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探究1：将左边的多项式配成完全平方式.
(1)$x^2+\frac{3}{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$4x^2-6x+\_\_\_\_\_\_=4(x-\_\_\_\_\_\_)^2=(2x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
探究2：如果$x^2-2(m-3)x+25$是一个完全平方式，那么$m$的值是多少？
(1)$x^2+\frac{3}{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$4x^2-6x+\_\_\_\_\_\_=4(x-\_\_\_\_\_\_)^2=(2x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
探究2：如果$x^2-2(m-3)x+25$是一个完全平方式，那么$m$的值是多少？
答案
探究1 (1)$\frac{9}{16}$ $\frac{3}{4}$ (2)$\frac{9}{4}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{2}$
探究2 解：$\because x^2-2(m-3)x+25$是一个完全平方式，$\therefore 2(m-3)=\pm10$，解得$m=8$或$m=-2$.
探究2 解：$\because x^2-2(m-3)x+25$是一个完全平方式，$\therefore 2(m-3)=\pm10$，解得$m=8$或$m=-2$.
解析
【分析】
解决这类配成完全平方式的问题，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。配方时，若二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方；若二次项系数不为1，先提取二次项系数将二次项系数化为1，再按上述规则配方。探究2中完全平方式包含“和的平方”“差的平方”两种形式，因此一次项系数对应两种正负情况，解题时需分类讨论避免漏解。
【解析】
探究1
(1) 二次项系数为1，一次项系数为$\frac{3}{2}$，因此需加的常数项为$(\frac{3}{2}×\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，即$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=(x+\frac{3}{4})^2$。
(2) 先对二次项、一次项提取公因式4：$4x^2-6x=4(x^2-\frac{3}{2}x)$，括号内一次项系数为$-\frac{3}{2}$，需加的常数项为$(\frac{3}{2}×\frac{1}{2})^2=\frac{9}{16}$，因此整体需加的常数项为$4×\frac{9}{16}=\frac{9}{4}$，即$4x^2-6x+\frac{9}{4}=4(x-\frac{3}{4})^2$；将4移入平方内可得$4(x-\frac{3}{4})^2=(2x-\frac{3}{2})^2$。
探究2
$\because x^2-2(m-3)x+25$是完全平方式，尾项$25=5^2$，符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2$的结构，其中$a=x$，$b=5$
$\therefore$ 中间项系数满足：$-2(m-3)=\pm2×1×5=\pm10$
当$-2(m-3)=10$时，解得$m=-2$；当$-2(m-3)=-10$时，解得$m=8$
【答案】
探究1：(1)$\frac{9}{16}$，$\frac{3}{4}$；(2)$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$
探究2：$m=8$或$m=-2$
【知识点】
完全平方公式，配方法，完全平方式判定
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，需要准确掌握完全平方公式的结构，注意二次项系数不为1时的配方规则，同时完全平方式有两种形式，解题时不要忽略负号的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解决这类配成完全平方式的问题，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。配方时，若二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方；若二次项系数不为1，先提取二次项系数将二次项系数化为1，再按上述规则配方。探究2中完全平方式包含“和的平方”“差的平方”两种形式，因此一次项系数对应两种正负情况，解题时需分类讨论避免漏解。
【解析】
探究1
(1) 二次项系数为1，一次项系数为$\frac{3}{2}$，因此需加的常数项为$(\frac{3}{2}×\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，即$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=(x+\frac{3}{4})^2$。
(2) 先对二次项、一次项提取公因式4：$4x^2-6x=4(x^2-\frac{3}{2}x)$，括号内一次项系数为$-\frac{3}{2}$，需加的常数项为$(\frac{3}{2}×\frac{1}{2})^2=\frac{9}{16}$，因此整体需加的常数项为$4×\frac{9}{16}=\frac{9}{4}$，即$4x^2-6x+\frac{9}{4}=4(x-\frac{3}{4})^2$；将4移入平方内可得$4(x-\frac{3}{4})^2=(2x-\frac{3}{2})^2$。
探究2
$\because x^2-2(m-3)x+25$是完全平方式，尾项$25=5^2$，符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2$的结构，其中$a=x$，$b=5$
$\therefore$ 中间项系数满足：$-2(m-3)=\pm2×1×5=\pm10$
当$-2(m-3)=10$时，解得$m=-2$；当$-2(m-3)=-10$时，解得$m=8$
【答案】
探究1：(1)$\frac{9}{16}$，$\frac{3}{4}$；(2)$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$
探究2：$m=8$或$m=-2$
【知识点】
完全平方公式，配方法，完全平方式判定
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，需要准确掌握完全平方公式的结构，注意二次项系数不为1时的配方规则，同时完全平方式有两种形式，解题时不要忽略负号的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
