任务一
用直接开平方法解形如 $ x^2 = p $ 的一元二次方程
阅读材料，补全分析过程。
一桶油漆可刷的面积为 $ 486 \, \mathrm{dm}^2 $，王明用这桶油漆恰好刷完9个同样大小的正方体形状盒子的全部外表面。你能求出正方体盒子的棱长吗？
分析：设正方体盒子的棱长为 $ x \, \mathrm{dm} $，则这个正方体盒子的表面积为 $ \_\_\_\_\_\_ \, \mathrm{dm}^2 $，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： $ \_\_\_\_\_\_ $，由此可得 $ \_\_\_\_\_\_ $，根据平方根的意义，得 $ x = \_\_\_\_\_\_ $，即 $ x_1 = \_\_\_\_\_\_ $， $ x_2 = \_\_\_\_\_\_ $。
可以验证 $ \_\_\_\_\_\_ $ 和 $ \_\_\_\_\_\_ $ 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体盒子的棱长为 $ \_\_\_\_\_\_ \, \mathrm{dm} $。
新知生成：用直接开平方法解 “$ x^2 = p $” 型一元二次方程的三种情况。
(1)当 $ p ＞ 0 $ 时，方程有 $ \_\_\_\_\_\_ $ 的实数根， $ x_1 = \sqrt{p} $， $ x_2 = -\sqrt{p} $；
(2)当 $ p = 0 $ 时，方程有 $ \_\_\_\_\_\_ $ 的实数根， $ x_1 = x_2 = 0 $；
(3)当 $ p ＜ 0 $ 时，因为对任意实数 $ x $，都有 $ x^2 ≥ 0 $，所以方程 $ \_\_\_\_\_\_ $。

分析：设正方体盒子的棱长为 $ x \, \mathrm{dm} $，则这个正方体盒子的表面积为 $ 6x^2 \, \mathrm{dm}^2 $，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： $ 9×6x^2=486 $，由此可得 $ x^2=9 $，根据平方根的意义，得 $ x = \pm3 $，即 $ x_1 = 3 $， $ x_2 = -3 $。
可以验证 $ 3 $ 和 $ -3 $ 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体盒子的棱长为 $ 3 \, \mathrm{dm} $。
新知生成：
(1)两个不相等
(2)两个相等
(3)无实数根

【分析】
解题时首先回忆正方体表面积公式：正方体有6个完全相同的正方形面，单个面面积为棱长的平方，因此单个正方体表面积为6倍棱长的平方。首先设棱长为x，先表示出9个正方体的总表面积，结合油漆可刷的总面积列方程，再将方程整理为$x^2=p$的形式，利用平方根的意义开平方求解，最后结合实际问题中棱长为正数的要求舍去负根。后续新知生成部分可根据平方根的性质，分$p＞0$、$p=0$、$p＜0$三种情况判断方程根的情况。
【解析】
1. 计算单个正方体表面积：正方体有6个面，每个面面积为$x^2$，因此单个正方体表面积为$\boldsymbol{6x^2}\ \mathrm{dm}^2$。
2. 列方程：9个正方体的总表面积等于油漆可刷的$486\ \mathrm{dm}^2$，因此列方程为$\boldsymbol{9×6x^2=486}$。
3. 化简方程：计算得$54x^2=486$，两边同时除以54，可得$\boldsymbol{x^2=9}$。
4. 开平方求解：根据平方根的意义，9的平方根为±3，因此$\boldsymbol{x=\pm3}$，即$\boldsymbol{x_1=3}$，$\boldsymbol{x_2=-3}$。
5. 实际验根：3和-3均满足方程，但棱长不能为负，因此舍去-3，正方体棱长为$\boldsymbol{3}\ \mathrm{dm}$。
6. 新知生成：
(1) 当$p＞0$时，正数有两个互为相反数的平方根，因此方程有$\boldsymbol{两个不相等}$的实数根；
(2) 当$p=0$时，0的平方根为0，因此方程有$\boldsymbol{两个相等}$的实数根；
(3) 当$p＜0$时，任意实数的平方均为非负数，因此方程$\boldsymbol{无实数根}$。
【答案】
依次填空：$6x^2$；$9×6x^2=486$；$x^2=9$；$\pm3$；$3$；$-3$；$3$；$-3$；$3$；(1)两个不相等；(2)两个相等；(3)无实数根
【知识点】
1. 正方体表面积计算
2. 直接开平方法解方程
3. 实际问题的根检验
【点评】
本题结合实际生活场景考查直接开平方法的基础应用，既帮助学生掌握$x^2=p$型一元二次方程的解法，也引导学生注意解决实际问题时，需要验证根是否符合现实意义，同时梳理了该类型方程根的三种情况，是一元二次方程解法的基础巩固题。
【难度系数】
0.8

