20. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（单位：℃）与开机后用时x（单位：min）成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机。饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序。若在水温为30 ℃时接通电源，水温y（单位：℃）与时间x（单位：min）的关系如图所示。
（1）分别写出水温上升和下降阶段y关于x的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）若萱萱同学想接高于50 ℃的水，则她最多需要等待 min.

20. 解 （1）观察图象，可知当 $x = 0$ 时，$y = 30$；当 $x = 7$ 时，$y = 100$。
当 $0≤ x≤7$ 时，设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = kx + b$。则 $\begin{cases}b = 30,\\7k + b = 100.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 10,\\b = 30.\end{cases}$
即当 $0≤ x≤7$ 时，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = 10x + 30$。
当 $x≥7$ 时，设 $y = \frac{a}{x}$。
代入（7，100），得 $100 = \frac{a}{7}$。得 $a = 700$。
即 $y = \frac{700}{x}$。当 $y = 30$ 时，$x = \frac{70}{3}$。
所以水温上升和下降阶段 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = \begin{cases}10x + 30 \ (0≤ x≤7),\\\frac{700}{x}(7＜x≤\frac{70}{3}),\end{cases}$ $y$ 关于 $x$ 的函数解析式每 $\frac{70}{3}$ min 重复出现一次。
（2）$\frac{34}{3}$

【分析】
（1）本题需分两个阶段求解函数解析式：①水温上升阶段为一次函数模型，已知初始温度和7分钟时的温度，代入一次函数一般式即可求解，同时确定该阶段自变量的取值范围；②水温下降阶段题目明确为反比例函数模型，代入已知点求出反比例解析式，再计算水温降至30℃对应的x值，确定下降阶段自变量的取值范围。
（2）求接高于50℃水的最长等待时间，先分别算出上升、下降阶段水温为50℃对应的x值，得到一个周期内可接高于50℃水的时长，再用循环周期减去该时长，即可得到最长等待时间。
【解析】
（1）分情况求解函数解析式：
① 水温上升阶段（$0≤x≤7$）：
设上升阶段$y$关于$x$的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由题意得$x=0$时$y=30$，$x=7$时$y=100$，代入解析式得：
$\begin{cases} b=30 \\ 7k + b = 100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=10 \\ b=30 \end{cases}$，
即上升阶段解析式为$y=10x+30\quad(0≤x≤7)$。
② 水温下降阶段（$x＞7$）：
设下降阶段反比例函数解析式为$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$），
将点$(7,100)$代入得$100=\frac{a}{7}$，解得$a=700$，即$y=\frac{700}{x}$。
当水温降至30℃时饮水机关机，将$y=30$代入得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，
即下降阶段解析式为$y=\frac{700}{x}\quad(7＜x≤\frac{70}{3})$。
综上，水温$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}10x + 30 \quad(0≤ x≤7)\\\frac{700}{x}\quad(7＜x≤\frac{70}{3})\end{cases}$，函数每$\frac{70}{3}\ \mathrm{min}$重复一次循环。
（2）计算水温为50℃对应的x值：
上升阶段令$10x+30=50$，解得$x=2$；
下降阶段令$\frac{700}{x}=50$，解得$x=14$。
因此一个周期内，水温高于50℃的时长为$14-2=12\ \mathrm{min}$，
最长等待时间为周期时长减去可接水时长：$\frac{70}{3}-12=\frac{34}{3}\ \mathrm{min}$。
【答案】
（1）$y=\begin{cases}10x + 30 \quad(0≤ x≤7)\\\frac{700}{x}\quad(7＜x≤\frac{70}{3})\end{cases}$
（2）$\frac{34}{3}$
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的实际应用，解题的核心是准确匹配不同阶段的函数模型，结合图象信息求出对应解析式，再利用解析式解决实际问题，解题时需注意自变量的取值范围和循环周期的计算。
【难度系数】
0.65

21. 矩形ABCO如图所示，点A，C在坐标轴上，点B位于第一象限，一次函数$y=kx-3$的图象过点B，分别交x轴、y轴于点E，D，已知$C(0,3)$，且$S_{△ BCD}=12$。
（1）求一次函数的解析式；
（2）若反比例函数$y=\frac{m}{x}$过点B，在其第一象限的图象上有一点P，且满足$S_{△ CBP}=\frac{2}{3}S_{△ DOE}$，求出点P的坐标；
（3）连接AC，若反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象与$△ ABC$的边总有两个交点，直接写出n的取值范围。