1. 若$x^2 - 4x + p = (x + q)^2$，则$p$，$q$的值分别是（
A.4，2
B.4，－2
C.－4，－2
D.－4，2
B
）A.4，2
B.4，－2
C.－4，－2
D.－4，2
答案
1. B
解析
【分析】
本题是利用多项式恒等求参数的题型，解题思路如下：首先观察到等式右侧是完全平方的形式，可先根据完全平方公式将右侧展开，再依据“两个多项式相等时，对应同类项的系数分别相等”这一性质，分别列出关于q和p的方程，依次求解即可得到结果，解题时需注意完全平方展开时一次项的符号不要出错。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式右侧展开可得：
$(x+q)^2 = x^2 + 2qx + q^2$
已知$x^2 - 4x + p = (x+q)^2$，两个多项式相等则对应同类项系数相等：
1. 对应一次项系数：$2q = -4$，解得$q = -2$
2. 对应常数项：$p = q^2$，将$q=-2$代入得$p=(-2)^2=4$
因此$p=4$，$q=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，多项式恒等条件，配方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，主要考查对完全平方公式结构的掌握程度，熟练记忆完全平方公式的展开形式、注意系数符号是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是利用多项式恒等求参数的题型，解题思路如下：首先观察到等式右侧是完全平方的形式，可先根据完全平方公式将右侧展开，再依据“两个多项式相等时，对应同类项的系数分别相等”这一性质，分别列出关于q和p的方程，依次求解即可得到结果，解题时需注意完全平方展开时一次项的符号不要出错。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式右侧展开可得：
$(x+q)^2 = x^2 + 2qx + q^2$
已知$x^2 - 4x + p = (x+q)^2$，两个多项式相等则对应同类项系数相等：
1. 对应一次项系数：$2q = -4$，解得$q = -2$
2. 对应常数项：$p = q^2$，将$q=-2$代入得$p=(-2)^2=4$
因此$p=4$，$q=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，多项式恒等条件，配方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，主要考查对完全平方公式结构的掌握程度，熟练记忆完全平方公式的展开形式、注意系数符号是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 代数式$2x^2 -6x +1$的最小值为
-3.5
。答案
2. -3.5
解析
【分析】
要求二次代数式$2x^2 -6x +1$的最小值，我们可以用配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式：首先因为二次项系数为2＞0，所以代数式存在最小值；先提取二次项系数，将含x的项整理为可配方的形式，再利用完全平方公式配方，最后根据完全平方式的非负性即可求出最小值。
【解析】
对代数式$2x^2 -6x +1$进行配方：
1. 提取二次项系数2，将含x的项放在括号内：
$2x^2 -6x +1=2(x^2 - 3x) + 1$
2. 对括号内的式子配方，加上并减去一次项系数一半的平方，即$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$：
$=2[(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4}] + 1$
3. 将括号内的完全平方式整理，展开计算常数项：
$=2(x - \frac{3}{2})^2 - 2×\frac{9}{4} + 1$
$=2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 1$
$=2(x - \frac{3}{2})^2 - 3.5$
4. 根据完全平方式的非负性，$(x - \frac{3}{2})^2≥0$，因此$2(x - \frac{3}{2})^2≥0$，可得：
$2(x - \frac{3}{2})^2 - 3.5 ≥ -3.5$
当$x=\frac{3}{2}$时，代数式取到最小值。
【答案】
-3.5
【知识点】
配方法，完全平方的非负性，二次代数式求最值
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是掌握配方的步骤：先提取二次项系数，再对剩余的二次项和一次项凑完全平方，注意配方时增加的项要同步抵消，避免改变代数式的值。
【难度系数】
0.8
要求二次代数式$2x^2 -6x +1$的最小值，我们可以用配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式：首先因为二次项系数为2＞0，所以代数式存在最小值；先提取二次项系数，将含x的项整理为可配方的形式，再利用完全平方公式配方，最后根据完全平方式的非负性即可求出最小值。
【解析】
对代数式$2x^2 -6x +1$进行配方：
1. 提取二次项系数2，将含x的项放在括号内：
$2x^2 -6x +1=2(x^2 - 3x) + 1$
2. 对括号内的式子配方，加上并减去一次项系数一半的平方，即$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$：
$=2[(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4}] + 1$
3. 将括号内的完全平方式整理，展开计算常数项：
$=2(x - \frac{3}{2})^2 - 2×\frac{9}{4} + 1$
$=2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 1$
$=2(x - \frac{3}{2})^2 - 3.5$
4. 根据完全平方式的非负性，$(x - \frac{3}{2})^2≥0$，因此$2(x - \frac{3}{2})^2≥0$，可得：
$2(x - \frac{3}{2})^2 - 3.5 ≥ -3.5$
当$x=\frac{3}{2}$时，代数式取到最小值。
【答案】
-3.5
【知识点】
配方法，完全平方的非负性，二次代数式求最值
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是掌握配方的步骤：先提取二次项系数，再对剩余的二次项和一次项凑完全平方，注意配方时增加的项要同步抵消，避免改变代数式的值。
【难度系数】
0.8
任务二 用配方法解一元二次方程
阅读材料，完成问题探究过程.
