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4，进行降次，得到
$x+3=\pm2$
，方程的两个根分别为$x_1=$$-1$
，$x_2=$$-5$
。答案
进行降次，得到$x+3=\pm2$，方程的两个根分别为$x_1=-1$，$x_2=-5$。
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的一元二次方程，利用平方根的定义，对等式两边同时开平方，即可将二次方程降次为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程，就能得到原方程的两个根。
【解析】
结合课时内容可知原方程为$(x+3)^2=4$：
1. 降次：根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，可得降次结果为$x+3=\pm2$；
2. 求根：分别解两个一元一次方程：
① 当$x+3=2$时，移项计算得$x=2-3=-1$；
② 当$x+3=-2$时，移项计算得$x=-2-3=-5$。
【答案】
$x+3=\pm2$；$-1$；$-5$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，核心是理解直接开平方法的降次逻辑，通过开平方将二次方程转化为更易求解的一次方程，是解一元二次方程的基础内容，需要熟练掌握其适用范围和求解步骤。
【难度系数】
0.8
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的一元二次方程，利用平方根的定义，对等式两边同时开平方，即可将二次方程降次为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程，就能得到原方程的两个根。
【解析】
结合课时内容可知原方程为$(x+3)^2=4$：
1. 降次：根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，可得降次结果为$x+3=\pm2$；
2. 求根：分别解两个一元一次方程：
① 当$x+3=2$时，移项计算得$x=2-3=-1$；
② 当$x+3=-2$时，移项计算得$x=-2-3=-5$。
【答案】
$x+3=\pm2$；$-1$；$-5$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，核心是理解直接开平方法的降次逻辑，通过开平方将二次方程转化为更易求解的一次方程，是解一元二次方程的基础内容，需要熟练掌握其适用范围和求解步骤。
【难度系数】
0.8
新知生成：用直接开平方法解“$(mx + n)^2 = p$”型一元二次方程的三种情况.
(1)当$p＞0$时，方程有
(2)当$p=0$时，方程有
(3)当$p＜0$时，方程
(1)当$p＞0$时，方程有
两个不相等
的实数根，$x_1=$$\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$
，$x_2=$$\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$
；(2)当$p=0$时，方程有
两个相等
的实数根，$x_1=x_2=$$-\frac{n}{m}$
；(3)当$p＜0$时，方程
无实数根
.答案
新知生成：
(1)两个不相等，$x_1=\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$，$x_2=\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$
(2)两个相等，$x_1=x_2=-\frac{n}{m}$
(3)无实数根
(1)两个不相等，$x_1=\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$，$x_2=\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$
(2)两个相等，$x_1=x_2=-\frac{n}{m}$
(3)无实数根
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解形如$(mx+n)^2=p$的一元二次方程，解题核心是将$mx+n$看作一个整体，结合平方根的性质分情况讨论：首先回忆平方根的定义：若$a^2=b$，则$a$是$b$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有实数平方根，据此分别推导$p＞0$、$p=0$、$p＜0$三种情况下方程的根即可。
【解析】
将$mx+n$看作整体，根据平方根的性质分情况分析：
(1) 当$p＞0$时，正数有两个互为相反数的平方根，因此$mx+n=\sqrt{p}$或$mx+n=-\sqrt{p}$。
