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三、解答题
16. 在给出的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
(1) $y=-\dfrac{x}{4}$；
(2) $y=2-3x$；
(3) $y=-\dfrac{3}{x}$。
16. 在给出的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
(1) $y=-\dfrac{x}{4}$；
(2) $y=2-3x$；
(3) $y=-\dfrac{3}{x}$。
答案
解：
画函数图象采用列表、描点、连线的方法，具体操作如下：
(1) 正比例函数$y=-\dfrac{x}{4}$：
取两组对应值：当$x=0$时，$y=0$；当$x=4$时，$y=-1$。
在平面直角坐标系中描出点$(0,0)$和$(4,-1)$，过这两点作直线，所得直线即为$y=-\dfrac{x}{4}$的图象。
(2) 一次函数$y=2-3x$：
取两组对应值：当$x=0$时，$y=2$；当$x=1$时，$y=-1$。
在平面直角坐标系中描出点$(0,2)$和$(1,-1)$，过这两点作直线，所得直线即为$y=2-3x$的图象。
(3) 反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$：
列表取点：
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ |
|-----|------|------|-----|-----|
| $y$ | $1$ | $3$ | $-3$| $-1$|
在平面直角坐标系的第二象限、第四象限内分别描出上述点，用平滑的曲线顺次连接各点，得到两支分别位于第二、第四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{3}{x}$的图象。
画函数图象采用列表、描点、连线的方法，具体操作如下：
(1) 正比例函数$y=-\dfrac{x}{4}$：
取两组对应值：当$x=0$时，$y=0$；当$x=4$时，$y=-1$。
在平面直角坐标系中描出点$(0,0)$和$(4,-1)$，过这两点作直线，所得直线即为$y=-\dfrac{x}{4}$的图象。
(2) 一次函数$y=2-3x$：
取两组对应值：当$x=0$时，$y=2$；当$x=1$时，$y=-1$。
在平面直角坐标系中描出点$(0,2)$和$(1,-1)$，过这两点作直线，所得直线即为$y=2-3x$的图象。
(3) 反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$：
列表取点：
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ |
|-----|------|------|-----|-----|
| $y$ | $1$ | $3$ | $-3$| $-1$|
在平面直角坐标系的第二象限、第四象限内分别描出上述点，用平滑的曲线顺次连接各点，得到两支分别位于第二、第四象限的双曲线，即为$y=-\dfrac{3}{x}$的图象。
解析
【分析】
要画出函数图象，遵循“列表、描点、连线”的基本步骤：①首先判断函数类型，正比例函数、一次函数的图象是直线，只需选取2个易计算的点即可确定直线；反比例函数的图象是双曲线，分布在两个象限，需要在正负半轴各取多个点，且注意x不能为0。②选取点时优先取x或y为0的点、整数值的点，降低计算和描点的难度。③连线时，直线类函数直接过两点画直线，反比例函数用平滑曲线连接同象限的点，注意曲线不与坐标轴相交。
【解析】
按照列表、描点、连线的方法分别绘制三个函数的图象：
(1) 对于正比例函数$y=-\dfrac{x}{4}$：
列表取点：当$x=0$时，$y=0$；当$x=4$时，$y=-1$，得到点$(0,0)$、$(4,-1)$。
在坐标系中描出这两个点，过两点作直线，该直线就是$y=-\dfrac{x}{4}$的图象。
(2) 对于一次函数$y=2-3x$：
列表取点：当$x=0$时，$y=2$；当$x=1$时，$y=-1$，得到点$(0,2)$、$(1,-1)$。
在坐标系中描出这两个点，过两点作直线，该直线就是$y=2-3x$的图象。
(3) 对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$：
列表取点：
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ |
|-----|------|------|-----|-----|
| $y$ | $1$ | $3$ | $-3$| $-1$|
在坐标系第二象限描出$(-3,1)$、$(-1,3)$，第四象限描出$(1,-3)$、$(3,-1)$，用平滑的曲线顺次连接同象限的点，得到的两支不与坐标轴相交的双曲线就是$y=-\dfrac{3}{x}$的图象。
【答案】
按上述步骤画出三个函数的图象即可（图象略）
【知识点】
函数图象的画法；一次函数图象性质；反比例函数图象性质
【点评】
本题是函数图象绘制的基础题，需要熟练掌握不同类型函数的图象特征，取点时尽量选择计算简便的整数点，绘制反比例函数图象时要注意其图象不与坐标轴相交，连线需使用平滑曲线，不能用折线连接。