在城市化快速发展的当今时代，城市中的公
园已成为人们休闲娱乐的重要场所. 某市准备为居民打造一个舒适的矩形公园，计划该矩形公园的面积为16 m²，设计要求这块矩形公园的长比宽多6 m. 该矩形公园的长和宽应分别设计为多少米？
分析：设公园的宽为x m，则长为 m，根据矩形面积为16 m²，得到方程，整理，得.
思考：回顾前面讨论过的方程$x^2 + 6x + 9 = 4$，可以发现方程$x^2 + 6x + 9 = 4$的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而本题的方程不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解答：移项，得$x^2 + 6x = 16$.
将两边都加上即，方程左边配成$x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2$形式的完全平方式，即$x^2 + 6x +\_\_\_\_\_\_=16 +$，左边写成完全平方形式，得，两边开平方，得（降次），即，或，解一次方程，得$x_1 =$，$x_2 =$.
新知生成：通过配成形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方的目的是，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
实践应用：用配方法解方程$3x^2 - 8x - 3 = 0$.
阅读材料，完成问题探究过程.
在城市化快速发展的当今时代，城市中的公
园已成为人们休闲娱乐的重要场所. 某市准备为居民打造一个舒适的矩形公园，计划该矩形公园的面积为16 m²，设计要求这块矩形公园的长比宽多6 m. 该矩形公园的长和宽应分别设计为多少米？
分析：设公园的宽为x m，则长为 m，根据矩形面积为16 m²，得到方程，整理，得.
思考：回顾前面讨论过的方程$x^2 + 6x + 9 = 4$，可以发现方程$x^2 + 6x + 9 = 4$的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而本题的方程不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解答：移项，得$x^2 + 6x = 16$.
将两边都加上即，方程左边配成$x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2$形式的完全平方式，即$x^2 + 6x +\_\_\_\_\_\_=16 +$，左边写成完全平方形式，得，两边开平方，得（降次），即，或，解一次方程，得$x_1 =$，$x_2 =$.
新知生成：通过配成形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方的目的是，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
实践应用：用配方法解方程$3x^2 - 8x - 3 = 0$.
答案
分析 $(x+6)$ $x(x+6)=16$ $x^2+6x-16=0$
解答 $(\frac{6}{2})^2$ 9 9 9 $(x+3)^2=25$ $x+3=\pm5$ $x+3=5$ $x+3=-5$ 2 -8
新知生成 完全平方 利用开平方实现降次
实践应用 $x_1=3,\ x_2=-\frac{1}{3}$
解答 $(\frac{6}{2})^2$ 9 9 9 $(x+3)^2=25$ $x+3=\pm5$ $x+3=5$ $x+3=-5$ 2 -8
新知生成 完全平方 利用开平方实现降次
实践应用 $x_1=3,\ x_2=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解决本题首先要将实际问题转化为数学模型：先设未知数表示矩形的长和宽，利用矩形面积公式列出一元二次方程，再用配方法求解。配方法的核心是把方程左边凑成完全平方式，对于$x^2+bx$的形式，需加上一次项系数一半的平方，将方程变形为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过开平方降次为一元一次方程求解，实际问题中还要注意舍去不符合题意的负根。实践应用部分的方程二次项系数不为1，需要先把二次项系数化为1，再按配方法步骤求解。
【解析】
问题探究部分
1. 分析填空：
设公园的宽为$x\ \mathrm{m}$，长比宽多$6\ \mathrm{m}$，因此长为$(x+6)\ \mathrm{m}$；根据矩形面积=长×宽，列方程$x(x+6)=16$，整理得一元二次方程$x^2+6x-16=0$。
2. 解方程填空：
移项得$x^2+6x=16$，根据配方法要求，两边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$，方程变为$x^2+6x+9=16+9$，左边写成完全平方形式得$(x+3)^2=25$；两边开平方降次得$x+3=\pm5$，即$x+3=5$或$x+3=-5$，解得$x_1=2$，$x_2=-8$（负根不符合边长为正的要求，舍去），因此公园宽为$2\ \mathrm{m}$，长为$2+6=8\ \mathrm{m}$。
3. 新知生成填空：
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫作配方法，配方的目的是利用开平方实现降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
实践应用部分
解方程$3x^2 - 8x - 3 = 0$：
1. 移项，得$3x^2 - 8x = 3$
2. 二次项系数化为1，两边同时除以3，得$x^2 - \frac{8}{3}x = 1$