移项得$mx=-n+\sqrt{p}$或$mx=-n-\sqrt{p}$，因方程为一元二次方程，故$m≠0$，两边同时除以$m$得两个不相等的实数根：$x_1=\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$，$x_2=\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$。
(2) 当$p=0$时，0的平方根是0，因此$mx+n=0$，解得$x=-\frac{n}{m}$，此时方程有两个相等的实数根，即$x_1=x_2=-\frac{n}{m}$。
(3) 当$p＜0$时，任意实数的平方均为非负数，不存在实数$mx+n$使得其平方为负数，因此方程无实数根。
【答案】
(1)两个不相等，$\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$，$\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$；(2)两个相等，$-\frac{n}{m}$；(3)无实数根
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程根的分类
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础结论题，重点考察对平方根性质的理解和整体代换思想的运用，熟练掌握本题的三种情况能快速求解对应形式的一元二次方程。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解形如$(mx+n)^2=p$的一元二次方程，解题核心是将$mx+n$看作一个整体，结合平方根的性质分情况讨论：首先回忆平方根的定义：若$a^2=b$，则$a$是$b$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有实数平方根，据此分别推导$p＞0$、$p=0$、$p＜0$三种情况下方程的根即可。
【解析】
将$mx+n$看作整体，根据平方根的性质分情况分析：
(1) 当$p＞0$时，正数有两个互为相反数的平方根，因此$mx+n=\sqrt{p}$或$mx+n=-\sqrt{p}$。
移项得$mx=-n+\sqrt{p}$或$mx=-n-\sqrt{p}$，因方程为一元二次方程，故$m≠0$，两边同时除以$m$得两个不相等的实数根：$x_1=\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$，$x_2=\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$。
(2) 当$p=0$时，0的平方根是0，因此$mx+n=0$，解得$x=-\frac{n}{m}$，此时方程有两个相等的实数根，即$x_1=x_2=-\frac{n}{m}$。
(3) 当$p＜0$时，任意实数的平方均为非负数，不存在实数$mx+n$使得其平方为负数，因此方程无实数根。
【答案】
(1)两个不相等，$\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$，$\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$；(2)两个相等，$-\frac{n}{m}$；(3)无实数根
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程根的分类
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础结论题，重点考察对平方根性质的理解和整体代换思想的运用，熟练掌握本题的三种情况能快速求解对应形式的一元二次方程。
【难度系数】
0.9
1. 关于$x$的方程$(x+1)^2 = p^2 +1$根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
1.A
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况，可结合本题方程左边是完全平方式的特点分析：首先根据平方的非负性，得出$p^2≥0$，因此方程右边$p^2+1$恒大于0；再根据直接开平方法的规律，当完全平方式等于一个正数时，方程有两个不相等的实数根，即可得出结论。也可将方程化为一般式，通过计算根的判别式$\Delta$的正负判断根的情况。
【解析】
方法一：利用直接开平方法的性质判断
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$p^2≥0$
∴ $p^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
此时方程左边为完全平方式$(x+1)^2$，当一个数的平方等于正数时，这个数有两个互为相反数的取值，即：
$x+1 = \pm\sqrt{p^2+1}$
解得$x_1 = -1 + \sqrt{p^2+1}$，$x_2 = -1 - \sqrt{p^2+1}$，两个根不相等，因此方程有两个不相等的实数根。
方法二：利用根的判别式判断
将原方程展开整理为一般形式：
$x^2 + 2x + 1 = p^2 + 1$，即$x^2 + 2x - p^2 = 0$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-p^2) = 4 + 4p^2 = 4(1 + p^2)$