【难度系数】
0.8
要画出函数图象，遵循“列表、描点、连线”的基本步骤：①首先判断函数类型，正比例函数、一次函数的图象是直线，只需选取2个易计算的点即可确定直线；反比例函数的图象是双曲线，分布在两个象限，需要在正负半轴各取多个点，且注意x不能为0。②选取点时优先取x或y为0的点、整数值的点，降低计算和描点的难度。③连线时，直线类函数直接过两点画直线，反比例函数用平滑曲线连接同象限的点，注意曲线不与坐标轴相交。
【解析】
按照列表、描点、连线的方法分别绘制三个函数的图象：
(1) 对于正比例函数$y=-\dfrac{x}{4}$：
列表取点：当$x=0$时，$y=0$；当$x=4$时，$y=-1$，得到点$(0,0)$、$(4,-1)$。
在坐标系中描出这两个点，过两点作直线，该直线就是$y=-\dfrac{x}{4}$的图象。
(2) 对于一次函数$y=2-3x$：
列表取点：当$x=0$时，$y=2$；当$x=1$时，$y=-1$，得到点$(0,2)$、$(1,-1)$。
在坐标系中描出这两个点，过两点作直线，该直线就是$y=2-3x$的图象。
(3) 对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$：
列表取点：
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ |
|-----|------|------|-----|-----|
| $y$ | $1$ | $3$ | $-3$| $-1$|
在坐标系第二象限描出$(-3,1)$、$(-1,3)$，第四象限描出$(1,-3)$、$(3,-1)$，用平滑的曲线顺次连接同象限的点，得到的两支不与坐标轴相交的双曲线就是$y=-\dfrac{3}{x}$的图象。
【答案】
按上述步骤画出三个函数的图象即可（图象略）
【知识点】
函数图象的画法；一次函数图象性质；反比例函数图象性质
【点评】
本题是函数图象绘制的基础题，需要熟练掌握不同类型函数的图象特征，取点时尽量选择计算简便的整数点，绘制反比例函数图象时要注意其图象不与坐标轴相交，连线需使用平滑曲线，不能用折线连接。
【难度系数】
0.8
17. 已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x$成反比例，$y_2$与$(x-2)$成正比例，并且当$x=3$时，$y=5$；当$x=1$时，$y=-1$. 求$y$关于$x$的函数解析式.
答案
17. 解 由 $y_1$ 与 $x$ 成反比例，$y_2$ 与$(x-2)$成正比例，设 $y_1 = \frac{m}{x} \ (m ≠ 0)$，$y_2 = k(x-2) \ (k ≠ 0)$。所以 $y = y_1 + y_2 = \frac{m}{x} + k(x-2)$。
因为当 $x = 3$ 时，$y = 5$；当 $x = 1$ 时，$y = -1$，所以 $\begin{cases}\frac{m}{3}+k=5,\\m-k=-1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=3,\\k=4.\end{cases}$
所以 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = \frac{3}{x} + 4(x-2) = \frac{3}{x} + 4x - 8$。
因为当 $x = 3$ 时，$y = 5$；当 $x = 1$ 时，$y = -1$，所以 $\begin{cases}\frac{m}{3}+k=5,\\m-k=-1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=3,\\k=4.\end{cases}$
所以 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = \frac{3}{x} + 4(x-2) = \frac{3}{x} + 4x - 8$。
解析
【分析】
求解本题首先要根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（注意含不为0的待定系数），再将两个表达式相加得到$y$关于$x$的含参表达式；随后把题目给出的两组$x、y$的对应值代入表达式，得到关于待定系数的二元一次方程组；解方程组求出系数的值后，回代到含参表达式即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：
∵$y_1$与$x$成反比例，$y_2$与$(x-2)$成正比例
∴设$y_1 = \frac{m}{x} \ (m ≠ 0)$，$y_2 = k(x-2) \ (k ≠ 0)$
则$y = y_1 + y_2 = \frac{m}{x} + k(x-2)$
将$x = 3$，$y = 5$和$x = 1$，$y = -1$分别代入上式，得：
$\begin{cases}\frac{m}{3} + k(3-2) = 5 \\\frac{m}{1} + k(1-2) = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}\frac{m}{3}+k=5 \\m - k = -1\end{cases}$
