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8. 一次函数$y=ax+b$，二次函数$y=ax^2+bx$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示. 若$A(-2,0)$，则在下列结论中，正确的是（
A.$a＞b＞0$
B.$a＞k＞0$
C.$b=2a+k$
D.$a=b+k$
B
）A.$a＞b＞0$
B.$a＞k＞0$
C.$b=2a+k$
D.$a=b+k$
答案
8. B
解析
【分析】
首先观察图像确定各函数系数的符号：二次函数开口向上可得$a＞0$，反比例函数位于一三象限可得$k＞0$；再利用点$A(-2,0)$在一次函数上，代入一次函数解析式可得到$b$与$a$的数量关系；最后结合$b=2a$的关系逐一验证四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 确定系数符号：
二次函数$y=ax^2+bx$开口向上，因此$a＞0$；反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像在第一、三象限，因此$k＞0$。
2. 推导$b$与$a$的关系：
已知一次函数$y=ax+b$过点$A(-2,0)$，将$x=-2$，$y=0$代入一次函数解析式得：
$0 = a×(-2) + b$，解得$b=2a$。
因为$a＞0$，所以$b=2a＞a＞0$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$a＞b＞0$，由$b=2a＞a$可知A错误；
C选项：$b=2a+k$，将$b=2a$代入得$2a=2a+k$，即$k=0$，不符合反比例函数$k≠0$的要求，C错误；
D选项：$a=b+k$，将$b=2a$代入得$a=2a +k$，即$k=-a＜0$，与$k＞0$矛盾，D错误。
综上，A、C、D均错误，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查三类函数的图象与系数的关系，解题的关键是先通过公共点求出$b$和$a$的等量关系，再利用排除法快速筛选正确选项，是函数综合类的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察图像确定各函数系数的符号：二次函数开口向上可得$a＞0$，反比例函数位于一三象限可得$k＞0$；再利用点$A(-2,0)$在一次函数上，代入一次函数解析式可得到$b$与$a$的数量关系；最后结合$b=2a$的关系逐一验证四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 确定系数符号：
二次函数$y=ax^2+bx$开口向上，因此$a＞0$；反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像在第一、三象限，因此$k＞0$。
2. 推导$b$与$a$的关系：
已知一次函数$y=ax+b$过点$A(-2,0)$，将$x=-2$，$y=0$代入一次函数解析式得：
$0 = a×(-2) + b$，解得$b=2a$。
因为$a＞0$，所以$b=2a＞a＞0$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$a＞b＞0$，由$b=2a＞a$可知A错误；
C选项：$b=2a+k$，将$b=2a$代入得$2a=2a+k$，即$k=0$，不符合反比例函数$k≠0$的要求，C错误；
D选项：$a=b+k$，将$b=2a$代入得$a=2a +k$，即$k=-a＜0$，与$k＞0$矛盾，D错误。
综上，A、C、D均错误，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查三类函数的图象与系数的关系，解题的关键是先通过公共点求出$b$和$a$的等量关系，再利用排除法快速筛选正确选项，是函数综合类的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在某公园“水上滑梯”的侧面图中，BC段可看成是一段双曲线，建立平面直角坐标系，OA=5 m，进口AB // OD，且AB=2 m，出口点C距水面的距离CD为1 m，则B，C两点之间的水平距离DE的长度为（
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
D
）A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
答案
9. D
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先BC段为反比例函数图象，我们需要先根据已知的OA、AB长度确定B点坐标，再用待定系数法求出反比例函数的解析式；接下来根据CD的长度得到C点的纵坐标，代入解析式求出C点的横坐标；最后用C点横坐标减去B点横坐标，即可得到DE的长度。
【解析】
解：设BC段对应的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $
由题意可知，$ OA=5m $，$ AB=2m $，且$ AB // OD $，因此点B的坐标为$ (2,5) $
将$ B(2,5) $代入$ y = \frac{k}{x} $得：$ 5 = \frac{k}{2} $，解得$ k = 2×5=10 $
即反比例函数解析式为$ y = \frac{10}{x} $
已知$ CD=1m $，即点C的纵坐标为1，将$ y=1 $代入$ y = \frac{10}{x} $得：
$ 1 = \frac{10}{x} $，解得$ x=10 $，即点C的横坐标为10
因此B、C两点的水平距离$ DE = 10 - 2 = 8(m) $
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的实际应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是准确提取题干中的坐标信息，利用反比例函数的性质求解对应点坐标，再计算线段长度，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先BC段为反比例函数图象，我们需要先根据已知的OA、AB长度确定B点坐标，再用待定系数法求出反比例函数的解析式；接下来根据CD的长度得到C点的纵坐标，代入解析式求出C点的横坐标；最后用C点横坐标减去B点横坐标，即可得到DE的长度。