∵ $p^2≥0$，
∴ $4(1 + p^2) ≥4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
3. 一元二次方程根的判别
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判断的基础题型，可通过多种方法求解，既可以结合方程结构用直接开平方法快速判断，也可以用判别式常规计算，解题的关键是掌握平方的非负性，灵活选择简便方法。
【难度系数】
0.9
判断一元二次方程根的情况，可结合本题方程左边是完全平方式的特点分析：首先根据平方的非负性，得出$p^2≥0$，因此方程右边$p^2+1$恒大于0；再根据直接开平方法的规律，当完全平方式等于一个正数时，方程有两个不相等的实数根，即可得出结论。也可将方程化为一般式，通过计算根的判别式$\Delta$的正负判断根的情况。
【解析】
方法一：利用直接开平方法的性质判断
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$p^2≥0$
∴ $p^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
此时方程左边为完全平方式$(x+1)^2$，当一个数的平方等于正数时，这个数有两个互为相反数的取值，即：
$x+1 = \pm\sqrt{p^2+1}$
解得$x_1 = -1 + \sqrt{p^2+1}$，$x_2 = -1 - \sqrt{p^2+1}$，两个根不相等，因此方程有两个不相等的实数根。
方法二：利用根的判别式判断
将原方程展开整理为一般形式：
$x^2 + 2x + 1 = p^2 + 1$，即$x^2 + 2x - p^2 = 0$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-p^2) = 4 + 4p^2 = 4(1 + p^2)$
∵ $p^2≥0$，
∴ $4(1 + p^2) ≥4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
3. 一元二次方程根的判别
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判断的基础题型，可通过多种方法求解，既可以结合方程结构用直接开平方法快速判断，也可以用判别式常规计算，解题的关键是掌握平方的非负性，灵活选择简便方法。
【难度系数】
0.9
2. 解方程：$(2x-1)^2 +4=0.$
答案
原方程无解
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先将方程变形为完全平方式等于常数的形式，再根据实数范围内平方数的非负性判断解的情况：若完全平方式对应的常数非负，则可开平方求解；若常数为负，则不存在满足条件的实数x，方程无解。
【解析】
解：对原方程移项，得
$(2x-1)^2 = -4$
∵ 在实数范围内，任意实数的平方均为非负数，即$(2x-1)^2 ≥ 0$恒成立，
而$-4 ＜ 0$，不存在实数x使得等式成立，
∴ 原方程无实数解。
【答案】
原方程无解
【知识点】
直接开平方法解方程；平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解方程的典型基础题，解题时无需强行计算开方，先观察完全平方式对应的常数符号，即可快速判断方程是否有解，易错点是忽略平方数的非负性，盲目对负数开平方。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先将方程变形为完全平方式等于常数的形式，再根据实数范围内平方数的非负性判断解的情况：若完全平方式对应的常数非负，则可开平方求解；若常数为负，则不存在满足条件的实数x，方程无解。
【解析】
解：对原方程移项，得
$(2x-1)^2 = -4$
∵ 在实数范围内，任意实数的平方均为非负数，即$(2x-1)^2 ≥ 0$恒成立，
而$-4 ＜ 0$，不存在实数x使得等式成立，
∴ 原方程无实数解。
【答案】
原方程无解
【知识点】
直接开平方法解方程；平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解方程的典型基础题，解题时无需强行计算开方，先观察完全平方式对应的常数符号，即可快速判断方程是否有解，易错点是忽略平方数的非负性，盲目对负数开平方。
【难度系数】
0.8
例 用直接开平方法解下列方程：
(1)$2y^2=8$；
(2)$4x^2 - 4x + 1 = 0$。
(1)$2y^2=8$；
(2)$4x^2 - 4x + 1 = 0$。
答案
解：(1)二次项系数化为 1，得 $y^2 = 4$. 由此可得 $y = \pm 2$，即 $y_1 = 2$，$y_2 = -2$.
(2)整理，得$(2x-1)^2 = 0$，由此可得 $2x-1 = 0$，即 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$.