将两个方程相加，得$\frac{4m}{3}=4$，解得$m=3$
把$m=3$代入$m - k = -1$，得$3 - k = -1$，解得$k=4$
将$m=3$，$k=4$代回$y = \frac{m}{x} + k(x-2)$，得：
$y = \frac{3}{x} + 4(x-2) = \frac{3}{x} + 4x - 8$
【答案】
$y=\frac{3}{x}+4x-8$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数定义；反比例函数定义
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，解题核心是准确把握正反比例函数的定义，合理设出含参数的表达式，再通过代入已知条件建立方程组求解，要注意正反比例函数中比例系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
求解本题首先要根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（注意含不为0的待定系数），再将两个表达式相加得到$y$关于$x$的含参表达式；随后把题目给出的两组$x、y$的对应值代入表达式，得到关于待定系数的二元一次方程组；解方程组求出系数的值后，回代到含参表达式即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：
∵$y_1$与$x$成反比例，$y_2$与$(x-2)$成正比例
∴设$y_1 = \frac{m}{x} \ (m ≠ 0)$，$y_2 = k(x-2) \ (k ≠ 0)$
则$y = y_1 + y_2 = \frac{m}{x} + k(x-2)$
将$x = 3$，$y = 5$和$x = 1$，$y = -1$分别代入上式，得：
$\begin{cases}\frac{m}{3} + k(3-2) = 5 \\\frac{m}{1} + k(1-2) = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}\frac{m}{3}+k=5 \\m - k = -1\end{cases}$
将两个方程相加，得$\frac{4m}{3}=4$，解得$m=3$
把$m=3$代入$m - k = -1$，得$3 - k = -1$，解得$k=4$
将$m=3$，$k=4$代回$y = \frac{m}{x} + k(x-2)$，得：
$y = \frac{3}{x} + 4(x-2) = \frac{3}{x} + 4x - 8$
【答案】
$y=\frac{3}{x}+4x-8$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数定义；反比例函数定义
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，解题核心是准确把握正反比例函数的定义，合理设出含参数的表达式，再通过代入已知条件建立方程组求解，要注意正反比例函数中比例系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
18. 某工厂从今年1月份起使用回收净化设备，这样既能改善环境，又能降低原料成本. 据统计，在使用回收净化设备后的前$ x $个月的利润的月平均值$ W $（单位：万元）满足$ W=10x+90 $.
（1）设使用回收净化设备后的前$ x $个月的利润和为$ y $（单位：万元），请写出$ y $关于$ x $的函数解析式；
（2）前多少个月的利润和等于1620万元？
（1）设使用回收净化设备后的前$ x $个月的利润和为$ y $（单位：万元），请写出$ y $关于$ x $的函数解析式；
（2）前多少个月的利润和等于1620万元？
答案
18. 解 （1）$y = W · x = (10x + 90)x = 10x^2 + 90x$（$x$ 为不大于 12 的正整数）。
（2）设前 $x$ 个月的利润和等于 1 620 万元。
根据题意，得 $10x^2 + 90x = 1\ 620$。
即 $x^2 + 9x - 162 = 0$，
解得 $x = \frac{-9 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{-9 \pm 27}{2}$。
所以 $x_1 = 9$，$x_2 = -18$（舍去）。
所以前 9 个月的利润和等于 1 620 万元。
（2）设前 $x$ 个月的利润和等于 1 620 万元。
根据题意，得 $10x^2 + 90x = 1\ 620$。
即 $x^2 + 9x - 162 = 0$，
解得 $x = \frac{-9 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{-9 \pm 27}{2}$。
所以 $x_1 = 9$，$x_2 = -18$（舍去）。
所以前 9 个月的利润和等于 1 620 万元。
解析
【分析】
（1）解题首先要明确数量关系：前x个月的总利润和=月平均利润×月数，已知月平均利润W的表达式，直接将W与x相乘即可推导y关于x的函数解析式，同时注意x代表月份，是不大于12的正整数。
