【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究.
【探究发现】如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC.
(1)操作发现:将△ABC折叠，使点C落在边BA上的点E处，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝°,设AC＝2，BC＝x，则DC＝;(用含x的式子表示)
(2)进一步探究发现:顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个比值被称为黄金比，这个三角形叫作黄金三角形.请在(1)的条件下，求证:$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
【拓展应用】(3)如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，AB＝4.求这个菱形较长对角线的长.

(1)72 2−x
(2)证明略.
(3)这个菱形较长对角线的长BD为2+2√5.

【分析】
(1)先根据等腰三角形内角关系求△ABC的底角，再结合折叠的全等性质推导角度关系，即可求出∠BDE；通过等角对等边得出线段等量关系，进而用含x的式子表示DC。
(2)先证明△BCD与△ACB相似，得到对应边成比例，代入边长列一元二次方程求解，即可验证黄金比。
(3)先利用菱形的性质得到等腰△ABD，构造含36°角的等腰三角形，通过相似三角形的比例关系列方程，即可求出较长对角线的长度。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠A=36°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
由折叠性质得$△ BCD≌△ BED$，
∴$BC=BE=x$，$CD=DE$，$∠ BED=∠ C=72°$，$∠ BDE=∠ BDC$。
∵$∠ BED$是$△ AED$的外角，
∴$∠ BED=∠ A+∠ ADE$，即$72°=36°+∠ ADE$，得$∠ ADE=36°$，
∴$∠ EDC=180°-∠ ADE=144°$，故$∠ BDE=\frac{1}{2}∠ EDC=72°$。
又
∵$∠ ADE=∠ A=36°$，
∴$AE=DE$，
∵$AC=AB=2$，$BE=x$，
∴$AE=AB-BE=2-x$，故$DC=DE=2-x$。
(2)证明：由(1)得$∠ BDC=72°$，
∴$∠ DBC=180°-∠ C-∠ BDC=36°$，即$∠ DBC=∠ A=36°$。
又
∵$∠ C=∠ C$，
∴$△ BCD∽△ ACB$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=AC· CD$。
将$AC=2$，$BC=x$，$CD=2-x$代入得$x^2=2(2-x)$，整理得$x^2+2x-4=0$。
解得$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
∵$x$为边长，取正值，
∴$x=\sqrt{5}-1$，故$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，得证。
(3)解：连接$BD$，
∵四边形$ABCD$是菱形，$∠ ABC=72°$，
∴$AB=AD=4$，$∠ BAD=180°-72°=108°$，
∴$∠ ABD=∠ ADB=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
在$BD$上取点$E$，使$BE=AE$，则$∠ EAB=∠ ABD=36°$，
∴$∠ AED=∠ EAB+∠ ABD=72°$，$∠ EAD=∠ BAD-∠ EAB=72°$，
∴$∠ AED=∠ EAD$，得$AD=ED=4$。
设$BE=x$，则$AE=x$，$BD=x+4$。
∵$∠ ABD$为公共角，$∠ BAE=∠ ADB=36°$，
∴$△ ABE∽△ DBA$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BE}{AB}$，即$AB^2=BE· BD$。
代入$AB=4$得$16=x(x+4)$，整理得$x^2+4x-16=0$，解得$x=\frac{-4\pm\sqrt{16+64}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$，取正值得$x=2\sqrt{5}-2$。
∴$BD=x+4=2\sqrt{5}-2+4=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$72$；$2-x$
(2)证明见解析
(3)$2+2\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形性质，折叠的性质，相似三角形判定与性质
【点评】
本题以黄金三角形探究为载体，综合考查了几何变换、相似三角形、方程思想的应用，解题核心是抓住等腰三角形的角度特征，找到相似关系列方程求解，体现了数学知识与实际情境的结合。
【难度系数】
0.6