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2. 将方程 $ x(x - 1) = 4(x + 2) $ 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
答案
2. 解：去括号，得$x^2 - x = 4x + 8$. 移项、合并同类项，得$x^2 - 5x - 8 = 0$. 它的二次项系数是1，一次项系数是$-5$，常数项是$-8$.
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。第一步先对原方程左右两边去括号，再将所有项移到方程左侧，合并同类项后整理为一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
解：对原方程去括号，得：
$x^2 - x = 4x + 8$
移项、合并同类项，得：
$x^2 - 5x - 8 = 0$
结合一元二次方程一般形式的定义可得：二次项系数是1，一次项系数是$-5$，常数项是$-8$。
【答案】
一元二次方程的一般形式为$x^2 - 5x - 8 = 0$，二次项系数是1，一次项系数是$-5$，常数项是$-8$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
3. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察方程化为一般形式的操作方法，解题时要注意移项需变号，提取系数时不要遗漏正负号。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。第一步先对原方程左右两边去括号，再将所有项移到方程左侧，合并同类项后整理为一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
解：对原方程去括号，得：
$x^2 - x = 4x + 8$
移项、合并同类项，得：
$x^2 - 5x - 8 = 0$
结合一元二次方程一般形式的定义可得：二次项系数是1，一次项系数是$-5$，常数项是$-8$。
【答案】
一元二次方程的一般形式为$x^2 - 5x - 8 = 0$，二次项系数是1，一次项系数是$-5$，常数项是$-8$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
3. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察方程化为一般形式的操作方法，解题时要注意移项需变号，提取系数时不要遗漏正负号。
【难度系数】
0.85
探究1：什么是一元二次方程的根？
答案
解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
解析
【分析】
思考本题时可先联系已学的方程解的通用定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。一元二次方程属于整式方程的一类，它的解有专门的名称“根”，将方程解的通用定义对应到一元二次方程的场景，即可推导得出一元二次方程根的含义。
【解析】
首先回顾方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。将该定义适配到一元二次方程中，可得：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
【答案】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，是一元二次方程模块的入门知识点，识记难度低，掌握该概念是后续学习一元二次方程解法、根的判别式等内容的前提。
【难度系数】
0.9
思考本题时可先联系已学的方程解的通用定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。一元二次方程属于整式方程的一类，它的解有专门的名称“根”，将方程解的通用定义对应到一元二次方程的场景，即可推导得出一元二次方程根的含义。
【解析】
首先回顾方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。将该定义适配到一元二次方程中，可得：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
【答案】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，是一元二次方程模块的入门知识点，识记难度低，掌握该概念是后续学习一元二次方程解法、根的判别式等内容的前提。
【难度系数】
0.9
探究2：下面哪些数是一元二次方程$2x^2 +12=-10x$的根？
$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，$4$。
$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，$4$。
答案
解：将这些数代入后，只有$-2$和$-3$使方程左右两边相等，所以$-2$和$-3$是一元二次方程$2x^2+12=-10x$的根.
解析
【分析】
要判断一个数是否为一元二次方程的根，依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们只需将题干给出的数值依次代入方程的左右两边，分别计算结果后比较是否相等，相等的数值即为该方程的根，代入计算时要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免计算错误。
【解析】
原方程为$2x^2 +12=-10x$，我们逐个代入数值验证：
1. 当$x=-4$时，左边$=2×(-4)^2+12=44$，右边$=-10×(-4)=40$，左边≠右边，不是根；
2. 当$x=-3$时，左边$=2×(-3)^2+12=30$，右边$=-10×(-3)=30$，左边=右边，是根；
3. 当$x=-2$时，左边$=2×(-2)^2+12=20$，右边$=-10×(-2)=20$，左边=右边，是根；
4. 当$x=-1$时，左边$=2×(-1)^2+12=14$，右边$=-10×(-1)=10$，左边≠右边，不是根；
5. 当$x=0$时，左边$=12$，右边$=0$，左边≠右边，不是根；
6. 当$x=1$时，左边$=14$，右边$=-10$，左边≠右边，不是根；
7. 当$x=2$时，左边$=20$，右边$=-20$，左边≠右边，不是根；
8. 当$x=3$时，左边$=30$，右边$=-30$，左边≠右边，不是根；
9. 当$x=4$时，左边$=44$，右边$=-40$，左边≠右边，不是根。
【答案】
将这些数代入后，只有$-2$和$-3$使方程左右两边相等，所以$-2$和$-3$是一元二次方程$2x^2+12=-10x$的根.
