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任务2 探究球面与平面
请你举一个生活中常见的例子，说明为什么球面不能像一张纸那样完全平整地贴到桌面上。
请你举一个生活中常见的例子，说明为什么球面不能像一张纸那样完全平整地贴到桌面上。
答案
把完整的橘子皮(曲面或球面一部分)剥下来,想平铺在桌面,一定会出现褶皱、裂口,不能完全平整贴合桌面.(举例不唯一)
解析
【分析】首先明确球面与平面的几何特性差异：球面是具有正曲率的曲面，平面曲率为0，二者几何结构不同。尝试将球面（或球面部分）平铺到平面时，因曲率不匹配，无法保持原有形状，会出现褶皱或裂口，结合生活中常见的球面类物品举例即可。
【解析】球面属于曲面，具备非零曲率，而桌面是曲率为0的平面，二者几何结构存在本质差异。若将完整的橘子皮（球面的一部分）剥下后平铺在桌面，为贴合平面，橘子皮的曲面结构需被拉伸或压缩，这会导致其出现褶皱、裂口，无法完全平整贴合桌面，因此球面不能像平面的纸那样平整贴到桌面。
【答案】把完整的橘子皮(曲面或球面一部分)剥下来,想平铺在桌面,一定会出现褶皱、裂口,不能完全平整贴合桌面.(举例不唯一)
【知识点】曲面的曲率、平面的几何特性
【点评】本题结合生活实例考查球面与平面的几何差异，贴近日常，能帮助学生将抽象几何概念与实际生活关联，难度适中。
【难度系数】0.3
【解析】球面属于曲面，具备非零曲率，而桌面是曲率为0的平面，二者几何结构存在本质差异。若将完整的橘子皮（球面的一部分）剥下后平铺在桌面，为贴合平面，橘子皮的曲面结构需被拉伸或压缩，这会导致其出现褶皱、裂口，无法完全平整贴合桌面，因此球面不能像平面的纸那样平整贴到桌面。
【答案】把完整的橘子皮(曲面或球面一部分)剥下来,想平铺在桌面,一定会出现褶皱、裂口,不能完全平整贴合桌面.(举例不唯一)
【知识点】曲面的曲率、平面的几何特性
【点评】本题结合生活实例考查球面与平面的几何差异，贴近日常，能帮助学生将抽象几何概念与实际生活关联，难度适中。
【难度系数】0.3
任务3 认识圆柱投影
该实践小组同学经查阅资料，了解到一种常见的地图投影——圆柱投影：假想一个圆柱面包围地球，与地球相切或相割，把经纬网投影到圆柱面上，再沿一条母线剪开、展平为平面.
①在赤道上的点，投影到圆柱上后，它的位置
②在北纬$60°$处，有一条纬线圆，它的实际半径是
该实践小组同学经查阅资料，了解到一种常见的地图投影——圆柱投影：假想一个圆柱面包围地球，与地球相切或相割，把经纬网投影到圆柱面上，再沿一条母线剪开、展平为平面.
①在赤道上的点，投影到圆柱上后，它的位置
没有移动
（填“发生移动”或“没有移动”），原因是赤道正好与圆柱面相切
；②在北纬$60°$处，有一条纬线圆，它的实际半径是
3 189
km（取地球半径$R=6378$km；这条$60°$纬线圆被投影到圆柱上后，会变成与赤道一样大的圆（因为圆柱的半径就是$R$），则投影后，这条纬线的长度被放大了2
倍.答案
① 没有移动 赤道正好与圆柱面相切
②3 189 2
②3 189 2
解析
【分析】
本题考查圆柱投影的相关知识，解题思路如下：①对于赤道上点的投影位置，需明确圆柱投影中圆柱面与地球的位置关系，赤道是圆柱面与地球的相切线，相切处投影无变形，因此位置不变；②计算北纬60°纬线的实际半径，需利用纬线半径公式$ r=R\cosθ $（$ R $为地球半径，$ θ $为纬度），再结合投影后纬线长度与实际长度的关系，计算放大倍数。
【解析】
① 圆柱投影中，圆柱面包围地球时，赤道是圆柱面与地球的相切线，相切处的投影不会发生变形，因此赤道上的点投影到圆柱上后，位置没有移动。
② 纬线的实际半径公式为$ r = R\cosθ $，代入$ R=6378\ \mathrm{km} $，$ θ=60° $，$ \cos60°=0.5 $，可得实际半径$ r=6378×0.5=3189\ \mathrm{km} $；北纬60°纬线的实际长度为$ L_{\mathrm{实}}=2π r $，投影后圆柱的半径为$ R $，投影后的纬线长度为$ L_{\mathrm{投}}=2π R $，放大倍数为$ \frac{L_{\mathrm{投}}}{L_{\mathrm{实}}}=\frac{2π R}{2π r}=\frac{R}{r}=\frac{6378}{3189}=2 $。