（2）第二问已知总利润和为1620万元，只需将y=1620代入第一问得到的函数解析式，即可得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的实际意义舍去不符合的根，就能得到正确结果。
【解析】
（1）根据总利润和的计算关系可得：
$y = W· x = (10x + 90)x = 10x^2 + 90x$，其中x为不大于12的正整数。
（2）令$y=1620$，代入上述函数得：
$10x^2 + 90x = 1620$
两边同时除以10化简为：$x^2 + 9x - 162 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 + 4×162}}{2} = \frac{-9 \pm 27}{2}$
即$x_1=9$，$x_2=-18$
由于x代表月份，为正整数，因此舍去$x=-18$。
【答案】
（1）$y=10x^2+90x$（$x$为不大于12的正整数）；
（2）前9个月
【知识点】
二次函数应用、一元二次方程解法、实际问题验根
【点评】
本题是函数与方程结合的基础应用题，解题关键是理清总利润、月均利润和月数的数量关系，求解方程后要结合实际情境筛选根，侧重考查基础知识点的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）解题首先要明确数量关系：前x个月的总利润和=月平均利润×月数，已知月平均利润W的表达式，直接将W与x相乘即可推导y关于x的函数解析式，同时注意x代表月份，是不大于12的正整数。
（2）第二问已知总利润和为1620万元，只需将y=1620代入第一问得到的函数解析式，即可得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的实际意义舍去不符合的根，就能得到正确结果。
【解析】
（1）根据总利润和的计算关系可得：
$y = W· x = (10x + 90)x = 10x^2 + 90x$，其中x为不大于12的正整数。
（2）令$y=1620$，代入上述函数得：
$10x^2 + 90x = 1620$
两边同时除以10化简为：$x^2 + 9x - 162 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 + 4×162}}{2} = \frac{-9 \pm 27}{2}$
即$x_1=9$，$x_2=-18$
由于x代表月份，为正整数，因此舍去$x=-18$。
【答案】
（1）$y=10x^2+90x$（$x$为不大于12的正整数）；
（2）前9个月
【知识点】
二次函数应用、一元二次方程解法、实际问题验根
【点评】
本题是函数与方程结合的基础应用题，解题关键是理清总利润、月均利润和月数的数量关系，求解方程后要结合实际情境筛选根，侧重考查基础知识点的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
19. 如图，点C在y轴上，点B的坐标为(4，8)，将线段BC向下平移，当点C与点O重合时，点B的对应点A恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上. 已知BC=OC.
(1) 求证：四边形ABCO是菱形；
(2) 求k的值.
(1) 求证：四边形ABCO是菱形；
(2) 求k的值.
答案
19. （1）证明 由平移可得 $BC // OA$，且 $BC = OA$。
所以四边形 $ABCO$ 为平行四边形。
又因为 $OC = BC$，
所以四边形 $ABCO$ 为菱形。
（2）解 如图，延长 $BA$ 交 $x$ 轴于点 $G$。
设菱形的边长为 $m$，则 $AB = AO = m$。
因为点 $B$ 的坐标为 （4，8），
所以 $OG = 4$，$AG = 8 - m$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中，由勾股定理得 $4^2 + (8 - m)^2 = m^2$。
解得 $m = 5$。
所以 $AG = 8 - 5 = 3$。
所以 $A(4,\ 3)$。
因为反比例函数 $y = \frac{k}{x} \ (x ＞ 0)$ 的图象过点 $A$，将点 $A$ 的坐标代入，得 $3 = \frac{k}{4}$。
解得 $k = 12$。
解析
【分析】
（1）要证明四边形ABCO是菱形，可按照“先判定平行四边形，再证邻边相等”的思路推导：首先根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等，可得到BC与OA平行且相等，先证出四边形ABCO是平行四边形，再结合题目给出的BC=OC的条件，即可由菱形的判定定理得证。
（2）求反比例函数的k值，需要先得到点A的坐标：由平移的特征可知点A的横坐标和点B的横坐标相同，均为4，过A作AG垂直x轴于点G，设菱形边长为m，可得OA=m，AG=8-m，在直角三角形AOG中利用勾股定理列方程求解m的值，即可求出点A的纵坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式计算即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：由平移的性质可得 $BC // OA$，且 $BC = OA$，
∴ 四边形 $ABCO$ 为平行四边形，
又
∵ $OC = BC$，