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入检验法
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对方程根的定义的理解与运用，解题过程中要注意负数运算的符号规则，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.9
要判断一个数是否为一元二次方程的根，依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们只需将题干给出的数值依次代入方程的左右两边，分别计算结果后比较是否相等，相等的数值即为该方程的根，代入计算时要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免计算错误。
【解析】
原方程为$2x^2 +12=-10x$，我们逐个代入数值验证：
1. 当$x=-4$时，左边$=2×(-4)^2+12=44$，右边$=-10×(-4)=40$，左边≠右边，不是根；
2. 当$x=-3$时，左边$=2×(-3)^2+12=30$，右边$=-10×(-3)=30$，左边=右边，是根；
3. 当$x=-2$时，左边$=2×(-2)^2+12=20$，右边$=-10×(-2)=20$，左边=右边，是根；
4. 当$x=-1$时，左边$=2×(-1)^2+12=14$，右边$=-10×(-1)=10$，左边≠右边，不是根；
5. 当$x=0$时，左边$=12$，右边$=0$，左边≠右边，不是根；
6. 当$x=1$时，左边$=14$，右边$=-10$，左边≠右边，不是根；
7. 当$x=2$时，左边$=20$，右边$=-20$，左边≠右边，不是根；
8. 当$x=3$时，左边$=30$，右边$=-30$，左边≠右边，不是根；
9. 当$x=4$时，左边$=44$，右边$=-40$，左边≠右边，不是根。
【答案】
将这些数代入后，只有$-2$和$-3$使方程左右两边相等，所以$-2$和$-3$是一元二次方程$2x^2+12=-10x$的根.
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入检验法
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对方程根的定义的理解与运用，解题过程中要注意负数运算的符号规则，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.9
1. 以－2为根的一元二次方程是 （
A.$x^2 + 2x - x = 0$
B.$x^2 - x - 2 = 0$
C.$x^2 + x + 2 = 0$
D.$x^2 + x - 2 = 0$
D
）A.$x^2 + 2x - x = 0$
B.$x^2 - x - 2 = 0$
C.$x^2 + x + 2 = 0$
D.$x^2 + x - 2 = 0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个一元二次方程以-2为根，依据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此只需将x=-2依次代入四个选项的方程，计算左边的结果，判断是否等于右边的0，满足条件的即为正确选项。
【解析】
根据方程根的定义，将x=-2分别代入各选项验证：
1. 代入选项A：左边$=(-2)^2 + 2×(-2) - (-2)=4-4+2=2≠0$，左边≠右边，排除A；
2. 代入选项B：左边$=(-2)^2 - (-2) - 2=4+2-2=4≠0$，左边≠右边，排除B；
3. 代入选项C：左边$=(-2)^2 + (-2) + 2=4-2+2=4≠0$，左边≠右边，排除C；
4. 代入选项D：左边$=(-2)^2 + (-2) - 2=4-2-2=0=$右边，满足根的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，掌握代入验证的方法即可快速得出答案，是一元二次方程部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个一元二次方程以-2为根，依据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此只需将x=-2依次代入四个选项的方程，计算左边的结果，判断是否等于右边的0，满足条件的即为正确选项。
【解析】
根据方程根的定义，将x=-2分别代入各选项验证：
1. 代入选项A：左边$=(-2)^2 + 2×(-2) - (-2)=4-4+2=2≠0$，左边≠右边，排除A；
2. 代入选项B：左边$=(-2)^2 - (-2) - 2=4+2-2=4≠0$，左边≠右边，排除B；
3. 代入选项C：左边$=(-2)^2 + (-2) + 2=4-2+2=4≠0$，左边≠右边，排除C；
4. 代入选项D：左边$=(-2)^2 + (-2) - 2=4-2-2=0=$右边，满足根的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，掌握代入验证的方法即可快速得出答案，是一元二次方程部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
2. 已知方程$ax^2 +7x -2=0$的一个根是－2，求a的值。
答案
2. 4
解析
【分析】
本题可根据方程根的定义求解，方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，所以我们可以将已知的根x=-2代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=-2是方程$ax^2 +7x -2=0$的一个根
∴将x=-2代入方程，等式成立，即：
$a×(-2)^2 +7×(-2) -2 = 0$
化简得：$4a -14 -2 = 0$
整理得：$4a = 16$
解得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 方程的根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，核心是对根的定义的应用，解题思路直接，只要掌握将根代入原方程转化为新方程求解的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题可根据方程根的定义求解，方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，所以我们可以将已知的根x=-2代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=-2是方程$ax^2 +7x -2=0$的一个根
∴将x=-2代入方程，等式成立，即：
$a×(-2)^2 +7×(-2) -2 = 0$
化简得：$4a -14 -2 = 0$
整理得：$4a = 16$
解得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 方程的根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，核心是对根的定义的应用，解题思路直接，只要掌握将根代入原方程转化为新方程求解的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
请根据本课所学，构建知识体系. 