【答案】
① 没有移动；赤道正好与圆柱面相切
② 3189；2
【知识点】
圆柱投影；纬线半径计算；投影变形
【点评】
本题结合圆柱投影的实践场景，考查投影原理和地理计算，需掌握相切投影的特点及纬线半径公式，难度适中，适合考查学生对地理投影知识的基础应用能力。
【难度系数】
0.6
本题考查圆柱投影的相关知识，解题思路如下：①对于赤道上点的投影位置，需明确圆柱投影中圆柱面与地球的位置关系，赤道是圆柱面与地球的相切线，相切处投影无变形，因此位置不变；②计算北纬60°纬线的实际半径，需利用纬线半径公式$ r=R\cosθ $（$ R $为地球半径，$ θ $为纬度），再结合投影后纬线长度与实际长度的关系，计算放大倍数。
【解析】
① 圆柱投影中，圆柱面包围地球时，赤道是圆柱面与地球的相切线，相切处的投影不会发生变形，因此赤道上的点投影到圆柱上后，位置没有移动。
② 纬线的实际半径公式为$ r = R\cosθ $，代入$ R=6378\ \mathrm{km} $，$ θ=60° $，$ \cos60°=0.5 $，可得实际半径$ r=6378×0.5=3189\ \mathrm{km} $；北纬60°纬线的实际长度为$ L_{\mathrm{实}}=2π r $，投影后圆柱的半径为$ R $，投影后的纬线长度为$ L_{\mathrm{投}}=2π R $，放大倍数为$ \frac{L_{\mathrm{投}}}{L_{\mathrm{实}}}=\frac{2π R}{2π r}=\frac{R}{r}=\frac{6378}{3189}=2 $。
【答案】
① 没有移动；赤道正好与圆柱面相切
② 3189；2
【知识点】
圆柱投影；纬线半径计算；投影变形
【点评】
本题结合圆柱投影的实践场景，考查投影原理和地理计算，需掌握相切投影的特点及纬线半径公式，难度适中，适合考查学生对地理投影知识的基础应用能力。
【难度系数】
0.6
任务4 探究面积变形
在圆柱投影中,为了保持地图上小区域的形状不变,在东西方向和南北方向采用相同的放大倍数$(\dfrac{1}{\cos \varphi},\varphi $表示当地的纬度$ )$,则赤道处制成平面地图后面积________（填“放大”“不变”或“缩小”）；
纬度越高,面积放大倍数________（填“越大”或“越小”）.（提示：$\cos 0°=1$）
在圆柱投影中,为了保持地图上小区域的形状不变,在东西方向和南北方向采用相同的放大倍数$(\dfrac{1}{\cos \varphi},\varphi $表示当地的纬度$ )$,则赤道处制成平面地图后面积________（填“放大”“不变”或“缩小”）；
纬度越高,面积放大倍数________（填“越大”或“越小”）.（提示：$\cos 0°=1$）
答案
不变 越大
解析
【分析】
要解决该问题，需明确面积放大倍数是东西方向与南北方向放大倍数的乘积。已知圆柱投影中东西、南北方向的放大倍数均为$\frac{1}{\cos\varphi}$（$\varphi$为当地纬度），因此面积放大倍数为两个方向放大倍数的乘积，结合不同纬度的余弦值特点分析即可。
【解析】
1. 推导面积放大倍数：面积是长度与宽度的乘积，东西和南北方向的放大倍数均为$\frac{1}{\cos\varphi}$，因此面积放大倍数为$\frac{1}{\cos\varphi} × \frac{1}{\cos\varphi} = \frac{1}{\cos^2\varphi}$。
2. 判断赤道处的面积变化：赤道处纬度$\varphi=0°$，$\cos0°=1$，代入面积放大倍数公式得$\frac{1}{1^2}=1$，说明面积与原面积相等，故面积不变。
3. 判断纬度越高时的面积放大倍数：纬度越高，$\varphi$越大，$\cos\varphi$的值越小，$\frac{1}{\cos^2\varphi}$的值越大，因此面积放大倍数越大。
【答案】
不变；越大
【知识点】
三角函数的应用，面积放大倍数计算
【点评】
