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1. 下列方程没有实数根的是 （
A.$x^2 - x - 1 = 0$
B.$3x^2 + 4x = 5$
C.$x^2 + 3 = 2\sqrt{3}x$
D.$2x^2 + x + 1 = 0$
D
）A.$x^2 - x - 1 = 0$
B.$3x^2 + 4x = 5$
C.$x^2 + 3 = 2\sqrt{3}x$
D.$2x^2 + x + 1 = 0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先将每个选项的方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再分别计算判别式的值，最终找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x^2 - x - 1 = 0$是一般形式，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
选项B：先将方程整理为一般形式$3x^2 + 4x - 5 = 0$，其中$a=3$，$b=4$，$c=-5$，
$\Delta = 4^2 - 4×3×(-5) = 16 + 60 = 76＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
选项C：先将方程整理为一般形式$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，
$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 12 - 12 = 0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意。
选项D：方程$2x^2 + x + 1 = 0$是一般形式，其中$a=2$，$b=1$，$c=1$，
$\Delta = 1^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7＜0$，方程没有实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查根的判别式的使用方法，解题时需注意先将方程化为一般形式再确定$a、b、c$的值，避免因符号错误导致判别式计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先将每个选项的方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再分别计算判别式的值，最终找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x^2 - x - 1 = 0$是一般形式，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
选项B：先将方程整理为一般形式$3x^2 + 4x - 5 = 0$，其中$a=3$，$b=4$，$c=-5$，
$\Delta = 4^2 - 4×3×(-5) = 16 + 60 = 76＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
选项C：先将方程整理为一般形式$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，
$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 12 - 12 = 0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意。
选项D：方程$2x^2 + x + 1 = 0$是一般形式，其中$a=2$，$b=1$，$c=1$，
$\Delta = 1^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7＜0$，方程没有实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查根的判别式的使用方法，解题时需注意先将方程化为一般形式再确定$a、b、c$的值，避免因符号错误导致判别式计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
2.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，我们通常用根的判别式Δ来判断，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出题目中方程的a、b、c三个系数，注意系数要带本身的符号；第二步代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出Δ的值；第三步根据Δ的正负性判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，对照一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
$\because \Delta=5＞0$
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数、牢记判别式的取值与根的对应关系，计算时要注意系数的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，我们通常用根的判别式Δ来判断，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出题目中方程的a、b、c三个系数，注意系数要带本身的符号；第二步代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出Δ的值；第三步根据Δ的正负性判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，对照一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
$\because \Delta=5＞0$
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数、牢记判别式的取值与根的对应关系，计算时要注意系数的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.9
例 用公式法解下列方程：
(1)$\sqrt{3}x^2 - x - 2\sqrt{3}=0$；
(2)$(x-2)(3x+5)=-11$。
归纳总结
用公式法解一元二次方程的四个步骤：
(1)把一元二次方程化为一般形式；
(2)确定$a,b,c$的值；
(3)计算$b^2 -4ac$的值；
(4)当$b^2 -4ac ≥0$时，把$a,b,c$的值代入求根公式，求出方程的两个实数根，当$b^2 -4ac ＜0$时，方程无实数根。
(1)$\sqrt{3}x^2 - x - 2\sqrt{3}=0$；
(2)$(x-2)(3x+5)=-11$。
归纳总结
用公式法解一元二次方程的四个步骤：
(1)把一元二次方程化为一般形式；
(2)确定$a,b,c$的值；
(3)计算$b^2 -4ac$的值；
(4)当$b^2 -4ac ≥0$时，把$a,b,c$的值代入求根公式，求出方程的两个实数根，当$b^2 -4ac ＜0$时，方程无实数根。
答案
解：(1)$\because a=\sqrt{3}$，$b=-1$，$c=-2\sqrt{3}$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×\sqrt{3}×(-2\sqrt{3})=25＞0$.
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2\sqrt{3}}=\frac{1\pm5}{2\sqrt{3}}$.
$\therefore$原方程的解为 $x_1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\sqrt{3}$.
(2)将方程化为一般形式，得 $3x^2-x+1=0$.
$\because a=3$，$b=-1$，$c=1$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×3×1=-11＜0$.
$\therefore$原方程无实数根.
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×\sqrt{3}×(-2\sqrt{3})=25＞0$.
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2\sqrt{3}}=\frac{1\pm5}{2\sqrt{3}}$.
$\therefore$原方程的解为 $x_1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\sqrt{3}$.
(2)将方程化为一般形式，得 $3x^2-x+1=0$.
