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用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 6x + 5 = 0$；
(2)$2x^2 + 4x - 1 = 0$。
(1)$x^2 + 6x + 5 = 0$；
(2)$2x^2 + 4x - 1 = 0$。
答案
(1)$x_1=-1,\ x_2=-5$
(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{2},\ x_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{2},\ x_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解，解题步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解。
第(1)题二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开方的步骤计算即可；第(2)题二次项系数为2，需要先将方程两边同除以2，把二次项系数化为1，再按后续步骤求解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 6x + 5 = 0$：
移项，得：$x^2 + 6x = -5$
配方，一次项系数6的一半为3，两边同时加$3^2=9$，得：
$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$
即$(x + 3)^2 = 4$
开平方，得：$x + 3 = \pm 2$
解得：$x_1 = -3 + 2 = -1$，$x_2 = -3 - 2 = -5$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$：
将二次项系数化为1，两边同除以2，得：
$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：$x^2 + 2x = \frac{1}{2}$
配方，一次项系数2的一半为1，两边同时加$1^2=1$，得：
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
即$(x + 1)^2 = \frac{3}{2}$
开平方，得：$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$
解得：$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-1,\ x_2=-5$
(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{2},\ x_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方时等号两边要同时加相同的常数，避免漏加右侧常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解，解题步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解。
第(1)题二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开方的步骤计算即可；第(2)题二次项系数为2，需要先将方程两边同除以2，把二次项系数化为1，再按后续步骤求解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 6x + 5 = 0$：
移项，得：$x^2 + 6x = -5$
配方，一次项系数6的一半为3，两边同时加$3^2=9$，得：
$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$
即$(x + 3)^2 = 4$
开平方，得：$x + 3 = \pm 2$
解得：$x_1 = -3 + 2 = -1$，$x_2 = -3 - 2 = -5$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$：
将二次项系数化为1，两边同除以2，得：
$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：$x^2 + 2x = \frac{1}{2}$
配方，一次项系数2的一半为1，两边同时加$1^2=1$，得：
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
即$(x + 1)^2 = \frac{3}{2}$
开平方，得：$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$
解得：$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-1,\ x_2=-5$
(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{2},\ x_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方时等号两边要同时加相同的常数，避免漏加右侧常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.8
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
配方法
技巧
先把二次项系数化为1，然后补上缺失的项，组成
用配方法解一元二次方程
①移项
②二次项系数化为1
③配方
④开方
⑤求解
请根据本课所学，构建知识体系。
配方法
技巧
先把二次项系数化为1，然后补上缺失的项，组成
完全平方
式用配方法解一元二次方程
①移项
②二次项系数化为1
③配方
④开方
⑤求解
答案
完全平方
解析
【分析】
解这道题需要回忆配方法的操作原理和每一步的目的。配方法解一元二次方程的核心是通过恒等变形，把含未知数的二次式转化为可直接开平方的形式，完成二次项系数化为1的步骤后，接下来的配方环节要添加合适的常数项，目的就是将含未知数的二次三项式凑成可直接开方的式子，我们学过只有完全平方式满足该要求，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据配方法的操作规则，将二次项系数化为1后，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，使等式左侧含未知数的代数式构成完全平方式，便于后续开展开方运算，因此空缺处应填“完全平方”。
【答案】
完全平方
【知识点】
配方法；完全平方式；一元二次方程解法
【点评】
本题考查配方法的核心操作原理，属于基础概念题，熟练掌握配方法的步骤和每一步的设计目的即可快速作答，是配方法解一元二次方程的基础考点。
【难度系数】
0.9
解这道题需要回忆配方法的操作原理和每一步的目的。配方法解一元二次方程的核心是通过恒等变形，把含未知数的二次式转化为可直接开平方的形式，完成二次项系数化为1的步骤后，接下来的配方环节要添加合适的常数项，目的就是将含未知数的二次三项式凑成可直接开方的式子，我们学过只有完全平方式满足该要求，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据配方法的操作规则，将二次项系数化为1后，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，使等式左侧含未知数的代数式构成完全平方式，便于后续开展开方运算，因此空缺处应填“完全平方”。
【答案】
完全平方
【知识点】
配方法；完全平方式；一元二次方程解法
【点评】
本题考查配方法的核心操作原理，属于基础概念题，熟练掌握配方法的步骤和每一步的设计目的即可快速作答，是配方法解一元二次方程的基础考点。
【难度系数】
0.9
任务导学
任务一 探究得到求根公式
阅读教材，梳理知识生成的过程，完成下列填空.
(1)根的判别式
(2)求根公式
任务一 探究得到求根公式
阅读教材，梳理知识生成的过程，完成下列填空.
