高度为9 m.
解析
【分析】
本题为二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：（1）抛物线的最大高度对应顶点的纵坐标，已知顶点在直线$y=kx$上，当$k=1$时顶点横、纵坐标相等，结合最大高度为3m可直接得到顶点坐标，再利用抛物线过原点的性质代入即可求$a$、$b$的值；（2）水恰好到岸边说明抛物线过点$(18,0)$，结合顶点在$y=x$上、抛物线过原点两个条件，联立即可求出顶点纵坐标，也就是水线的最大高度。
【解析】
(1) 已知抛物线水线最大高度为3m，即顶点纵坐标为3，又$k=1$，顶点在直线$y=x$上，因此顶点横坐标也为3，即顶点坐标为$(3,3)$。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-3)^2+3$，
∵抛物线过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入得：
$0=a(0-3)^2+3$，即$9a+3=0$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$，
将顶点式展开得：$y=-\dfrac{1}{3}(x^2-6x+9)+3=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$，
对比统一形式$y=ax^2+bx$，可得$b=2$。
(2)
∵出水口离岸边18m，喷出的水恰好到达岸边，
∴抛物线过点$(18,0)$，
又$k=1$，设顶点坐标为$(h,h)$，则抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+h$，
∵抛物线过原点$(0,0)$，代入得：$0=a h^2 + h$ ①，
将点$(18,0)$代入顶点式得：$0=a(18-h)^2 + h$ ②，
联立①②可得：$a h^2 + h = a(18-h)^2 + h$，
化简得：$h^2=(18-h)^2$，解得$h=9$，
顶点纵坐标$h$即为抛物线水线的最大高度。
【答案】
(1)$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{3}\\ b=2 \end{cases}$
(2)$9\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的顶点式、二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是抓住抛物线过原点、顶点在给定直线上的特征，合理选用顶点式简化计算，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
本题为二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：（1）抛物线的最大高度对应顶点的纵坐标，已知顶点在直线$y=kx$上，当$k=1$时顶点横、纵坐标相等，结合最大高度为3m可直接得到顶点坐标，再利用抛物线过原点的性质代入即可求$a$、$b$的值；（2）水恰好到岸边说明抛物线过点$(18,0)$，结合顶点在$y=x$上、抛物线过原点两个条件，联立即可求出顶点纵坐标，也就是水线的最大高度。
【解析】
(1) 已知抛物线水线最大高度为3m，即顶点纵坐标为3，又$k=1$，顶点在直线$y=x$上，因此顶点横坐标也为3，即顶点坐标为$(3,3)$。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-3)^2+3$，
∵抛物线过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入得：
$0=a(0-3)^2+3$，即$9a+3=0$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$，
将顶点式展开得：$y=-\dfrac{1}{3}(x^2-6x+9)+3=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$，
对比统一形式$y=ax^2+bx$，可得$b=2$。
(2)
∵出水口离岸边18m，喷出的水恰好到达岸边，
∴抛物线过点$(18,0)$，
又$k=1$，设顶点坐标为$(h,h)$，则抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+h$，
∵抛物线过原点$(0,0)$，代入得：$0=a h^2 + h$ ①，
将点$(18,0)$代入顶点式得：$0=a(18-h)^2 + h$ ②，
联立①②可得：$a h^2 + h = a(18-h)^2 + h$，
化简得：$h^2=(18-h)^2$，解得$h=9$，
顶点纵坐标$h$即为抛物线水线的最大高度。
【答案】
(1)$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{3}\\ b=2 \end{cases}$
(2)$9\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的顶点式、二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是抓住抛物线过原点、顶点在给定直线上的特征，合理选用顶点式简化计算，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