答案
解：
1. 一元二次方程的概念
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
判定三要素：
① 属于整式方程；
② 方程中只含有1个未知数；
③ 未知数的最高次数为2。
---
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$
对应项定义：
$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；
$bx$是一次项，$b$是一次项系数；
$c$是常数项。
注意：$a≠0$是该形式的必要限制条件，若$a=0$且$b≠0$，方程就变为一元一次方程，不再是一元二次方程。
---
3. 一元二次方程的根
定义：使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也叫一元二次方程的解。
1. 一元二次方程的概念
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
判定三要素：
① 属于整式方程；
② 方程中只含有1个未知数；
③ 未知数的最高次数为2。
---
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$
对应项定义：
$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；
$bx$是一次项，$b$是一次项系数；
$c$是常数项。
注意：$a≠0$是该形式的必要限制条件，若$a=0$且$b≠0$，方程就变为一元一次方程，不再是一元二次方程。
---
3. 一元二次方程的根
定义：使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也叫一元二次方程的解。
解析
【分析】
本题要求构建一元二次方程的知识体系，可顺着题图给出的三个模块逐一梳理知识点：首先梳理一元二次方程的概念，明确其定义和判定的三个核心要素；其次梳理一元二次方程的一般形式，牢记标准形式、各项名称，尤其注意二次项系数不为0的限制条件；最后梳理一元二次方程的根的定义即可，梳理时需保证各知识点的关键要点无遗漏、表述准确。
【解析】
我们按照知识框架分三部分整理内容：
1. 一元二次方程的概念
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
判定三要素：
① 属于整式方程；
② 方程中只含有1个未知数；
③ 未知数的最高次数为2。
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$
对应项定义：
$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；
$bx$是一次项，$b$是一次项系数；
$c$是常数项。
注意：$a≠0$是该形式的必要限制条件，若$a=0$且$b≠0$，方程就变为一元一次方程，不再是一元二次方程。
3. 一元二次方程的根
定义：使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也叫一元二次方程的解。
【答案】
1. 一元二次方程的概念
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
判定三要素：
① 属于整式方程；
② 方程中只含有1个未知数；
③ 未知数的最高次数为2。
---
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$
对应项定义：
$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；
$bx$是一次项，$b$是一次项系数；
$c$是常数项。
注意：$a≠0$是该形式的必要限制条件，若$a=0$且$b≠0$，方程就变为一元一次方程，不再是一元二次方程。
---
3. 一元二次方程的根
定义：使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也叫一元二次方程的解。
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础概念归纳题，主要考查对一元二次方程相关基础概念的掌握程度，准确记忆各概念的核心要点和限制条件，是后续学习一元二次方程解法、应用的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题要求构建一元二次方程的知识体系，可顺着题图给出的三个模块逐一梳理知识点：首先梳理一元二次方程的概念，明确其定义和判定的三个核心要素；其次梳理一元二次方程的一般形式，牢记标准形式、各项名称，尤其注意二次项系数不为0的限制条件；最后梳理一元二次方程的根的定义即可，梳理时需保证各知识点的关键要点无遗漏、表述准确。
【解析】
我们按照知识框架分三部分整理内容：
1. 一元二次方程的概念
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
判定三要素：
① 属于整式方程；
② 方程中只含有1个未知数；
③ 未知数的最高次数为2。
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$
对应项定义：
$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；
$bx$是一次项，$b$是一次项系数；
$c$是常数项。
注意：$a≠0$是该形式的必要限制条件，若$a=0$且$b≠0$，方程就变为一元一次方程，不再是一元二次方程。
3. 一元二次方程的根
定义：使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也叫一元二次方程的解。
【答案】
1. 一元二次方程的概念
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
判定三要素：
① 属于整式方程；
② 方程中只含有1个未知数；
③ 未知数的最高次数为2。
---
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$
对应项定义：
$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；
$bx$是一次项，$b$是一次项系数；
$c$是常数项。
注意：$a≠0$是该形式的必要限制条件，若$a=0$且$b≠0$，方程就变为一元一次方程，不再是一元二次方程。
---
3. 一元二次方程的根
定义：使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也叫一元二次方程的解。
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础概念归纳题，主要考查对一元二次方程相关基础概念的掌握程度，准确记忆各概念的核心要点和限制条件，是后续学习一元二次方程解法、应用的重要基础。
【难度系数】
0.9