$\because a=3$，$b=-1$，$c=1$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×3×1=-11＜0$.
$\therefore$原方程无实数根.
解析
【分析】
本题考查用公式法解一元二次方程，解题时严格遵循公式法的四个步骤即可：①首先观察方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若不是则先通过去括号、移项、合并同类项化为一般形式；②确定$a、b、c$的值，注意要带上系数的符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta≥0$时有实数根，$\Delta＜0$时无实数根；④若$\Delta≥0$，将$a、b、c$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，最后将结果化为最简形式，出现分母带根号的要进行分母有理化。
【解析】
(1) 方程$\sqrt{3}x^2 - x - 2\sqrt{3}=0$已是一般形式，
$\therefore a=\sqrt{3}$，$b=-1$，$c=-2\sqrt{3}$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×\sqrt{3}×(-2\sqrt{3})=1 + 24=25＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-(-1)±\sqrt{25}}{2×\sqrt{3}}=\frac{1±5}{2\sqrt{3}}$，
化简得：$x_1=\frac{1-5}{2\sqrt{3}}=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{1+5}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$；
(2) 先将方程化为一般形式：
展开左边得：$3x^2+5x-6x-10=-11$，
移项、合并同类项得：$3x^2 - x + 1=0$，
$\therefore a=3$，$b=-1$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×3×1=1-12=-11＜0$，
$\therefore$原方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\sqrt{3}$；(2)原方程无实数根
【知识点】
1.公式法解一元二次方程 2.根的判别式 3.一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，重点考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意确定$a、b、c$时要带符号，计算判别式要准确，求出的根要化为最简形式，通过练习能熟练掌握公式法解一元二次方程的流程。
【难度系数】
0.75
本题考查用公式法解一元二次方程，解题时严格遵循公式法的四个步骤即可：①首先观察方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若不是则先通过去括号、移项、合并同类项化为一般形式；②确定$a、b、c$的值，注意要带上系数的符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta≥0$时有实数根，$\Delta＜0$时无实数根；④若$\Delta≥0$，将$a、b、c$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，最后将结果化为最简形式，出现分母带根号的要进行分母有理化。
【解析】
(1) 方程$\sqrt{3}x^2 - x - 2\sqrt{3}=0$已是一般形式，
$\therefore a=\sqrt{3}$，$b=-1$，$c=-2\sqrt{3}$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×\sqrt{3}×(-2\sqrt{3})=1 + 24=25＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-(-1)±\sqrt{25}}{2×\sqrt{3}}=\frac{1±5}{2\sqrt{3}}$，
化简得：$x_1=\frac{1-5}{2\sqrt{3}}=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{1+5}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$；
(2) 先将方程化为一般形式：
展开左边得：$3x^2+5x-6x-10=-11$，
移项、合并同类项得：$3x^2 - x + 1=0$，
$\therefore a=3$，$b=-1$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×3×1=1-12=-11＜0$，
$\therefore$原方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\sqrt{3}$；(2)原方程无实数根
【知识点】
1.公式法解一元二次方程 2.根的判别式 3.一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，重点考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意确定$a、b、c$时要带符号，计算判别式要准确，求出的根要化为最简形式，通过练习能熟练掌握公式法解一元二次方程的流程。
【难度系数】
0.75
用公式法解下列方程：
(1)$4x^2 + 4x + 10 = 1 - 8x$；
(2)$(x - 5)(x + 3) = 1$。
(1)$4x^2 + 4x + 10 = 1 - 8x$；
(2)$(x - 5)(x + 3) = 1$。
答案
(1)$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
(2)$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$
(2)$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再确定$a$、$b$、$c$的取值，代入判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实根；若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$即可求出根。第(1)题先移项合并同类项得到一般形式，第(2)题先展开左边的多项式乘积，再移项整理为一般形式，后续按公式法步骤计算即可。
【解析】
(1) 整理方程$4x^2 + 4x + 10 = 1 - 8x$：
移项得$4x^2 + 4x + 8x + 10 - 1 = 0$，
合并同类项得$4x^2 + 12x + 9 = 0$，
其中$a=4$，$b=12$，$c=9$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4×4×9 = 144 - 144 = 0$，
方程有两个相等的实数根，代入求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12\pm\sqrt{0}}{2×4} = -\frac{3}{2}$。
(2) 整理方程$(x - 5)(x + 3) = 1$：
展开左边得$x^2 + 3x - 5x - 15 = 1$，
移项合并同类项得$x^2 - 2x - 16 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-16$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-16) = 4 + 64 = 68 ＞ 0$，