1. 方程$x^2 + a = 0$有实数根的条件是 （）

A.$a≤0$
B.$a≥0$
C.$a＞0$
D.$a＜0$

1.A

【分析】
要判断方程$x^2+a=0$有实数根的条件，首先对原方程移项变形得到$x^2=-a$。根据实数的性质，任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此方程右边的$-a$必须满足非负的要求，才能存在实数$x$使等式成立，据此列不等式求解$a$的范围即可。
【解析】
解：对原方程移项可得：
$x^2=-a$
∵ 任意实数的平方为非负数，即对所有实数$x$，恒有$x^2≥0$
∴ 要使方程有实数根，需满足$-a≥0$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$a≤0$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法；实根判定条件
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程有实根的判定，解题核心是掌握实数平方的非负性，结合方程变形即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $3x^2 = 1$；
(2) $4.3 - 6x^2 = 2.8$。

(1)$x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}, x_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2)$x_1=\frac{1}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$

【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是先将方程变形为$x^2=p$（$p≥0$）的形式，再根据平方根的定义，两边同时开平方得到$x=\pm\sqrt{p}$，从而求出方程的两个根。对于这两道题，首先通过移项、系数化为1的操作，把方程整理成$x^2=p$的标准形式，再开平方求解即可，注意开平方后不要漏写负根。
【解析】
(1) 解方程$3x^2=1$：
① 系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2=\frac{1}{3}$；
② 开平方：根据平方根的定义，两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}$；
③ 化简二次根式：$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此得两个根。
(2) 解方程$4.3 - 6x^2 = 2.8$：
① 移项：将常数项移到等号右侧，得$-6x^2=2.8-4.3$，计算右侧得$-6x^2=-1.5$；
② 系数化为1：方程两边同时除以$-6$，得$x^2=\frac{-1.5}{-6}=0.25=\frac{1}{4}$；
③ 开平方：两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$，因此得两个根。
【答案】
(1)$x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}, x_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2)$x_1=\frac{1}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 二次根式化简
【点评】
本题属于直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握将方程转化为$x^2=p$（$p≥0$）形式的变形方法，注意开平方后方程有两个互为相反数的实数根，避免出现只写正根的错误。
【难度系数】
0.85

任务二
用直接开平方法解形如$(mx + n)^2 = p$的一元二次方程
问题提出：你认为应该怎样解方程$(2x - 1)^2 = 5$及方程$x^2 + 6x + 9 = 4$？
探究过程：方程$(2x - 1)^2 = 5$的左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程$(2x - 1)^2 = 5$的两个根分别为$x_1 =$，$x_2 =$。
总结归纳：在解上述方程的过程中，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。
类比推理：方程$x^2 + 6x + 9 = 4$的左边是完全平方式，这个方程可以化成$(x +$$)^2 =$

探究过程：将方程变形为$2x-1=\pm\sqrt{5}$，即将方程变为$2x-1=\sqrt{5}$和$2x-1=-\sqrt{5}$两个一元一次方程，从而得到方程的两个根分别为$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
类比推理：方程可以化成$(x + 3)^2 =$

【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题核心是利用平方根的意义实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。首先对于形如$(mx+n)^2=p(p≥0)$的方程，我们将$(mx+n)$看作一个整体，根据“若一个数的平方等于非负数$p$，则这个数是$p$的正负平方根”，即可拆分出两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根；对于左边是完全平方式结构的方程，先利用完全平方公式将左边整理为平方的形式，再套用直接开平方法的步骤求解即可。
【解析】
1. 解方程$(2x-1)^2=5$：
根据平方根的意义，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，将$2x-1$看作整体$a$，可得方程变形为$2x-1=\pm\sqrt{5}$；
据此拆分为两个一元一次方程：$2x-1=\sqrt{5}$和$2x-1=-\sqrt{5}$；
分别求解两个一次方程：
当$2x-1=\sqrt{5}$时，移项得$2x=1+\sqrt{5}$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
当$2x-1=-\sqrt{5}$时，移项得$2x=1-\sqrt{5}$，解得$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
2. 变形方程$x^2+6x+9=4$：
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$x^2+6x+9=(x+3)^2$，因此原方程可化为$(x+3)^2=4$。
【答案】
$2x-1=\pm\sqrt{5}$；$2x-1=\sqrt{5}$；$2x-1=-\sqrt{5}$；$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；$3$；$4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的意义；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查“降次转化”的数学思想，需要熟练掌握平方根的性质和完全平方公式，理解将平方项整体看作一个未知数的解题思路，为后续学习一元二次方程的其他解法打下基础。
【难度系数】
0.8