3. 配方，两边同时加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，得$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$，即$(x - \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
4. 开平方，得$x - \frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$，即$x - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$或$x - \frac{4}{3} = -\frac{5}{3}$
5. 解一次方程得$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{3}$
【答案】
分析：$(x+6)$；$x(x+6)=16$；$x^2+6x-16=0$
解答：$(\frac{6}{2})^2$；9；9；9；$(x+3)^2=25$；$x+3=\pm5$；$x+3=5$；$x+3=-5$；2；-8
新知生成：完全平方；利用开平方实现降次
实践应用：$x_1=3,\ x_2=-\frac{1}{3}$
（实际问题中公园长为$8\ \mathrm{m}$，宽为$2\ \mathrm{m}$）
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程实际应用；完全平方公式
【点评】
本题结合生活场景考查配方法的原理和操作步骤，要求熟练掌握配方法的核心逻辑：通过凑完全平方式实现降次，二次项系数不为1时要先化为1再配方，解决实际问题时需检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要将实际问题转化为数学模型：先设未知数表示矩形的长和宽，利用矩形面积公式列出一元二次方程，再用配方法求解。配方法的核心是把方程左边凑成完全平方式，对于$x^2+bx$的形式，需加上一次项系数一半的平方，将方程变形为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过开平方降次为一元一次方程求解，实际问题中还要注意舍去不符合题意的负根。实践应用部分的方程二次项系数不为1，需要先把二次项系数化为1，再按配方法步骤求解。
【解析】
问题探究部分
1. 分析填空：
设公园的宽为$x\ \mathrm{m}$，长比宽多$6\ \mathrm{m}$，因此长为$(x+6)\ \mathrm{m}$；根据矩形面积=长×宽，列方程$x(x+6)=16$，整理得一元二次方程$x^2+6x-16=0$。
2. 解方程填空：
移项得$x^2+6x=16$，根据配方法要求，两边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$，方程变为$x^2+6x+9=16+9$，左边写成完全平方形式得$(x+3)^2=25$；两边开平方降次得$x+3=\pm5$，即$x+3=5$或$x+3=-5$，解得$x_1=2$，$x_2=-8$（负根不符合边长为正的要求，舍去），因此公园宽为$2\ \mathrm{m}$，长为$2+6=8\ \mathrm{m}$。
3. 新知生成填空：
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫作配方法，配方的目的是利用开平方实现降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
实践应用部分
解方程$3x^2 - 8x - 3 = 0$：
1. 移项，得$3x^2 - 8x = 3$
2. 二次项系数化为1，两边同时除以3，得$x^2 - \frac{8}{3}x = 1$
3. 配方，两边同时加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，得$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$，即$(x - \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
4. 开平方，得$x - \frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$，即$x - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$或$x - \frac{4}{3} = -\frac{5}{3}$
5. 解一次方程得$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{3}$
【答案】
分析：$(x+6)$；$x(x+6)=16$；$x^2+6x-16=0$
解答：$(\frac{6}{2})^2$；9；9；9；$(x+3)^2=25$；$x+3=\pm5$；$x+3=5$；$x+3=-5$；2；-8
新知生成：完全平方；利用开平方实现降次
实践应用：$x_1=3,\ x_2=-\frac{1}{3}$
（实际问题中公园长为$8\ \mathrm{m}$，宽为$2\ \mathrm{m}$）
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程实际应用；完全平方公式
【点评】
本题结合生活场景考查配方法的原理和操作步骤，要求熟练掌握配方法的核心逻辑：通过凑完全平方式实现降次，二次项系数不为1时要先化为1再配方，解决实际问题时需检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