21. 解 （1）因为一次函数 $y = kx - 3$ 的图象交 $y$ 轴于点 $D$，所以 $D(0,\ -3)$。
因为点 $C(0,\ 3)$，所以 $CD = 6$。
因为四边形 $ABCO$ 为矩形，
所以 $BC ⊥ CD$，$S_{△ BCD} = \frac{1}{2}CD · BC = 12$。
所以 $BC = 4$。所以 $B(4,\ 3)$。代入 $y = kx - 3$，得 $k = \frac{3}{2}$。所以 $y = \frac{3}{2}x - 3$。
（2）因为反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象过 $B(4,\ 3)$，所以 $m = 12$。所以 $y = \frac{12}{x}$。
因为直线 $y = \frac{3}{2}x - 3$ 过 $x$ 轴上的 $E$ 点，
所以当 $y = 0$ 时，$x = 2$。
所以 $E(2,\ 0)$，$S_{△ DOE} = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
设 $△ CBP$ 在边 $BC$ 上的高为 $h$。
当 $S_{△ CBP} = \frac{2}{3}S_{△ DOE}$ 时，$\frac{1}{2} × 4 × h = \frac{2}{3} × 3$。
所以 $h = 1$。
当点 $P$ 在直线 $BC$ 上方时，$\frac{12}{x} = 4$，
解得 $x = 3$。所以 $P(3,\ 4)$。
同理，当点 $P$ 在直线 $BC$ 下方时，点 $P(6,\ 2)$。
综上所述，符合条件的点 $P$ 的坐标是 $(3,\ 4)$ 或 $(6,\ 2)$。
（3）$3 ＜ n ＜ 12$。

【分析】
（1）先根据一次函数解析式求出其与y轴交点D的坐标，结合C点坐标计算CD的长度；再利用矩形对边平行的性质得到BC垂直于y轴，结合△BCD的面积求出BC的长度，进而得到B点坐标，代入一次函数解析式求出k，即可得到一次函数解析式。
（2）先将B点坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数解析式；再求出一次函数与x轴交点E的坐标，计算△DOE的面积；然后根据两个三角形的面积关系求出△CBP中BC边上的高，得到P点的纵坐标，分P在BC上方、下方两种情况代入反比例解析式求出横坐标，即可得到P点坐标。
（3）先求出AC边的解析式，联立反比例函数与AC的解析式，根据判别式小于0时两者无交点，再结合反比例函数与AB、BC边的交点范围，即可求出n的取值范围。
【解析】
（1）对于一次函数$y=kx-3$，令$x=0$，得$y=-3$，即$D(0,-3)$。
已知$C(0,3)$，因此$CD=3-(-3)=6$。
因为四边形$ABCO$是矩形，所以$BC⊥ y$轴，$BC$是$△ BCD$中$CD$边上的高。
由$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· CD· BC=12$，代入$CD=6$，得$\frac{1}{2}×6× BC=12$，解得$BC=4$。
结合$C(0,3)$，得$B$点坐标为$(4,3)$，将其代入$y=kx-3$，得$3=4k-3$，解得$k=\frac{3}{2}$。
因此一次函数的解析式为$y=\frac{3}{2}x-3$。
（2）将$B(4,3)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{4}$，解得$m=12$，即反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
对于$y=\frac{3}{2}x-3$，令$y=0$，得$0=\frac{3}{2}x-3$，解得$x=2$，即$E(2,0)$。
则$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}× OE× OD=\frac{1}{2}×2×3=3$，因此$S_{△ CBP}=\frac{2}{3}×3=2$。
设$△ CBP$中$BC$边上的高为$h$，$BC=4$，则$\frac{1}{2}×4× h=2$，解得$h=1$。
$BC$所在直线为$y=3$：
①若P在BC上方，P的纵坐标为$3+1=4$，代入$y=\frac{12}{x}$得$x=3$，即$P(3,4)$；
②若P在BC下方，P的纵坐标为$3-1=2$，代入$y=\frac{12}{x}$得$x=6$，即$P(6,2)$。
综上，点P的坐标为$(3,4)$或$(6,2)$。
（3）易得$A(4,0)$，直线$AC$的解析式为$y=-\frac{3}{4}x+3$，联立$y=\frac{n}{x}$得$3x^2-12x+4n=0$，当$\Delta＜0$即$n＞3$时，反比例函数与AC无交点；反比例函数与BC、AB边各有1个交点的条件为$n＜12$，$n=12$时两个交点重合为B点，仅1个交点，因此$3＜n＜12$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=\frac{3}{2}x-3}$；（2）$\boldsymbol{(3,4)}$或$\boldsymbol{(6,2)}$；（3）$\boldsymbol{3＜n＜12}$
【知识点】
一次函数的性质；反比例函数的性质；函数交点与面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题型，覆盖了函数解析式求解、图形面积计算、交点范围判断等考点，解题时注意结合数形结合和分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.6