本题结合圆柱投影的实际场景，考查三角函数性质在地理问题中的应用，核心是理解面积放大倍数为两个方向放大倍数的乘积，再通过余弦值的变化规律分析结果，属于中等应用类题目。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需明确面积放大倍数是东西方向与南北方向放大倍数的乘积。已知圆柱投影中东西、南北方向的放大倍数均为$\frac{1}{\cos\varphi}$（$\varphi$为当地纬度），因此面积放大倍数为两个方向放大倍数的乘积，结合不同纬度的余弦值特点分析即可。
【解析】
1. 推导面积放大倍数：面积是长度与宽度的乘积，东西和南北方向的放大倍数均为$\frac{1}{\cos\varphi}$，因此面积放大倍数为$\frac{1}{\cos\varphi} × \frac{1}{\cos\varphi} = \frac{1}{\cos^2\varphi}$。
2. 判断赤道处的面积变化：赤道处纬度$\varphi=0°$，$\cos0°=1$，代入面积放大倍数公式得$\frac{1}{1^2}=1$，说明面积与原面积相等，故面积不变。
3. 判断纬度越高时的面积放大倍数：纬度越高，$\varphi$越大，$\cos\varphi$的值越小，$\frac{1}{\cos^2\varphi}$的值越大，因此面积放大倍数越大。
【答案】
不变；越大
【知识点】
三角函数的应用，面积放大倍数计算
【点评】
本题结合圆柱投影的实际场景，考查三角函数性质在地理问题中的应用，核心是理解面积放大倍数为两个方向放大倍数的乘积，再通过余弦值的变化规律分析结果，属于中等应用类题目。
【难度系数】
0.5
任务5 选择合适投影方法
请查阅资料，了解制作平面地图的其他方法——等积投影和方位投影，并回答问题：比较各个国家或大洲的实际面积大小，最合适的投影方法为
请查阅资料，了解制作平面地图的其他方法——等积投影和方位投影，并回答问题：比较各个国家或大洲的实际面积大小，最合适的投影方法为
等积投影
；表现北极地区的地形，要求极点附近变形小，最合适的投影方法为方位投影
；远洋航行，需要沿一条固定方向航线（等角航线）前进，最合适的投影方法为圆柱投影
。（填“圆柱投影”“等积投影”或“方位投影”）答案
等积投影 方位投影 圆柱投影
解析
【分析】
本题考查不同地图投影方法的特性及适用场景，解题思路是先明确三种投影的核心特点，再结合每个问题的需求匹配对应投影：1. 比较面积需投影保持面积比例与实际一致，对应等积投影；2. 表现极点附近地形且变形小，对应中心区域变形极小的方位投影；3. 远洋航行需等角航线，对应能保持方向不变的圆柱投影。
【解析】
1. 等积投影的核心是保持各地理要素的面积比例与实际相符，因此比较国家或大洲实际面积时，最合适的投影为等积投影；2. 方位投影以某点为中心投影到平面，中心区域（如极点）变形极小，适合表现北极地区且极点附近变形小的需求；3. 圆柱投影中的等角圆柱投影可保持方向不变，远洋航行的等角航线在该投影上表现为直线，因此适合远洋航行的投影为圆柱投影。
【答案】
等积投影 方位投影 圆柱投影
【知识点】
地图投影 等积投影 方位投影
【点评】
本题结合实际应用场景考查地图投影的特性，侧重知识的实际运用，需准确掌握不同投影的适用场景。
【难度系数】
0.5
本题考查不同地图投影方法的特性及适用场景，解题思路是先明确三种投影的核心特点，再结合每个问题的需求匹配对应投影：1. 比较面积需投影保持面积比例与实际一致，对应等积投影；2. 表现极点附近地形且变形小，对应中心区域变形极小的方位投影；3. 远洋航行需等角航线，对应能保持方向不变的圆柱投影。
【解析】
1. 等积投影的核心是保持各地理要素的面积比例与实际相符，因此比较国家或大洲实际面积时，最合适的投影为等积投影；2. 方位投影以某点为中心投影到平面，中心区域（如极点）变形极小，适合表现北极地区且极点附近变形小的需求；3. 圆柱投影中的等角圆柱投影可保持方向不变，远洋航行的等角航线在该投影上表现为直线，因此适合远洋航行的投影为圆柱投影。
【答案】
等积投影 方位投影 圆柱投影
【知识点】
地图投影 等积投影 方位投影
【点评】
本题结合实际应用场景考查地图投影的特性，侧重知识的实际运用，需准确掌握不同投影的适用场景。
【难度系数】
0.5