【解析】
解：设BC段对应的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $
由题意可知，$ OA=5m $，$ AB=2m $，且$ AB // OD $，因此点B的坐标为$ (2,5) $
将$ B(2,5) $代入$ y = \frac{k}{x} $得：$ 5 = \frac{k}{2} $，解得$ k = 2×5=10 $
即反比例函数解析式为$ y = \frac{10}{x} $
已知$ CD=1m $，即点C的纵坐标为1，将$ y=1 $代入$ y = \frac{10}{x} $得：
$ 1 = \frac{10}{x} $，解得$ x=10 $，即点C的横坐标为10
因此B、C两点的水平距离$ DE = 10 - 2 = 8(m) $
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的实际应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是准确提取题干中的坐标信息，利用反比例函数的性质求解对应点坐标，再计算线段长度，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.7
10. 已知反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，则$k$的取值范围是
$k＜-1$
。答案
10. $k＜-1$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）中，比例系数$m$的符号决定了函数的增减性：当$m＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。题目给出当$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，说明该函数的比例系数小于0，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$，
已知当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的性质可得：
比例系数$k+1＜0$，
解这个不等式，移项得：$k＜-1$。
【答案】
$k＜-1$
【知识点】
反比例函数的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数增减性的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系，题干已经限定了$x＜0$的范围，无需额外考虑跨象限的情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）中，比例系数$m$的符号决定了函数的增减性：当$m＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。题目给出当$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，说明该函数的比例系数小于0，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$，
已知当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的性质可得：
比例系数$k+1＜0$，
解这个不等式，移项得：$k＜-1$。
【答案】
$k＜-1$
【知识点】
反比例函数的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数增减性的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系，题干已经限定了$x＜0$的范围，无需额外考虑跨象限的情况。
【难度系数】
0.8
11. 如图，A，B是双曲线$y=\frac{8}{x}$（$x＞0$）上的两点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线。若图中涂色部分的面积为4，则两个空白矩形面积的和为
8
。答案
11. 8
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积恒等于$|k|$。本题中A、B都在双曲线$y=\frac{8}{x}$上，因此两点分别和坐标轴围成的两个大矩形面积都等于8。观察图形可知，两个大矩形有公共的涂色重叠区域，每个空白矩形的面积都是对应大矩形面积减去涂色部分面积，将两个空白面积相加即可得到结果。
【解析】
解：由反比例函数$k$的几何意义可知，过双曲线$y=\frac{8}{x}$上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|=8$。
因此过点A、B形成的两个矩形的面积均为8。
已知涂色部分面积为4，那么第一个空白矩形的面积为$8-4=4$，第二个空白矩形的面积为$8-4=4$。
两个空白矩形面积的和为$4+4=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形的面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时结合图形的重叠关系进行计算即可，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积恒等于$|k|$。本题中A、B都在双曲线$y=\frac{8}{x}$上，因此两点分别和坐标轴围成的两个大矩形面积都等于8。观察图形可知，两个大矩形有公共的涂色重叠区域，每个空白矩形的面积都是对应大矩形面积减去涂色部分面积，将两个空白面积相加即可得到结果。
【解析】
解：由反比例函数$k$的几何意义可知，过双曲线$y=\frac{8}{x}$上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|=8$。
因此过点A、B形成的两个矩形的面积均为8。
已知涂色部分面积为4，那么第一个空白矩形的面积为$8-4=4$，第二个空白矩形的面积为$8-4=4$。
两个空白矩形面积的和为$4+4=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形的面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时结合图形的重叠关系进行计算即可，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