(2)整理，得$(2x-1)^2 = 0$，由此可得 $2x-1 = 0$，即 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是先将方程转化为“平方项等于常数”的标准形式，再开平方求解。对于第(1)题，先把二次项系数化为1，得到$y^2$等于常数的形式，再直接开平方即可得到$y$的解；对于第(2)题，方程左侧是完全平方式，先整理为一次式的平方等于0的形式，再开平方求解即可。
【解析】
(1) 二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$y^2 = 4$
对等式两边开平方，可得$y = \pm 2$，即$y_1 = 2$，$y_2 = -2$。
(2) 对左侧多项式因式分解（完全平方公式），整理得：
$(2x-1)^2 = 0$
对等式两边开平方，可得$2x-1 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$，即$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y_1 = 2$，$y_2 = -2$；
(2) $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是熟练识别可开平方的方程结构，掌握完全平方式的特征，注意当平方项等于0时，方程有两个相等的实数根，不要漏写解的个数。
【难度系数】
0.85
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是先将方程转化为“平方项等于常数”的标准形式，再开平方求解。对于第(1)题，先把二次项系数化为1，得到$y^2$等于常数的形式，再直接开平方即可得到$y$的解；对于第(2)题，方程左侧是完全平方式，先整理为一次式的平方等于0的形式，再开平方求解即可。
【解析】
(1) 二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$y^2 = 4$
对等式两边开平方，可得$y = \pm 2$，即$y_1 = 2$，$y_2 = -2$。
(2) 对左侧多项式因式分解（完全平方公式），整理得：
$(2x-1)^2 = 0$
对等式两边开平方，可得$2x-1 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$，即$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y_1 = 2$，$y_2 = -2$；
(2) $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是熟练识别可开平方的方程结构，掌握完全平方式的特征，注意当平方项等于0时，方程有两个相等的实数根，不要漏写解的个数。
【难度系数】
0.85
用直接开平方法解下列方程：
(1)$2(x-8)^2 -50=0$；
(2)$(x+3)^2=4(x-2)^2$。
(1)$2(x-8)^2 -50=0$；
(2)$(x+3)^2=4(x-2)^2$。
答案
(1)$x_1=13, x_2=3$
(2)$x_1=7, x_2=\frac{1}{3}$
(2)$x_1=7, x_2=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“完全平方式等于非负常数”的形式，再利用平方根的性质开平方转化为一元一次方程求解。
对于(1)：先通过移项、系数化为1，把方程整理为$(x-8)^2=$常数的形式，再开平方计算；
对于(2)：方程左右两边均为完全平方式，可直接开平方，注意右边开平方后有正负两种情况，分两类求解即可。
【解析】
(1) 解方程$2(x-8)^2 -50=0$
第一步：移项，得 $2(x-8)^2=50$
第二步：系数化为1，得 $(x-8)^2=25$
第三步：两边开平方，得 $x-8=\pm5$
即 $x-8=5$ 或 $x-8=-5$
分别解得：$x_1=13$，$x_2=3$
(2) 解方程$(x+3)^2=4(x-2)^2$
第一步：两边直接开平方，得 $x+3=\pm2(x-2)$
分两种情况求解：
情况1：$x+3=2(x-2)$
去括号得 $x+3=2x-4$
移项合并同类项得 $x=7$
情况2：$x+3=-2(x-2)$
去括号得 $x+3=-2x+4$
移项合并同类项得 $3x=1$，解得 $x=\frac{1}{3}$
综上，方程的解为$x_1=7$，$x_2=\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$x_1=13, x_2=3$
(2)$x_1=7, x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是准确将方程转化为可开平方的结构，开平方时要注意正负两种情况，避免漏解，掌握方法后计算难度较低。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“完全平方式等于非负常数”的形式，再利用平方根的性质开平方转化为一元一次方程求解。
对于(1)：先通过移项、系数化为1，把方程整理为$(x-8)^2=$常数的形式，再开平方计算；
对于(2)：方程左右两边均为完全平方式，可直接开平方，注意右边开平方后有正负两种情况，分两类求解即可。
【解析】
(1) 解方程$2(x-8)^2 -50=0$
第一步：移项，得 $2(x-8)^2=50$
第二步：系数化为1，得 $(x-8)^2=25$
第三步：两边开平方，得 $x-8=\pm5$
即 $x-8=5$ 或 $x-8=-5$
分别解得：$x_1=13$，$x_2=3$
(2) 解方程$(x+3)^2=4(x-2)^2$
第一步：两边直接开平方，得 $x+3=\pm2(x-2)$
分两种情况求解：
情况1：$x+3=2(x-2)$
去括号得 $x+3=2x-4$
移项合并同类项得 $x=7$
情况2：$x+3=-2(x-2)$
去括号得 $x+3=-2x+4$
移项合并同类项得 $3x=1$，解得 $x=\frac{1}{3}$
综上，方程的解为$x_1=7$，$x_2=\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$x_1=13, x_2=3$
(2)$x_1=7, x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是准确将方程转化为可开平方的结构，开平方时要注意正负两种情况，避免漏解，掌握方法后计算难度较低。
【难度系数】
0.8