∴ 平行四边形 $ABCO$ 为菱形。
（2）解：延长 $BA$ 交 $x$ 轴于点 $G$，
设菱形的边长为 $m$，则 $AB = AO = m$，
∵ 点 $B$ 的坐标为 $(4,8)$，
∴ $OG = 4$，$AG = 8 - m$，
在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中，由勾股定理得：$4^2 + (8 - m)^2 = m^2$，
解得 $m = 5$，
∴ $AG = 8 - 5 = 3$，即 $A(4,3)$，
将 $A(4,3)$ 代入 $y = \frac{k}{x} \ (x＞0)$，得 $3 = \frac{k}{4}$，
解得 $k=12$。
【答案】
（1）证明 由平移可得 $BC // OA$，且 $BC = OA$。
所以四边形 $ABCO$ 为平行四边形。
又因为 $OC = BC$，
所以四边形 $ABCO$ 为菱形。
（2）解 如图，延长 $BA$ 交 $x$ 轴于点 $G$。
设菱形的边长为 $m$，则 $AB = AO = m$。
因为点 $B$ 的坐标为 （4，8），
所以 $OG = 4$，$AG = 8 - m$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中，由勾股定理得 $4^2 + (8 - m)^2 = m^2$。
解得 $m = 5$。
所以 $AG = 8 - 5 = 3$。
所以 $A(4,\ 3)$。
因为反比例函数 $y = \frac{k}{x} \ (x ＞ 0)$ 的图象过点 $A$，将点 $A$ 的坐标代入，得 $3 = \frac{k}{4}$。
解得 $k = 12$。
【知识点】
平移的性质，菱形的判定，反比例函数图象的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础综合题，将平移、菱形、勾股定理和反比例函数的知识结合考查，解题的关键是利用菱形的边长相等结合勾股定理求出点A的坐标，解题思路清晰，考查的都是核心基础知识点。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形ABCO是菱形，可按照“先判定平行四边形，再证邻边相等”的思路推导：首先根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等，可得到BC与OA平行且相等，先证出四边形ABCO是平行四边形，再结合题目给出的BC=OC的条件，即可由菱形的判定定理得证。
（2）求反比例函数的k值，需要先得到点A的坐标：由平移的特征可知点A的横坐标和点B的横坐标相同，均为4，过A作AG垂直x轴于点G，设菱形边长为m，可得OA=m，AG=8-m，在直角三角形AOG中利用勾股定理列方程求解m的值，即可求出点A的纵坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式计算即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：由平移的性质可得 $BC // OA$，且 $BC = OA$，
∴ 四边形 $ABCO$ 为平行四边形，
又
∵ $OC = BC$，
∴ 平行四边形 $ABCO$ 为菱形。
（2）解：延长 $BA$ 交 $x$ 轴于点 $G$，
设菱形的边长为 $m$，则 $AB = AO = m$，
∵ 点 $B$ 的坐标为 $(4,8)$，
∴ $OG = 4$，$AG = 8 - m$，
在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中，由勾股定理得：$4^2 + (8 - m)^2 = m^2$，
解得 $m = 5$，
∴ $AG = 8 - 5 = 3$，即 $A(4,3)$，
将 $A(4,3)$ 代入 $y = \frac{k}{x} \ (x＞0)$，得 $3 = \frac{k}{4}$，
解得 $k=12$。
【答案】
（1）证明 由平移可得 $BC // OA$，且 $BC = OA$。
所以四边形 $ABCO$ 为平行四边形。
又因为 $OC = BC$，
所以四边形 $ABCO$ 为菱形。
（2）解 如图，延长 $BA$ 交 $x$ 轴于点 $G$。
设菱形的边长为 $m$，则 $AB = AO = m$。
因为点 $B$ 的坐标为 （4，8），
所以 $OG = 4$，$AG = 8 - m$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOG$ 中，由勾股定理得 $4^2 + (8 - m)^2 = m^2$。
解得 $m = 5$。
所以 $AG = 8 - 5 = 3$。
所以 $A(4,\ 3)$。
因为反比例函数 $y = \frac{k}{x} \ (x ＞ 0)$ 的图象过点 $A$，将点 $A$ 的坐标代入，得 $3 = \frac{k}{4}$。
解得 $k = 12$。
【知识点】
平移的性质，菱形的判定，反比例函数图象的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础综合题，将平移、菱形、勾股定理和反比例函数的知识结合考查，解题的关键是利用菱形的边长相等结合勾股定理求出点A的坐标，解题思路清晰，考查的都是核心基础知识点。
【难度系数】
0.7