(1)根的判别式
(2)求根公式
答案
(1)$-c\quad -\frac{c}{a}\quad (\frac{b}{2a})^2\quad (\frac{b}{2a})^2\quad b^2-4ac\quad \Delta\quad \Delta=b^2-4ac$
(2)两个不相等 两个相等 无 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求根公式
(2)两个不相等 两个相等 无 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求根公式
解析
【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的推导过程，解题时需回忆配方法解一元二次方程的步骤，按推导顺序逐步填空即可：①先对一般形式的一元二次方程移项、将二次项系数化为1；②通过配方将方程左边转化为完全平方式，整理右边的式子得到根的判别式；③根据判别式的符号判断方程根的情况，进一步开方整理得到求根公式。
【解析】
(1) 对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
第一步移项，将常数项移到等号右侧，得$ax^2+bx=-c$，第一个空填$-c$；
第二步等号两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，第二个空填$-\frac{c}{a}$；
第三步配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，因此第三、第四个空均填$(\frac{b}{2a})^2$；
整理等号右侧的式子，通分后可得$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，我们将分子$b^2-4ac$定义为一元二次方程根的判别式，用符号$\Delta$表示，即$\Delta=b^2-4ac$，因此后三个空依次填$b^2-4ac$、$\Delta$、$\Delta=b^2-4ac$。
(2) 根据判别式的取值可判断一元二次方程根的情况：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，等号右侧为负数，无实数平方根，因此方程无实数根；
当$\Delta≥0$时，对等号两边开平方并整理，可得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，用它解方程的方法称为公式法。
【答案】
(1)$-c\quad -\frac{c}{a}\quad (\frac{b}{2a})^2\quad (\frac{b}{2a})^2\quad b^2-4ac\quad \Delta\quad \Delta=b^2-4ac$
(2)两个不相等 两个相等 无 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求根公式
【知识点】
1. 根的判别式
2. 求根公式推导
3. 求根公式
【点评】
本题侧重考察一元二次方程求根公式的生成过程，属于基础类题目，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键，理解推导过程能帮助我们更好地记忆和运用求根公式与判别式解决相关问题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程求根公式的推导过程，解题时需回忆配方法解一元二次方程的步骤，按推导顺序逐步填空即可：①先对一般形式的一元二次方程移项、将二次项系数化为1；②通过配方将方程左边转化为完全平方式，整理右边的式子得到根的判别式；③根据判别式的符号判断方程根的情况，进一步开方整理得到求根公式。
【解析】
(1) 对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
第一步移项，将常数项移到等号右侧，得$ax^2+bx=-c$，第一个空填$-c$；
第二步等号两边同时除以二次项系数$a$，将二次项系数化为1，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，第二个空填$-\frac{c}{a}$；
第三步配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，因此第三、第四个空均填$(\frac{b}{2a})^2$；
整理等号右侧的式子，通分后可得$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，我们将分子$b^2-4ac$定义为一元二次方程根的判别式，用符号$\Delta$表示，即$\Delta=b^2-4ac$，因此后三个空依次填$b^2-4ac$、$\Delta$、$\Delta=b^2-4ac$。
(2) 根据判别式的取值可判断一元二次方程根的情况：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，等号右侧为负数，无实数平方根，因此方程无实数根；
当$\Delta≥0$时，对等号两边开平方并整理，可得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，用它解方程的方法称为公式法。
【答案】
(1)$-c\quad -\frac{c}{a}\quad (\frac{b}{2a})^2\quad (\frac{b}{2a})^2\quad b^2-4ac\quad \Delta\quad \Delta=b^2-4ac$
(2)两个不相等 两个相等 无 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求根公式
【知识点】
1. 根的判别式
2. 求根公式推导
3. 求根公式
【点评】
本题侧重考察一元二次方程求根公式的生成过程，属于基础类题目，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键，理解推导过程能帮助我们更好地记忆和运用求根公式与判别式解决相关问题。
【难度系数】
0.8
1. 一元二次方程$x^2 + x - 3 = 0$根的判别式的值为 （
A.$-11$
B.$14$
C.$13$
D.$\pm\sqrt{13}$
C
）A.$-11$
B.$14$
C.$13$
D.$\pm\sqrt{13}$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中对应找出$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，注意要带上每项的符号，再将三个值代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程$x^2 + x - 3 = 0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，
将其代入判别式公式得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的计算，解题的关键是准确识别一元二次方程各项的系数，计算时尤其要注意常数项的符号，避免符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中对应找出$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，注意要带上每项的符号，再将三个值代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程$x^2 + x - 3 = 0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，
将其代入判别式公式得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的计算，解题的关键是准确识别一元二次方程各项的系数，计算时尤其要注意常数项的符号，避免符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
2. 用公式法解关于$x$的一元二次方程，得$x = \frac{-6\pm\sqrt{6^2 - 4×4×1}}{2×4}$，则该一元二次方程是
任务二
运用一元二次方程根的判别式解决问题
阅读材料，完成下列探究.
已知关于$x$的一元二次方程$mx^2+(2m+3)x + m - 3 = 0$.
探究1：当$m$为何值时，方程有两个不相等的实数根？
探究2：当$m$为何值时，方程有两个相等的实数根？
探究3：当$m$为何值时，方程没有实数根？
归纳总结
根的判别式的三个作用：
(1) 判断方程根的情况：不解方程，根据$b^2 - 4ac$的符号直接判断方程根的情况.
(2) 求系数中字母的取值范围：已知方程根的情况，求方程中字母系数的取值范围，注意还需满足二次项系数不为0.