12. 如图，一次函数 $ y_1 = ax + b $ 和反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 的图象相交于A，B两点，则使 $ y_1 ＞ y_2 $ 成立的x取值范围是
11 题图
12 题图
$x＜-2或0＜x＜4$
。11 题图
12 题图
答案
12. $x＜-2或0＜x＜4$
解析
【分析】
要解决使$ y_1＞y_2 $成立的x取值范围问题，核心是利用数形结合思想：$ y_1＞y_2 $的几何意义是相同x值下，一次函数图象位于反比例函数图象的上方。解题时先确定分界点：一是两个函数交点的横坐标，此时$ y_1=y_2 $；二是$ x=0 $，因为反比例函数自变量不能为0，是图象的间断点。用这三个分界点把x轴分为若干区间，逐段判断图象的上下位置即可。
【解析】
观察函数图象可知，一次函数与反比例函数交点的横坐标为$ x=-2 $和$ x=4 $，结合反比例函数$ x≠0 $的限制，分区间判断：
1. 当$ x＜-2 $时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$ y_1＞y_2 $；
2. 当$ -2＜x＜0 $时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足$ y_1＞y_2 $；
3. 当$ 0＜x＜4 $时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$ y_1＞y_2 $；
4. 当$ x＞4 $时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足$ y_1＞y_2 $。
同时$ x=-2、x=0、x=4 $均不满足$ y_1＞y_2 $，因此取值范围为$ x＜-2或0＜x＜4 $。
【答案】
$ x＜-2或0＜x＜4 $
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；数形结合思想
【点评】
本题是函数值大小比较的典型题型，解题的关键是找准所有分界点，分区间判断图象位置，要特别注意反比例函数自变量不为0的隐含限制，避免出现区间判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决使$ y_1＞y_2 $成立的x取值范围问题，核心是利用数形结合思想：$ y_1＞y_2 $的几何意义是相同x值下，一次函数图象位于反比例函数图象的上方。解题时先确定分界点：一是两个函数交点的横坐标，此时$ y_1=y_2 $；二是$ x=0 $，因为反比例函数自变量不能为0，是图象的间断点。用这三个分界点把x轴分为若干区间，逐段判断图象的上下位置即可。
【解析】
观察函数图象可知，一次函数与反比例函数交点的横坐标为$ x=-2 $和$ x=4 $，结合反比例函数$ x≠0 $的限制，分区间判断：
1. 当$ x＜-2 $时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$ y_1＞y_2 $；
2. 当$ -2＜x＜0 $时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足$ y_1＞y_2 $；
3. 当$ 0＜x＜4 $时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$ y_1＞y_2 $；
4. 当$ x＞4 $时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足$ y_1＞y_2 $。
同时$ x=-2、x=0、x=4 $均不满足$ y_1＞y_2 $，因此取值范围为$ x＜-2或0＜x＜4 $。
【答案】
$ x＜-2或0＜x＜4 $
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；数形结合思想
【点评】
本题是函数值大小比较的典型题型，解题的关键是找准所有分界点，分区间判断图象位置，要特别注意反比例函数自变量不为0的隐含限制，避免出现区间判断错误。
【难度系数】
0.7
13. 如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，则点E的坐标是
13题图
14题图
$(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2},\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})$
。13题图
14题图
答案
13. $(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2},\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①先求正方形OABC的边长：正方形OABC的顶点B横、纵坐标相等，结合B在反比例函数图象上的特征，代入解析式即可求出边长，进而得到点A的坐标；②再求点E的坐标：设正方形ADEF的边长为b，根据点A的坐标可表示出点E的坐标，将E代入反比例函数解析式得到关于b的一元二次方程，取正根后即可求出E的横、纵坐标。
【解析】
设正方形OABC的边长为$a$，由正方形性质可知点$B$的坐标为$(a,a)$。
$\because$ 点$B$在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore a· a=1$，即$a^2=1$，
$\because x＞0$，$\therefore a=1$，即点$A$的坐标为$(1,0)$。
设正方形ADEF的边长为$b$，由正方形性质可知点$E$的坐标为$(1+b,b)$。
$\because$ 点$E$在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore (1+b)· b=1$，整理得$b^2+b-1=0$。
解该方程，判别式$\Delta=1^2+4×1×1=5$，
$\therefore b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\because$ 边长$b＞0$，$\therefore b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