方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\pm\sqrt{68}}{2×1} = \frac{2\pm2\sqrt{17}}{2} = 1\pm\sqrt{17}$。
【答案】
(1)$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
(2)$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程判别式
3. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循操作步骤，尤其要注意整理一般形式时的符号问题，准确识别$a$、$b$、$c$的取值，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式即可求解。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再确定$a$、$b$、$c$的取值，代入判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实根；若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$即可求出根。第(1)题先移项合并同类项得到一般形式，第(2)题先展开左边的多项式乘积，再移项整理为一般形式，后续按公式法步骤计算即可。
【解析】
(1) 整理方程$4x^2 + 4x + 10 = 1 - 8x$：
移项得$4x^2 + 4x + 8x + 10 - 1 = 0$，
合并同类项得$4x^2 + 12x + 9 = 0$，
其中$a=4$，$b=12$，$c=9$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4×4×9 = 144 - 144 = 0$，
方程有两个相等的实数根，代入求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12\pm\sqrt{0}}{2×4} = -\frac{3}{2}$。
(2) 整理方程$(x - 5)(x + 3) = 1$：
展开左边得$x^2 + 3x - 5x - 15 = 1$，
移项合并同类项得$x^2 - 2x - 16 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-16$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-16) = 4 + 64 = 68 ＞ 0$，
方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\pm\sqrt{68}}{2×1} = \frac{2\pm2\sqrt{17}}{2} = 1\pm\sqrt{17}$。
【答案】
(1)$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
(2)$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程判别式
3. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循操作步骤，尤其要注意整理一般形式时的符号问题，准确识别$a$、$b$、$c$的取值，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式即可求解。
【难度系数】
0.75
请根据本课所学，构建知识体系.
公式法
求根公式：x=
根的判别式：Δ=
若Δ
→方程有
若Δ=0 ←→方程有
若Δ＜0 ←→方程
公式法
求根公式：x=
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
根的判别式：Δ=
$b^2-4ac$
若Δ
→方程有两个不相等的
实数根；若Δ=0 ←→方程有
两个相等的
实数根；若Δ＜0 ←→方程
无
实数根答案
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad b^2-4ac\quad$ 两个不相等的 两个相等的 无
解析
【分析】
本题考查一元二次方程公式法的基础知识点，解题时先回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：求根公式是通过配方法推导得到的求解一元二次方程根的通用公式；根的判别式是求根公式中被开方的部分，用来直接判断方程实数根的个数，不同的判别式取值对应不同的根的情况，识记这些基础概念即可完成填空。
【解析】
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，通过配方法推导可得求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，使用前提是$b^2-4ac≥0$；
2. 我们把求根公式中被开方的部分$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，记作$\Delta$，即$\Delta=b^2-4ac$；
3. 根据$\Delta$的取值可直接判断方程实数根的个数：
若$\Delta＞0$，被开方数是正数，开方后可得两个不同的结果，因此方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta=0$，被开方数是0，开方后结果唯一，因此方程有两个相等的实数根；
若$\Delta＜0$，被开方数是负数，实数范围内负数没有平方根，因此方程无实数根。
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$b^2-4ac$；两个不相等的；两个相等的；无
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；判别式与根的关系
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考察公式法相关的核心概念，这些概念是后续用公式法解方程、判断方程根的情况的核心基础，需要熟练记忆并灵活应用。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程公式法的基础知识点，解题时先回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：求根公式是通过配方法推导得到的求解一元二次方程根的通用公式；根的判别式是求根公式中被开方的部分，用来直接判断方程实数根的个数，不同的判别式取值对应不同的根的情况，识记这些基础概念即可完成填空。
【解析】
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，通过配方法推导可得求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，使用前提是$b^2-4ac≥0$；
2. 我们把求根公式中被开方的部分$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，记作$\Delta$，即$\Delta=b^2-4ac$；
3. 根据$\Delta$的取值可直接判断方程实数根的个数：
若$\Delta＞0$，被开方数是正数，开方后可得两个不同的结果，因此方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta=0$，被开方数是0，开方后结果唯一，因此方程有两个相等的实数根；
若$\Delta＜0$，被开方数是负数，实数范围内负数没有平方根，因此方程无实数根。
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$b^2-4ac$；两个不相等的；两个相等的；无
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；判别式与根的关系
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考察公式法相关的核心概念，这些概念是后续用公式法解方程、判断方程根的情况的核心基础，需要熟练记忆并灵活应用。
【难度系数】
0.9