(3) 证明关于根的结论：根据$b^2 - 4ac$恒大于0或恒小于0或恒等于0，证明关于方程根的结论.
即时测评
$4x^2+6x+1=0$
.任务二
运用一元二次方程根的判别式解决问题
阅读材料，完成下列探究.
已知关于$x$的一元二次方程$mx^2+(2m+3)x + m - 3 = 0$.
探究1：当$m$为何值时，方程有两个不相等的实数根？
探究2：当$m$为何值时，方程有两个相等的实数根？
探究3：当$m$为何值时，方程没有实数根？
归纳总结
根的判别式的三个作用：
(1) 判断方程根的情况：不解方程，根据$b^2 - 4ac$的符号直接判断方程根的情况.
(2) 求系数中字母的取值范围：已知方程根的情况，求方程中字母系数的取值范围，注意还需满足二次项系数不为0.
(3) 证明关于根的结论：根据$b^2 - 4ac$恒大于0或恒小于0或恒等于0，证明关于方程根的结论.
即时测评
答案
探究1 解：根据题意，得 $m≠0$ 且$(2m+3)^2-4m(m-3)＞0$，解得 $m＞-\frac{3}{8}$且$m≠0$.
探究2 解：根据题意，得 $m≠0$ 且$(2m+3)^2-4m(m-3)=0$，解得 $m=-\frac{3}{8}$.
探究3 解：根据题意，得 $m≠0$ 且$(2m+3)^2-4m(m-3)＜0$，解得 $m＜-\frac{3}{8}$.
探究2 解：根据题意，得 $m≠0$ 且$(2m+3)^2-4m(m-3)=0$，解得 $m=-\frac{3}{8}$.
探究3 解：根据题意，得 $m≠0$ 且$(2m+3)^2-4m(m-3)＜0$，解得 $m＜-\frac{3}{8}$.
解析
【分析】
要解决这三个探究问题，首先明确两个核心前提：一是题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m≠0$；二是一元二次方程根的情况和判别式$\Delta=b^2-4ac$的对应关系：两个不相等的实数根对应$\Delta＞0$，两个相等的实数根对应$\Delta=0$，没有实数根对应$\Delta＜0$。解题步骤为：首先确定方程中$a、b、c$的对应值，计算化简判别式$\Delta$的表达式；再根据不同根的情况列关于$m$的不等式或方程，求解后结合$m≠0$的限制条件得到最终结果。
【解析】
∵方程是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$m≠0$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac=(2m+3)^2 - 4· m·(m-3)$
$=4m^2+12m+9-4m^2+12m$
$=24m+9$
探究1：方程有两个不相等的实数根
需满足$\Delta＞0$且$m≠0$，即：
$24m+9＞0$，解得$m＞-\frac{3}{8}$
结合$m≠0$，得$m＞-\frac{3}{8}$且$m≠0$。
探究2：方程有两个相等的实数根
需满足$\Delta=0$且$m≠0$，即：
$24m+9=0$，解得$m=-\frac{3}{8}$
符合$m≠0$的条件，故$m=-\frac{3}{8}$。
探究3：方程没有实数根
需满足$\Delta＜0$且$m≠0$，即：
$24m+9＜0$，解得$m＜-\frac{3}{8}$。
【答案】
探究1：$m＞-\frac{3}{8}$且$m≠0$
探究2：$m=-\frac{3}{8}$
探究3：$m＜-\frac{3}{8}$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题时容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握根的情况与判别式符号的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决这三个探究问题，首先明确两个核心前提：一是题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m≠0$；二是一元二次方程根的情况和判别式$\Delta=b^2-4ac$的对应关系：两个不相等的实数根对应$\Delta＞0$，两个相等的实数根对应$\Delta=0$，没有实数根对应$\Delta＜0$。解题步骤为：首先确定方程中$a、b、c$的对应值，计算化简判别式$\Delta$的表达式；再根据不同根的情况列关于$m$的不等式或方程，求解后结合$m≠0$的限制条件得到最终结果。
【解析】
∵方程是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$m≠0$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac=(2m+3)^2 - 4· m·(m-3)$
$=4m^2+12m+9-4m^2+12m$
$=24m+9$
探究1：方程有两个不相等的实数根
需满足$\Delta＞0$且$m≠0$，即：
$24m+9＞0$，解得$m＞-\frac{3}{8}$
结合$m≠0$，得$m＞-\frac{3}{8}$且$m≠0$。
探究2：方程有两个相等的实数根
需满足$\Delta=0$且$m≠0$，即：
$24m+9=0$，解得$m=-\frac{3}{8}$
符合$m≠0$的条件，故$m=-\frac{3}{8}$。
探究3：方程没有实数根
需满足$\Delta＜0$且$m≠0$，即：
$24m+9＜0$，解得$m＜-\frac{3}{8}$。
【答案】
探究1：$m＞-\frac{3}{8}$且$m≠0$
探究2：$m=-\frac{3}{8}$
探究3：$m＜-\frac{3}{8}$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题时容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握根的情况与判别式符号的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