则点$E$的横坐标为$1+b=1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，纵坐标为$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2},\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})$
【知识点】
反比例函数图象与性质；正方形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的经典题型，解题核心是利用正方形的性质表示出未知点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为两步：①先求正方形OABC的边长：正方形OABC的顶点B横、纵坐标相等，结合B在反比例函数图象上的特征，代入解析式即可求出边长，进而得到点A的坐标；②再求点E的坐标：设正方形ADEF的边长为b，根据点A的坐标可表示出点E的坐标，将E代入反比例函数解析式得到关于b的一元二次方程，取正根后即可求出E的横、纵坐标。
【解析】
设正方形OABC的边长为$a$，由正方形性质可知点$B$的坐标为$(a,a)$。
$\because$ 点$B$在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore a· a=1$，即$a^2=1$，
$\because x＞0$，$\therefore a=1$，即点$A$的坐标为$(1,0)$。
设正方形ADEF的边长为$b$，由正方形性质可知点$E$的坐标为$(1+b,b)$。
$\because$ 点$E$在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore (1+b)· b=1$，整理得$b^2+b-1=0$。
解该方程，判别式$\Delta=1^2+4×1×1=5$，
$\therefore b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\because$ 边长$b＞0$，$\therefore b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
则点$E$的横坐标为$1+b=1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，纵坐标为$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2},\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})$
【知识点】
反比例函数图象与性质；正方形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的经典题型，解题核心是利用正方形的性质表示出未知点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.65
14. 如图，$△ OAC$和$△ BAD$都是等腰直角三角形，$∠ ACO = ∠ ADB=90°$，反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$在第一象限的图象经过点$B$，则$△ OAC$与$△ BAD$的面积之差为________.
答案
14. 4
解析
【分析】
解题时可通过设参数表示两个等腰直角三角形的直角边长，再推导点B的坐标，结合反比例函数的性质得到参数的关系，最后计算面积差即可。具体思路：1. 分别设两个等腰直角三角形的直角边长为a、b；2. 根据等腰直角三角形的性质，用a、b表示出点B的横、纵坐标；3. 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于k，得到a、b的数量关系；4. 写出两个三角形的面积表达式，作差后整体代入数量关系计算结果。
【解析】
设等腰Rt△OAC的直角边长为$a$，等腰Rt△BAD的直角边长为$b$。
由等腰直角三角形的性质可得点$A$的坐标为$(a,a)$，点$B$的横坐标为$a+b$，纵坐标为$a-b$，即$B(a+b,a-b)$。
∵点$B$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的第一象限图象上，
∴$(a+b)(a-b)=8$，由平方差公式得$a^2-b^2=8$。
$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}a· a=\dfrac{1}{2}a^2$，$S_{△ BAD}=\dfrac{1}{2}b· b=\dfrac{1}{2}b^2$，
则两个三角形的面积差为：
$S_{△ OAC}-S_{△ BAD}=\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b^2=\dfrac{1}{2}(a^2-b^2)=\dfrac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，平方差公式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题过程中不需要求出参数的具体值，通过整体代入即可得到结果，侧重考察对整体思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时可通过设参数表示两个等腰直角三角形的直角边长，再推导点B的坐标，结合反比例函数的性质得到参数的关系，最后计算面积差即可。具体思路：1. 分别设两个等腰直角三角形的直角边长为a、b；2. 根据等腰直角三角形的性质，用a、b表示出点B的横、纵坐标；3. 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于k，得到a、b的数量关系；4. 写出两个三角形的面积表达式，作差后整体代入数量关系计算结果。
【解析】
设等腰Rt△OAC的直角边长为$a$，等腰Rt△BAD的直角边长为$b$。
由等腰直角三角形的性质可得点$A$的坐标为$(a,a)$，点$B$的横坐标为$a+b$，纵坐标为$a-b$，即$B(a+b,a-b)$。
∵点$B$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的第一象限图象上，
∴$(a+b)(a-b)=8$，由平方差公式得$a^2-b^2=8$。
$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}a· a=\dfrac{1}{2}a^2$，$S_{△ BAD}=\dfrac{1}{2}b· b=\dfrac{1}{2}b^2$，
则两个三角形的面积差为：
$S_{△ OAC}-S_{△ BAD}=\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b^2=\dfrac{1}{2}(a^2-b^2)=\dfrac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，平方差公式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题过程中不需要求出参数的具体值，通过整体代入即可得到结果，侧重考察对整体思想的运用。
【难度系数】
0.6
15. 如图，已知点A(1，2)是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上的一点，连接AO并延长，交双曲线的另一分支于点B，P是x轴上一动点。
若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是
若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是
(-3, 0)或(5, 0)或(3, 0)或(-5, 0)
。答案
15. (-3, 0)或(5, 0)或(3, 0)或(-5, 0)
解析
【分析】
首先利用反比例函数关于原点中心对称的性质，可直接得到点B的坐标；其次△PAB为等腰三角形需分三类讨论：AB=AP、AB=BP、PA=PB，设x轴上的点P坐标为$(t,0)$，利用两点间距离公式分别列方程求解，最后验证所得的点能否构成三角形，排除三点共线的增根即可。
【解析】
1. 求点B坐标
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于原点中心对称，点A、B在过原点的直线上且分属两个分支，
∴ 点A与点B关于原点对称，
已知$A(1,2)$，因此$B(-1,-2)$。
2. 计算AB的长度
由两点间距离公式可得：
$AB=\sqrt{(1-(-1))^2 + (2-(-2))^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
3. 设点P坐标为$(t,0)$，分情况讨论：
① 当$AB=AP$时：
$AP=\sqrt{(t-1)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{5}$，
两边平方得$(t-1)^2+4=20$，即$(t-1)^2=16$，
解得$t=5$或$t=-3$，对应P点为$(5,0)$、$(-3,0)$。
② 当$AB=BP$时：
$BP=\sqrt{(t+1)^2+(0+2)^2}=2\sqrt{5}$，
两边平方得$(t+1)^2+4=20$，即$(t+1)^2=16$，
解得$t=3$或$t=-5$，对应P点为$(3,0)$、$(-5,0)$。
③ 当$PA=PB$时：
列方程$\sqrt{(t-1)^2+4}=\sqrt{(t+1)^2+4}$，
化简解得$t=0$，此时P为原点，P、A、B三点共线，无法构成三角形，舍去该解。
综上，符合条件的点P坐标为$(-3, 0)$、$(5, 0)$、$(3, 0)$、$(-5, 0)$。
【答案】
(-3, 0)或(5, 0)或(3, 0)或(-5, 0)
【知识点】
反比例函数的对称性；等腰三角形判定；两点间距离公式
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需对等腰三角形的腰长情况完整分类，同时要注意排除三点共线的增根，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先利用反比例函数关于原点中心对称的性质，可直接得到点B的坐标；其次△PAB为等腰三角形需分三类讨论：AB=AP、AB=BP、PA=PB，设x轴上的点P坐标为$(t,0)$，利用两点间距离公式分别列方程求解，最后验证所得的点能否构成三角形，排除三点共线的增根即可。
【解析】
1. 求点B坐标
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于原点中心对称，点A、B在过原点的直线上且分属两个分支，
∴ 点A与点B关于原点对称，
已知$A(1,2)$，因此$B(-1,-2)$。
2. 计算AB的长度
由两点间距离公式可得：
$AB=\sqrt{(1-(-1))^2 + (2-(-2))^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
3. 设点P坐标为$(t,0)$，分情况讨论：
① 当$AB=AP$时：
$AP=\sqrt{(t-1)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{5}$，
两边平方得$(t-1)^2+4=20$，即$(t-1)^2=16$，
解得$t=5$或$t=-3$，对应P点为$(5,0)$、$(-3,0)$。
② 当$AB=BP$时：
$BP=\sqrt{(t+1)^2+(0+2)^2}=2\sqrt{5}$，
两边平方得$(t+1)^2+4=20$，即$(t+1)^2=16$，
解得$t=3$或$t=-5$，对应P点为$(3,0)$、$(-5,0)$。
③ 当$PA=PB$时：
列方程$\sqrt{(t-1)^2+4}=\sqrt{(t+1)^2+4}$，
化简解得$t=0$，此时P为原点，P、A、B三点共线，无法构成三角形，舍去该解。
综上，符合条件的点P坐标为$(-3, 0)$、$(5, 0)$、$(3, 0)$、$(-5, 0)$。
【答案】
(-3, 0)或(5, 0)或(3, 0)或(-5, 0)
【知识点】
反比例函数的对称性；等腰三角形判定；两点间距离公式
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需对等腰三角形的腰长情况完整分类，同时要注意排除三点共线的增根，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
